книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

ведущихся разговоров в состоянии х. Подмножества состояний, об­ разуемые одним уровнем диаграммы Хассе, обозначим через Д,:

Соседями состояния x назовем состояния, которые получаются произвольным добавлением одного разговора (иеобязательство со­ гласно матрице занятия) или окончанием одного из \х\ ведущихся разговоров. Для каждого состояния х введем два класса 4 К и В х:

.4* — множество тех состояний, расположенных в подмножест­ ве L|.V|+ i , из которых окончанием одного разговора можно достиг­

достигаются окончанием одного из |дг| разговоров (обозначение В от английского слова «below» — «под»).

Рис. 1.9. Диаграмма Хассе трехлинейном неполнодоступной схемы, изображенной на рис. 1.2

Заметим, что состоянию х физически соответствует |х| путей, ведущих от входа к выходу в заданной коммутационной системе, а каждый путь образован занятием одного или целой цепочки физи­ ческих устройств, как точек коммутации, линий и т. п. Следователь­

20

2. Матрица занятия. Вектор потерь

Дальнейшее изложение будем вести, придерживаясь специфи­ ки неполнодоступных схем. Как указано в § 1.1.2, на НС поступа­ ют п взаимно независимых одинаковых пуассоновских потоков вы­ зовов каждый с интенсивностью X. Поступивший вызов i-ro потока занимает первую из свободных линий среди их общего числа d, ко­ торые доступны i-й группе абонентов. Линия занимается на случай­ ное время, определяемое экспоненциальным распределением с па­ раметром, равным единице. Если в ;-й группе все линии заняты, то вызов t-й группы теряется, не влияя на ход будущих событий.

уелх

зовы которых, поступая в состоянии х, не теряются.

Для воспроизведения работы НС достаточно знать матрицу за­

где S(x) — суммарная интенсивность потока вызовов, поступаю­ щих в состоянии х, a s(x), как выше, выражает интенсивность при­ нятого к обслуживанию потока вызовов. С учетом (35) получаем вероятность (потерь для всей схемы в виде

xqS

где рх — стационар мая вероятность состояния х [см. 1(41)].

21

ства. Если в некоторый момент t процесс x(t) находится в состоя­ нии х, то время пребывания tx в этом состоянии является случай­ ной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром —ахх, т. е.

н в момент t + tx процесс переходит в состояние у с вероятностью

--- вхх

Так как

&ХХ 2.J ахУ<

U&S, хфу

то эти соотношения определяют цепь Маркова, вложенную в про­ цесс Маркова над множеством моментов переходов.

4. Уравнения равновесия и стационарные вероятности

При помощи матрицы интенсивностей перехода А задается стационарный марковский процесс x(t), 0, принимающий значе­ ния из множества состояний S. Матрица переходных вероятностей

P(t) = {Pxv(t)}, где pxy(< t)= P {x(t)= y/x(0 )= х }, процесса x(t) удов­ летворяет уравнениям Колмогорова—Чепмена:

4at р (*)= ATP(t) = P(t)A

с начальным условием Р(0) =/ (I — единичная матрица). Решени­ ем этой системы является P ( t ) = e At.

Если множество 5 образует один существенный класс сбстояний без циклических подклассов, что имеет место в случае НС и ком­ мутационных систем вообще, то существует распределение стацио­ нарных вероятностей р = { р х}- Вектор финальных вероятностей яв­ ляется решением однородной системы

где Т обозначает транспонирование матрицы.

Для окончательного определения стационарного распределения требуется добавить лишь нормирующее условие 2 p i = l . С учетом

Это так называемые уравнения равновесия, имеющие простой физический смысл. Левая часть уравнения выражает среднюю ско­

23

рость выхода из состояния х, а правая часть — среднюю скорость входа в состояние х при условии, что коммутационная система на­ ходится в равновесии (в стационарном режиме).

5. Численный пример

Составим систему уравнений равновесия (42) для схемы, представленной на рис. 1.2, пользуясь диавраадмой переходов, изо­ браженной на рис. 1.12. Заметим, что из-за симметрии схемы мож­ но попарно объединить состояния, в которых занята одна из инди­ видуальных линий. При этом получим систему из 6 состояний вме­ сто 8 (23), что изображено на рис. 1.12. Введем обозначения со­ стояний (в фигурных скобках указаны номера занятых линий):

Тогда система (42) принимает вид:

2Хрх — р2+ р3

(2Х + \) ръ—2'крх -f- 2р4+ ръ

(2Х + 1)р3 = р-а

(2Я, -{- 2) р\ = Xр2 Ре

(Я,-)- 2)ръ—Хр2+ 2Х р3 + 2р6

Зрв = 2X рх X р5

Одно из ее решений следующее (без учета нормирующего усло­ вия) :

р4 = ЗХ2 + 4Х3+ 2Х“;

р & = ЗЯ,2 + ЮЯ3 + 8Я4;*

р6 = ЗЯ,3 + 6Я4 + 4ЯЛ

Отсюда получаем вероятность потерь с учетом того, что по (35) У5= 1/2, у6= 1 и остальные уг= 0:

24

Основные формулы теории телетрафика

Внастоящей главе на основе теории процес­сов размножения м гибели получены про­

стейшие формулы теории телетрафика (формулы Эрланга для полнодоступной системы с потерями и с ожиданием, для идеально симметрической системы с потерями и д р .), а также различные обобщения этих формул. Приведено ин­ тегральное представление формулы Эрланга и показана целесооб­ разность его применения.

2.1.ПРОСТЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ

1.Формула Эрланга для полнодоступного пучка с потерями

Пусть дан о-линейный полнодоступный пучок с потерями при пуассоновском потоке вызовов интенсивности К и экспоненциально распределенной длительности разговора со средним значением, равным единице. Тогда вместо (1.38) имеем:

и а,-j равны нулю при остальных значениях индексов, г ф j. Формулой Эрланга E V(X) называют вероятность занятия всех

линий, которая согласно (1.34) имеет вид

Это так называемая первая формула Эрланга. Введем еще распределение Эрланга

26

2.Формула Энгсета

Вотличие от предыдущего случая — вывода формулы Эрлан­ га, изменим только одно условие: вместо пуассоновского потока, что в математическом смысле возможно при бесконечном числе абонентов, 1иред(положи1М, что ноток создается конечным числом абонентов N. В состоянии с i занятыми линиями интенсивность

где = С1'N — обозначение биномиального коэффициента.

С учетом нормирующего условия из (4) получаем формулу Энгсета — вероятность занятия у линий:

1 = 0

Введем два определения нагрузок, связанные с ф-лами (1) и (5): 1) пуассоновская нагрузка первого рода (та, при которой вы­

ведена формула Эрланга (1)); ‘ 2) пуассоновская нагрузка второго рода (нагрузка, создавае­

мая конечным числом источников нагрузки, как в случае вывода формулы Энгсета (5)).

Если при пуассоновской нагрузке первого или второго рода ин­ тенсивность обслуживания равна р, то в ф-лах (1) и (5) в качест­ ве X следует подставлять Х/р.

3.Формула Эрланга для полнодоступного пучка с ожиданием

Пусть поступает пуассоновская нагрузка первого рода на у-линейный полнодоступный пучок. Вызовы, поступившие в состоя­ нии с у занятыми линиями, не теряются, а ожидают. Соответствую­ щий процесс размножения и гибели имеет интенсивности переходов:

27

Подставляя (6) в (1.34), получаем распределение Эрланга для иолнодоступного пучка с ожиданием:

, о! \ v

где

( 8)

Lt=0

Стационарное распределение (1.34) существует при выполнении условий (1.33). В данном случае достаточно потребовать v>X. Формула Эрланга для полнодоступного пучка с ожиданием — ве­ роятность того, что время ожидания будет больше нуля,

(7), только с соответствующими изменениями нормирующего ус­ ловия (8). Вероятность p v+r в этом случае называется вероятностью потерь.

Выведем еще формулы для среднего времени ожидания Т и средней длины очереди К ■ Если вызов придет в состоянии i, i< .v, то время ожидания равно нулю. Если же i ^ v , то в момент прихо­ да вызова в очереди будет i— v ожидающих. Среднее время умень­ шения очереди на единицу при условии отсутствия поступления новых вызовов равно l/v, и, следовательно, с вероятностью р, сред­

О - * ) 2

1= 0

28

Аналогично средняя длина очереди

К = V ( i - v ) Pi = \T.

L — V

(Это соответствует интуитивному представлению, что за Т единиц времени поступит %Т вызовов.)

4. Формула Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы

Пусть дана и-линейная неполнодоступная схема доступности d, обслуживающая пуассоновскую нагрузку первого рода. Предпо­

ложим еще, что число групп абонентов п = ^ ° j , так что при лю­

бых d занятых линиях теряться будут вызовы ровно одного из п поступающих потоков. Тогда при i занятых линиях условная веро­ ятность потери будет

0 , 0 < i < cf.

Это и есть идеально симметричная неполнодоступная схема. Соот­ ветствующий процесс размножения и гибели с учетом ( 11) имеет

формулу Эрланга для идеально симметричной неполнодоступной схемы:

j=d

Формулу (13) называют третьей формулой Эрланга.

29