книги из ГПНТБ / Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика

при больших нагрузках удобно иметь выражения для р(х) в виде разложений по степеням Л-1. Соответствующие формулы для коэф­ фициентов разложений получаются аналогично разложениям по 'Степеням X, только .в качестве состояния 0 выступает .состояние v (все линии заняты), и рекуррентные вычисления надо начинать не с х = 0, а с x = v. Поэтому приведем соответствующие формулы без их подробного вывода.

Решение ищем в виде

чтобы получаемые степенные разложения р(х) по А-1 удовлетворя­ ли нормирующему условию. Для этого следует наложить условия:

do (v) = 1;

d\ (и) -j- 'V do (x) — 0;

по степеням Х~1 в виде (16).

Пр и м е р . Вычислим для схемы, данной на рис. 5.3, первые три коэффициента разложения для вероятностей состояний по степе­ ням Х ~ Х Воспользуемся схемой вычислений, описанной подробно для разложений по степеням X. Только в этом случае вычисления векторов решения ■— векторов d0, di, d2 — идут снизу вверх, а не сверху вниз, как в случае ср, си с2. Результаты вычислений сводим в таблицу:

100

Для вероятности потерь я = -^ -{р (101)+ р (011)]+ р (111) получаем

разложение я = 1—3/2Л,-1 -h5/4 А,_2+ ...

4.О сходимости степенных разложений

Интервал сходимости степенных разложений вероятностей со­ стояний и вероятности потерь определяется соответствующими тео­

101

Выражениями (20) — (23) трудно пользоваться на практике. Более конструктивный подход к оценке области сходимости степенных разложений дает изучение характеристических корней многочлена 2 Рх(Х) в знаменателе выражения (4).

Степенное разложение вероятности потерь в окрестности А,=0 сходится для X|<|/mfn|, где rmin — минимальный корень много­

на численном примере.

Схема на рис. 5.3 имеет вероятность потерь

Находим, что ее знаменатель имеет два комплексно-сопряженных

дится в области О < Л < EJL , а по степеням Я,-1 — в области

1102

5.3.АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ ПОТЕРЬ

1. Исследование НС при малых нагрузках

Численные 'примеры, изложенные в § 5.1, .показывают, что для случая упорядоченного искания свободной линии принципы вы­ бора оптимальной НС зависят от нагрузки: при малых нагрузках выгодно пользоваться схемами с индивидуальными линиями, а при средних и больших нагрузких оптимальными являются равномер­ ные схемы. На основе степенных разложений вероятностей состоя­ ний, полученных в § 5.2, можно найти первые члены асимптотиче­ ских разложений вероятности потерь по X (при малых нагрузках) и по X-1 (при больших нагрузках), которые позволяют теоретичес­ ки подтвердить предположения, основанные па анализе численных данных.

Далее, сравнивая две схемы, при Х-Я) лучшей будем считать ту схему, для которой в разложении вероятности потерь по степеням Я первый из несовпадающих членов разложения меньше. Аналогич­ но при Х->-оо отношение «лучше» устанавливается сравнением по степеням X-1.

На основе рекуррентных формул, полученных в § 5.2.2 для вы­ числения коэффициентов ст(х), можно найти степенное разложение вероятности потерь л (А) при малых нагрузках X.

Подставляя (10) с учетом условия нормировки (15) в выраже­

■что представляет собой степенное разложение вероятности потерь л(Х) по степеням X. Если рх(Х) найдены по ф-лам (9) — (Ш) с точ­ ностью до нормирующего множителя, то вероятность потерь

21Ух Рх (X)

л(X) = хе s_______

2 1 ра(Х)

I(=0 ft=0x£Lk

103-

Итак, мы получили разложение вероятности потерь я (А,) по сте­ пеням X в двух видах: в виде (24) при условии выполнения условия

п — 1

вертикалей индивидуальных линий и d—г общих линий, доступных всем п группам. Притом индивидуальные линии доступны ранее об­ щих линий.

б) Если -—j — дробное число, то при А->-0 оптимальная НС

отличается от схемы по пункту а) тем, что между г вертикалями индивидуальных линий и d—г общими линиями размещается одна вертикаль контактов, доступная [и— (rn + d—г)\ линиям с равно­ мерным включением.

И д е я д о к а з а т е л ь с т в а . При малых нагрузках X потеря вы­ зова бывает редко и только тогда, когда заняты все линии какой-то группы. Коэффициенты ст(х), входящие в разложение (25), свя­ заны с f х — числом путей, которые состоят из одних только заня­ тий и переводят НС из состояния 0 в состояние х. Например, из (13) имеем:

(т. е. прямо пропорционально числу таких путей). Отсюда следует эвристическое соображение, что при заданном числе вызовов. k ^ d лучше та схема, для которой меньше возможностей построе­ ния строго возрастающих путей длины k, приводящих к потерям вызова.

Утверждение о том, что первая вертикаль должна состоять из индивидуальных линий (что возможно при условии,v > п —d— 1),. следует из рассмотрения первого члена разложения (26) :

У Ухс0 (х)

104

Если первая вертикаль состоит из индивидуальных линий, то при

rx=i 1 (так как это событие может произойти только одним путам — все d вызовов поступили от одной и той же группы абонентов). Число состояний х с s ( x ) = n —'1 равно п. Следовательно, в этом слу­ чае первый член в (26) принимает минимальное значение, равное

согласно (29)' d\ .

Для доказательства теоремы относительно других вертикалей контактного поля следует пользоваться следующими членами раз­

Поэтому ограничимся приведенными рассуждениями, которые убеждают в правильности теоремы. Добавим только наводящий пример относительно случая б). Пусть НС состоит из одной верти­ кали с п = 4 контактами, среди которых следует разместить две ли­ нии. Сравним два варианта: А — одна индивидуальная линия и одна линия, доступная трем группам; Б — две линии, доступные двум группам каждая (равномерное включение, как того требуют условия теоремы). Пусть поступают два вызова подряд. Рассмотрев все п2= 16 случаев, образующих полную группу событий, находим, что вероятность потери в случае А равна 5/8, а в случае Б — всего 1/2, что подтверждает требования теоремы.

Приме р . Найдем первый член разложения (26) для схем, при­ веденных на рис. 5.1. Согласно (29) следует рассмотреть все со­ стояния с тремя занятыми линиями. Для схемы на рис. 5.1а это со­ стояния, когда занята одна из индивидуальных линий и обе общие линии (их всего 4). Достижение этих состояний возможно, исходя из состояния 0, только одним путем, а именно, поступлением трех вызовов от одной группы абонентов. Следовательно,

105

Из сравнения (30) и (31) вытекает, что при 7->-0 оптимальной яв­ ляется схема на рис. 5.1а, имеющая в начале индивидуальные ли­ нии, что согласуется с теоремой 5.1.

2. Исследование НС при больших нагрузках

Для изучения НС при 7->-оо следует пользоваться разложе­ нием я (X) по степеням X-1. Подставляя (йб) в (6) и используя рекуррентные ф-лы (17)— (19), после громоздких вычислений по­ лучаем первые четыре члена разложения я по степеням Х~1:

i * i

li — доступность t-й линии (число групп, которым доступна С-я ли­ ния), i=\,...,v; Sij — число групп, которым доступна хоть одна сво­ бодная линия в состоянии, когда свободны только две линии с номе­ рами i и /; — число потоков (часть йз вызовы которых по­ ступают на линию с номером /, когда свободны только линии с но­ мерами i и /.

На основе анализа разложения (32) можно доказать следующие теоремы о принципах выбора оптималыгой НС при больших на-

inpy:3tKa'X.

Теорема 5.2. При Х-*-оо оптимальная НС должна удовлетво­ рять принципу 1: «Контактное поле с параметрами п, d,, v разби­ вается на контактные множества, содержащие по г или г+1 кон-

106

выполняться 'У Ili = nd и /{ — целые числа, то из элементарных со-

«Каждая пара линий имеет число общих групп (по возможности), ■одинаковое с числом общих групп любой другой пары линий».

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим коэффициент при Х~3 в раз­

ложении (32). При — —г v

И

2Т + М - L*

Следовательно, для минимизации потерь надо минимизировать первую сумму.

Если через обозначить число групп, общих для линий с но­ мерами 1и ], то

Отсюда, как при доказательстве теоремы 5.2, следует, что сумма

имеет минимальное значение, когда все s,-j по возможности одина­ ковы, что доказывает теорему 5.3.

линии доступности Г nd = г размещены левее линии доступности

V

г+1 (при направлении искания слева направо)»;

2) модифицированному принципу 3х: «Распределение линий по группам следует проводить так, чтобы минимизировать выражение

где к — число линии с г контактами».

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства рассмотрим коэффи­ циент при А,-3 в (32). Докажем справедливость принципа 2. Через к обозначим число линий, 'которые имеют г контактов. Заметим, что в выражении (2 Т + М—L2) /п величины L и Т не меняются при сдви­ гах контактных множеств по вертикалям. Остается изучить вели­ чину М:

ние, не зависящее от расположения контактных множеств по вер­ тикалям. Следовательно, надо минимизировать вторую сумму или, точнее, минимизировать величины где k + l ^ j s ^ v , что достигается, если линия i расположена левее линии / во всех груп­ пах, для которых доступны обе эти линии. Отсюда следует, что линии с числом контактов г надо ставить перед линиями с числом контактов r + 1, что и требовалось доказать.

Сейчас переходим к доказательству модифицированного прин­ ципа 3х. Рассмотрим числитель коэффициента при к~3 в (32):

108

+ (v— k) (V— k — 1) •(r+1)3

Так как заключенная в квадратные скобки часть выражения посто­ янна, то следует минимизировать сумму первых трех слагаемых.

После умножения этой суммы на г/4 и приведения подобных членов получаем выражение (34), приведенное в условиях теоремы. Тем самым доказана необходимость соблюдения модифицирован­ ного принципа 3'.

3.Обсуждение результатов

Теоремы 5.1—5.4 доказывают часть предположений, высказан­ ных в § 5.1 на основе анализа численных данных в случае упоря­ доченного искания свободной линии. Дальнейшее исследование ко-

109