книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

Таким образом, зависимость (IV. 10) характеризует отклонение статистического среднего I от математического ожидания t, вы-

с

раженное в величинах среднеквадратического отклонения —— ~—

У п

— ас среднего.

Такое отклонение (в безразмерных единицах, так как размер­ ности t и 0 одинаковы) носит название нормированного. В теории

вероятностей доказывается [8], что случайная величина Т подчи­ няется закону распределения Стюдента с плотностью распределе­ ния:

где Г(U) — гамма-функция, характеризуемая интегралом (III.31). Как видно из (IV. 12), распределение Стюдента не зависит от t и а, а определяется лишь числом наблюдений п (объемом выбор­

ки) и аргументом |. Таблица распределения Стюдента приведена в приложении 5.

Распределение Стюдента позволяет определить величину а в соотношении (IV.5). В самом деле, найдем вероятность попадания

60

где £а = - ^ - , причем ас предварительно должно быть вычислено

в соответствии с (IV.8).

Таким образом, доверительные границы для эмпирического среднего I устанавливают по следующей методике:

1. На основе экспериментальных данных с помощью формулы

(IV.8) вычисляют величину ос.

2.В зависимости от требуемой надежности доверительного ин­ тервала назначают величину доверительной вероятности е.

3.По заданной е и известному п из таблицы приложения 5 на­

верительного интервала. Величина t с вероятностью е не выйдет

за пределы г±а.

Покажем применение этой методики на примере, который ре­ шался в § 6 гл. III на основе данных, приведенных на стр. 41. Оп­ ределим с надежностью 0,9 доверительный интервал для средней длительности выполнения работы, значение которой было равно

4,9 ч.

няя или верхняя граница возможных или допустимых значений

Оценка точности среднеквадратичного отклонения а, вычислен­ ного по данным выборки, в принципе осуществляется таким же ме­ тодом. Так же вводится новая случайная величина

61

В математической статистике доказывается [32], что величина %о подчиняется следующему закону распределения:

где Г (U) — гамма-функция.

Затем доказывается, что вероятность е относительной ошибки среднеквадратичного отклонения, не превышающей заданной ве­

Функция L (р, п — 1) табулирована (см. приложение 6).

Продолжим решение того же примера и установим с надежностью 0,9 дове­

Следует иметь в виду возможность использования приближен­ ных формул для оценки доверительного интервала к статистиче­

С помощью распределения Стюдента может решаться и обрат­ ная задача — установление необходимого числа испытаний для по­

лучения величин t (статистического среднего) и ю (статистическо­ го среднеквадратичного отклонения) с заданной надежностью, т. е.

62

Поставим теперь вопрос так: каково должно быть число наблюдений, что­ бы при том же уровне надежности 0,9 доверительный интервал был равен 0,1ч? На основе соотношения (IV.15) запишем

2£. Г-И— =0,1.

У п — 1

Можно полагать, что число наблюдений должно быть в этом случае значи­

Таким образом, при л=700 значение длительности работы ожидается в пре­ делах от 4,9—0,05=4,85 ч до 4,9+0,05=4,95 ч. При этом надежность этого ин­ тервала колебаний значений статистического среднего t составит 0,9.

Имеются и другие методы определения необходимого числа ис­ пытаний п для получения результатов с требуемой надежностью. Один из них основывается на предварительном (из рекогносциро­ вочной серии опытов) определении «меры изменчивости» V как от-

Т а б л и ц а 13

мой величины.

ношения, установленного в эксперименте среднеквадратичного от­ клонения к статистическому среднему, т. е.

Затем по величине V и требуемой доверительной вероятности ре­ зультата е по табл. 11 устанавливается необходимое число опытов.

63

Рассмотрим пример реализации этой методики. При испытании в 28-суточном возрасте серии бетонных кубиков в дорожной лаборатории получены результаты, приведенные в табл. 12. Определить, какое количество кубиков должно быть из­ готовлено и испытано для получения показателя прочности бетона на сжатие с

3. Вычислим меру изменчивости

21,4

У= 2991О00/о=7-2°/о-

4.Из табл. 11 находим, что для получения Л вр с надежностью 0,95 нужно из­ готовить и испытать 14 кубиков.

Если, планируя эксперимент, мы не знаем меры изменчивости случайной величины, то количество необходимых опытов для суж­ дения об изучаемом явлении с необходимой надежностью резко возрастает. Это легко видеть из так называемой «таблицы доста­ точно больших чисел», где даются значения п при различных а и е (табл. 13). Поэтому всегда выгоднее провести серию предвари­

тельных опытов, с тем чтобы определить а или V и воспользовать­ ся для установления необходимого числа опытов распределением Стюдента или табл. 11. В обоих этих случаях приходится вести обработку экспериментальных данных. При этом удобна форма за­ писи, приводимая в табл. 14.

64

Г па р а

V

л и н е й н о е п р о г р а м м и р о в а н и е

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЭКОНОМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

§ 10. Задачи, решаемые методом линейного программирования

Задачи линейного программирования являются разновидностью более широкого класса задач, называемых распределительными. Задачи распределения возникают в случаях, когда имеющихся ре­ сурсов недостаточно для выполнения каждой из работ с наиболь­ шим эффектом. При подобных обстоятельствах приходится забо­ титься о наилучшем использовании имеющихся ресурсов в целом. Рассмотрим в качестве примера приводимую ниже матрицу.

Величины Cij выражают стоимости перевозки 1 м3 материала из

карьера i на участок работ j (руб.); а, дают запасы материала в карьерах, a bj — потребности в материалах для производства до­ рожных работ (тыс. м3) .

Рассматривая матрицу по столбцам, легко заметить, что на участки работ 1 , 2 и 3 выгоднее всего было бы вывозить материал

из карьера 1. Однако потребность в материале для упомянутых

ла на эти участки придется вывозить из других карьеров при более высокой стоимости перевозок. Аналогично можно сделать вывод о целесообразности вывозки необходимых для четвертого участка материалов из карьера 3, а для пятого участка — из карьера 2 .

Таким образом, минимальная общая стоимость перевозки со­ ставила бы при Х ц = 4; Xi2 = 5; X i 3 = 7; х 34 = 9 и *25 = 9:

Подобный план перевозок был бы возможен при наличии сле­ дующих количеств материала в карьерах: ai=16; а^= 9 и а3 = 9. Однако наличие ресурсов в карьерах не соответствует этому ус­ ловию, и придется заботиться об отыскании решения, учитываю­ щего реальное наличие материалов в карьерах с возможной мини­ мальной стоимостью перевозок. Забегая вперед, отметим, что воз­ никающая при этом распределительная задача является транспорт­ ной задачей линейного программирования. В данном примере ее решение дается следующей матрицей:

Естественно, что общая стоимость перевозок будет больше вы­ численных выше 13 400 руб. и составит:

У,сих и = (0,4 -1 + 0 ,1 -5 + 0,2-4 + 0,3-3 + 0,7-9 +

+ 0,5 -3+ 0,4 -9) 103 = 14000 руб.

Для лучшего понимания математического смысла задач линей­ ного программирования рассмотрим следующую систему урав­ нений:

2xi + 3x2+ x3= 8 ; 1

Система (V.1) является неопределенной, так как для отыскания трех неизвестных имеется всего два уравнения. Такая система в принципе имеет бесчисленное множество решений. Метод решения подобных систем состоит в приведении их к определенным за счет введения дополнительных условий. Так, если принять, что одно из неизвестных в системе (V.1) может равняться нулю, то получаем следующие три решения системы:

66

Если по смыслу задачи нас устраивают только неотрицатель­ ные решения, то первое решение сразу же отпадает. Дополнитель­ ным условием могло бы также быть требование целочисленности

обеспечить min или max так называемой целевой функции. Допустим, что в рассматриваемом примере целевая функция

для 3-го решения L —1 + 2 • 2 + 3-0 = 5, т. е. оптимальным было бы третье решение.

Рассмотрим особенности постановки задач линейного програм­ мирования. Первой из этих особенностей является выражение це­

Вторая особенность состоит в том, что число линейных зави­ симостей в задаче меньше числа неизвестных. Наконец, третьей особенностью является требуемая обычно по смыслу задач неот­ рицательность переменных.

Общая форма записи задач линейного программирования с уче­ том отмеченных их особенностей обычно следующая:

Ь = 'У1сг х г — целевая функция, требующая максимизации пли Ч 11 1 минимизации;

■— ограничения в форме равенств или неравенств.

i x ij < bj

Проиллюстрируем порядок постановки и записи задач линей­ ного программирования на следующем простом методическом при­ мере.

Имеется т гравийных карьеров, в которых может осуществлять­ ся заготовка материалов (1, 2, 3, ... г, ... т). Имеется п объектов дорожных работ, которым нужны гравийные материалы (1 , 2 , ...,

/, .... я).

Введем обозначения: а, — количество гравийного материала, которое может быть получено в г-м карьере, м3; b j — количество гравийного материала, необходимое /-му объекту, м3; Хц — коли­ чество гравийного материала, перевозимое из г-го карьера на /-й объект. Предполагается, что общая потребность в гравийных мате­ риалах удовлетворяется:

тп

Т а б л и ц а 15

Нужно определить неизвестные объемы перевозок хц так, чтобы общая их стоимость была минимальной.

Допустим, что т = 2 и п = 3. Составим вспомогательную таблицу для переменных (табл. 15). Совокупность перевозок из карьера 1 должна удовлетворять уравнению

Для карьера 2 аналогично получим

Эти условия еще недостаточны для решения задачи. На каждый объект нужно завезти материалы в необходимом количестве, поэто­ му составим следующие соотношения:

Распределить перевозки нужно так, чтобы стоимость всего объе­ ма перевозок была минимальной, т. е.

с п х \ \ Л ~ с п х п ~ \ ~ c i z x \ z ~ \ ~ с п х и ' \ - — L , (V.7)

где L — целевая функция.

Таким образом, целевая функция и все ограничения выразились линейными зависимостями. Дополнительным условием является не­ отрицательность величин хц, т. е. Xij^O.

Из зависимостей (V.2) — (V.6 ) видно, что число неизвестных, которые нужно определить, равно шести (хп, Х\2, х 13, х2ь х22, х2з),

тогда как число уравнений, связывающих эти неизвестные, равно пяти: неравенства (V.2) и (V.3) и равенства (V.4 ) — (V.6 ). Кроме

того, значения неизвестных должны быть найдены так, чтобы ми­ нимизировать линейную форму (V.7).

68

Чтобы получить в дальнейшем (см. § 11) количественное реше­ ние задачи, примем значения постоянных, входящих в целевую функцию, и ограничения в соответствии с данными табл. 16.

Ограничения (V.2) и (V.3), имеющие форму неравенств, можно превратить в равенства, введя фиктивный объект работ 4, на кото­ рый и должна быть спланирована вывозка остатка запаса мате­ риала обоих карьеров. Этот остаток

тп

2 а , - 2 Ь, = ( 4 + 1 0 ) - ( 5 + 3 + 4) = 2.

1 = 1 у = 1

Так как фактически перевозок на фиктивный участок 4 не бу­ дет, их стоимостные характеристики Сн и с24 должны быть приня­

ты равными нулю. При этом значение линейной формы (V.7) не претерпит каких-либо изменений от введения фиктивного участка. С учетом фиктивного участка работ в табл. 17 даны все исход­ ные данные и искомые неизвестные задачи.

69