книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

В качестве оценки нагрузки у в чнн можно брать различные статистики, измеренные в период наибольшей занятости. Сравним три статистики:

да наибольшей занятости делаются пять часовых измерений со сдвигом на 15 мин, и в качестве значения нагрузки в чнн берется максимальное значение среди пяти измеренных значений x it /=1, ..., 5. Потом эти максимальные значения по дням усредня­ ются за весь период измерений.

3. Согласно методу, рекомендованному МККТТ [173], измере­ ния делаются так же, как по классическому методу, но усреднение

мени, как час наибольшей нагрузки, по второму же методу чнн — это математическое понятие, связанное с определенным часом вре­ мени только в каждый отдельный день, а не на весь период изме­

где оценка сверху получается как среднее значение максимума пя­ ти независимых измерений, каждое из которых распределено нор­ мально со средним значением У и дисперсией а2, а оценка снизу — соответственно двух измерений (берем измерения за 9— 10 ч и

10— 11 ч).

Так как в действительности измеряемые величины взаимно за­ висимы (из-за взаимного сдвига на 15 мин, а не на час), то сред-

210

ние значения Му2 и Му3 находятся среди интервала (79), а Му\ =

М у2> М уя > М ух = Y,

что и требовалось доказать.

Отсюда можно сделать вывод, что метод, рекомендованный МККТТ, дает некоторое завышение оценки нагрузки в чнн по сравнению с ее истинным значением. Определение величины тако­ го завышения требует статистического исследования распределе­ ния нагрузки и особенно величины сг2. Само обоснование целесо­ образности такого завышения выходит, конечно, за пределы тео­ рии.

3. Критерии качества телефонной связи

На основе измерений нагрузки в чнн определяется требова­ ние к качеству связи. Согласно рекомендациям МККТТ [174] для международной телефонной связи требуется выполнение двух ус­ ловий:

я ( Л о ) < 0 , 0 1

(82)

л ( Л ) < 0 ,0 7

т. е. следует выбрать такое число линий, чтобы вероятность потерь для средней нагрузки по 30 максимальным чнн за год (скажем, за 360 дней) была меньше 0,01 и для среднего по 5 максимальным чнн была меньше 0,07. Использование Л30 и Л5 вместо Л360 (сред­ ней нагрузки по всем 360 чнн) введено с целью более чуткой реак­ ции на рост нагрузки. Однако если учесть статистическую природу оценок Л30 и Л5, то вряд ли такая рекомендация оправдана, так как статистические выводы, сделанные по 30 или только по 5 изме­ рениям, менее точны, чем по всем 360 измерениям. В последнем

случае среднее квадратичное отклонение имеет вид озво/V 360 = = 0,053озбо, а в двух первых случаях — 0,il87a3o и 0,448ст5. К тому же обычно а3бо<'Озо<05- Поэтому оценка Л30, по крайней мере, в 3,5 раза, а Л5 в 8 раз менее чувствительна к изменениям средней наг­ рузки, чем Л360. Требование (82) в виде двух неравенств еще боль­ ше увеличивает дисперсию выводов.

211

В подтверждение неравенств а3бо<азо<05 приведем соответст­ вующие неравенства для квантилей х\/й, х\/\2, Х\/12, косвенно соот­ ветствующих значениям Л360, Л30, Л5.

Как известно (Кендалл и Стьюарт [69]), дисперсия р-квантиля

рении.

В случае кривых Гаусса, т. е. нормального распределения со средним значением 0 и дисперсией 1, из (83) получаем, что сред­ ние квадратичные отклонения этих квантилей равны 0,066; 0,079;

сится к нерешенной проблеме — как определить качество обслу­ живания. Эллдин [194, 197] подчеркивал необходимость дополни­ тельно к условиям (82) указывать, с какой точностью они должны выполняться. Кроме того, он подчеркивал необходимость их даль­ нейшей модификации, чтобы можно было учитывать колебание на­ грузки и тенденцию роста нагрузки. Для этого следовало бы раз­ работать более сложный критерий вида

212

На рис. 110.1.2 приведена 1гистогра.м1ма распределения трафика по часам одного года (Эллдин и Линд [198], Эллдин [197]). кото­ рая показывает, что основная масса измерений лежит вне области чнн. Следовательно, система связи, удовлетворяющая требуемому качеству связи в чнн, в остальное время имеет почти всегда более высокие показатели качества.

4. Колебания нагрузки

Колебания -нагрузки в сети связи бывают разного рода:

1)колебания в течение дня имеют один или больше пиков;

2)колебания по дням как по величине нагрузки, так и по раз­ мещению чнн;

3)определенные дни недели могут иметь систематическое по­ вышение нагрузки;

4)сезонные колебания и др.

Расчет телефонной системы без учета этих колебаний может на практике привести к тому, что потери будут в несколько раз боль­ ше запланированных (так как из-за выпуклости вниз функции ве­ роятности потерь в области малых потерь средние потери с учетом колебаний нагрузки больше значения функции потерь в точке сред­ него значения нагрузки У). Во избежание этого вместо у часто ре­ комендуют (Лившиц [93], Карлсон [235]) брать расчетную нагруз­ ку ус= у + 1ъау, где о2у— дисперсия величины у, h — некоторое чис­ ло больше 0. Если /г = 2, то в качестве ус берется 95-процентная верхняя доверительная граница нагрузки. Однако выбор ус следует связывать со следующими соображениями статистического харак­ тера, пренебрежение которыми может .привести к необоснованному завышению ук по сравнению с у:

1. Если под у понимать число поступивших вызовов, то в слу­ чае пуассоновской нагрузки первого рода (отсутствие повторных

вызовов), как известно, ау= У Y, так как для пуассоновского пото­ ка вызовов среднее значение и дисперсия совпадают.

2. Если под у понимать обслуженную нагрузку, как обычно и делается при измерениях в чнн, то оу больше, так как, кроме од­ ного случайного фактора (случайные моменты поступления вызо­

где следует подставить У вместо т и учесть, что /?г = о2 = а2/. Для конечного пучка оу близко к этому значению при небольшой ве­

213

роятности потерь. Заметим, что на необходимость использования соотношения o2v— 2Y при измерениях трафика внимание обращал Бретшнайдер (170].

Из рассмотренного можно сделать следующие выводы:

1. Об отклонении от пуассоновской нагрузки первого рода мож­ но говорить, если a2y[ Y > 2.

2. Для того чтобы облегчить расчет пучков при колебаниях наг­ рузки, следовало бы дополнительно к существующим таблицам иметь еще таблицы, учитывающие колебание нагрузки в окрест­ ности заданной (например, по нормальному закону и при различ­ ных дисперсиях). Это давало бы более обоснованные выводы о раз­

[209], Лонгли [256].

Высказанные в настоящем пункте соображения необходимо учи­ тывать в тех случаях, когда на основе измерений обслуженной нагрузки у делаются выводы от том, что интенсивность поступаю­ щего потока X возросла на некоторое АХ. Подобные соотношения между средними значениями этих величин выводит Оберто [268]. Однако для их применения на практике необходимо учитывать также соотношения между дисперсиями оценок величин X и у, что может войти в соответствующие рекомендации МККТТ. О задаче получения несмещенных оценок средних значений для А, и у уже упомянули выше (Деклю [186]).

5. Расчеты с потерянными потоками

Известны рекомендации МККТТ [175] о расчете пучков, об­ служивающих потерянные потоки. Рекомендуется нагрузку, посту­ пающую на вторичный пучок и полученную суммированием наг­ рузок Хи потерянных на первичных пучках, брать со взвешенным коэффициентом скученности

zi Xi

где Zi — коэффициент скученности для нагрузки Xi. В [175] дана таблица коэффициентов 2,. Например, для нагрузки, потерянной на одной линии, 2=1,13, на двух г = 1,31 и т. д.

Проблема суммирования потоков связана с предельными тео­ ремами об образовании пуассоновского потока, что лежит в осно­ ве теории телетрафика (Гнеденко [35]), в частности, с теоремой Григелиониса [41], содержащей условия образования пуассонов­ ского потока при суммировании неоднородных и нестационарных потоков.

214

С целью 'проверки применимости выражения (85) и предельных теорем проведен расчет потерь на двух неполнодоступных схемах (рис. 10.13). В табл. 10.5 сравниваются точные значения вероятно­ сти потерь я с двумя приближениями и указанием относительных ошибок (в скобках): в первом случае предполагается, что суммар­ ный поток, потерянный на п индивидуальных линиях, является:

8потоков);

2)приближение согласно ре­

комендациям МККТТ более точ- Рис. 10.13. Две мепо.пнодоступные ное, но его следовало бы уточнить схемы

с учетом зависимости величины z

от X (или я). Заметим, что такая зависимость учитывается, на­ пример, в методе эквивалентных замен Вилкинсона—Бретшнай-

ны вычислительные программы для решения прямой и обратной задач эквивалентной замены с дробным числом линий. Можно так­ же высказать предположение, что при большом числе потоков вместо суммы дисперсий следует брать несколько меньшее число, так как суммирование независимых потоков должно приводить к их выравниванию.

6. Учет влияния повторных вызовов

Статистические измерения трафика показывают, что потери вызова на практике часто многократно превосходят расчетные и вместо нескольких промиллей достигают десятки процентов, что, в

215

свою очередь, приводит к появлению повторных вызовов. По наб­ людениям Рахко [278] успешными являются 67% вызовов. Подоб­ ные данные указаны в докладе Хейварда и Вилкинсона [220]: при расчетах коммутационных систем в компании Белл число посту­ пивших вызовов принимают равным числу обслуженных вызовов + 35% потерянных вызовов (блокированных попыток). Это свиде­ тельствует о необходимости кардинального пересмотра основ тео­ рии телетрафика, замене модели с потерями моделями с повтор­ ными вызовами. Различия между этими моделями иллюстрирует рис. 6.2.

Как было указано в гл. 6, итоги работы МКТ-6 знаменуют со­ бой поворотный пункт в проблеме повторных вызовов, так как на конгрессе была показана не только важность для МККТТ этой проблемы (доклады Иенсена [230], Ныостеда и Тонге [266]), но и независимо рядом авторов были предложены решения проблемы повторных вызовов для полнодоступного пучка с потерями (Ионин, Седол [65], Бретаинайдар [172], Фидлтн [139], Шнапс-Штейне [285], а также работы Эллдина [196], Корнышева [82]), была дана мето­ дика расчета дополнительной нагрузки из-за повторных вызовов (Ле-Галль [90], Шнепс-Шнапое [285]), что создало осп-юду для разработки соответствующих рекомендаций МККТТ.

Касаясь вопроса разработки рекомендаций, укажем на одну трудность статистического характера: при данной интенсивности потока вызовов дисперсия оценки вероятности потерь в модели с повторными вызовами намного больше, чем в модели с потерями. В связи с этим в соответствующих рекомендациях МККТТ жела­ тельно указывать не только метод оценки явления повторных вы­ зовов, но и требуемую точность статистических выводов.

Замечания

Перечень рассмотренных в настоящей главе методов оценки выборочной дисперсии можно дополнить ссылками на распределе­ ния Пуассона и Бернулли. Эти распределения дают приближенное представление о потерянном потоке вызовов и могут служить оцен­ ками снизу для дисперсии марковского процесса, описывающего потерянный поток (истинная дисперсия будет больше из-за того, что эти распределения не учитывают корреляции между вызовами в потерянном потоке).

Из теории вероятностей известно (например, Реньи [279], Бе­ ляев [23], Добрушин [51]), что поток, потерянный на полнодоступ­ ном пучке, приближается к пуассоновскому потоку при А,—>-0 или, другими словами, когда к нулю стремится интенсивность потерян­ ного потока. Интуитивно правдоподобно, что такой вывод имеет место для любой системы с потерями.

Если принять это предположение, то для оценки потерь по вы­

зовам я = Nq/N, где N — число поступивших и N0— число потерян­ ных вызовов, получаем доверительные границы из утверждения, что я подчиняется нормальному закону со средним значением

216

I

С п и с о к л и т е р а т у р ы

2.Автоматическая коммутация и телефония. Ч. 1 и 2. Под ред. Г. Б. Метельского. М., «Связь», 1969.

3.Автоматическая междугородная телефонная связь. Под ред. Е. А. Зайончковского. М., «Связь», 1969.

4.А д ж е м о в С. А. Метод анализа схем построения сети междугородных связен. В со. науч. трудов ЦНИИС, 1961.

5.Аз л а ров Т. А. Обобщение одной теоремы А. Я. Хннчнна. — «Труды Таш­

14.Ба ' Шарин Г. П. О статистических оценках вероятности потерь и других характеристик коммутационных схем. — «Электросвязь», 1962, № 3.

218

30.В д о в и н А. А., Ш в а л ь б В. П. Исследование действия коммутационных схем в режиме группового искания па ЭЦВМ. — «Проблемы передачи ин­ формации». М., Изд. АН СССР, вып. 11, 1962, с. 77—85.

31.Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967.

39.Г о л е н к о Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на ЭВМ. М., «Наука», 1965.

219