книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

Как уже отмечалось, площадь, ограниченная кривой плотности распределения, всегда равна 1. Тогда для определения параметоа с легко получить соотношение

f (t - t 0T ( t n - t ) bdt

h

Если интервал изменения переменной (от t0 до tn) принять за единицу масштаба, что всегда легко сделать, и ввести положитель­ ные параметры формы у и г), т. е. принять сс+1=у; 6 + 1=т), то вместо (II 1.25) будем иметь

при ограничениях (III.29).

Гамма-функция, входящая в (III.30), в свою очередь, пред­ ставляет собой следующий интеграл:

Г (У -И )= J e - 4 T+1,“ 1 d\.

о

50

Значения гамма-функции приводятся во многих математиче­ ских справочниках и, в частности, в работе [8].

Графики плотности бета-распределения при различных значе­ ниях параметров у и т] показаны на рис. 14. При у =,П бета-распре­ деление является симметричным и, в частности, при у = г]= 1 пе' реходит в равномерное распределение (см. рис. 14, а).

О0,2 0,4 0,д 0,8 t

Рис. 14. Формы кривых плотности бета-распределения при различных т] и у:

а _ П = у ; б - т ) > 1 ; у > 1 ; s — т ) < 1 ; Y < 1

Для рассматриваемых в книге вопросов наибольшее значение имеют случаи, отражаемые рис. 14, а и 14, б, когда у > 1 и т)>1. В этих условиях распределение является одновершинным, т. е. уни­

модальным (одна мода). Поэтому, если найти производную6^—*^, то

симум. При у>1,0 и т]>1 это дает следующее значение моды, ко­ торое мы обозначим индексом т (см. рис. 13):

т. е. мода соответствует центру интервала изменений случайной ве­ личины, что обязательно для симметричных распределений (см.

рис. 14, а).

Интегральная функция бета-распределения F(t) в соответствии с (III.8) должна быть записана следующим образом:

t

F {t) = Г (t) Г (1)) \J xT_1 (1 - - * г 1 d x ’ о < * < i ,°-

51

Г л ав а

IV

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЭКОНОМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

§ 8. Элементы статистической проверки гипотез

Для количественного анализа вероятностных процессов необ­ ходимо знать закон распределения случайной величины и ряд чис­ ловых характеристик, причем обязательно математическое ожида­ ние t и дисперсию ю2. Наиболее сложным является установление закона распределения случайной величины. Эта задача решается обычно методами математической статистики. Так как количество эмпирических данных (объектов) обычно бывает ограниченным (ограниченная выборка), то используются специальные приемы для того, чтобы по свойствам выборки судить о неизвестных свой­ ствах остальных объектов и в целом о так называемой генераль­ ной совокупности объектов. Статистическая проверка гипотез име­ ет целью на основе анализа данных по выборке дать суждение о законе распределения генеральной совокупности. Вначале прини­ мается так называемая основная или нулевая статистическая гипо­ теза в отношении неизвестного закона распределения случайной величины (допустим, принимается, что этот закон нормальный, пуассоновский и т. п.). Затем с помощью специальных статистиче­ ских критериев устанавливается, соответствуют ли данные выбор­ ки принятой гипотезе или нет. В зависимости от ответа на этот во­ прос гипотеза принимается или отвергается.

Рассмотрим методику такого анализа на двух примерах.

П р и м е р 1. Требуется установить на основе приведенных ранее (см. стр. 38) даннных изучения движения, подчиняется ли количество автомобилей, проходя­ щих через определенное сечение дороги в единицу времени, закону Пуассона.

В табл. 7 представлены данные наблюдений за числом автомобилей, прохо­ дящих по автомобильной дороге в одном направлении за одноминутный интер­

а = У mpi, i=1

где к может быть и бесконечным.

53

В нашем примере получим

fa и / т достаточно близки. Однако необходима более детальная проверка прием­ лемости гипотезы о применении к наблюденному статистическому распределению закона Пуассона.

Как уже отмечалось, дисперсия случайной величины, распределенной по за­ кону Пуассона, равна ее математическому ожиданию.

Вычислим на основе экспериментальных данных табл. 7 математическое ожи­ дание яп и дисперсию сгп2.

В качестве математического ожидания следует взять среднее арифметическое из наблюдавшихся в одноминутных интервалах количеств автомобилей:

т

2 п‘

—г=1

В нашем примере т = 100; фактически величина па уже была определена,

т. е. яп=а=2,50.

Определим теперь эмпирическую дисперсию огп2 с помощью формулы (III.12)

°п= 2 («гп—«п)2Ры- /-I

54

между наблюденными и теоретическими частотами появления событий («мера расхождения»):

где к — число разрядов (интервалов), на которые разбиты наблюдения. Используя данные табл. 7, получим

(0-0,3)2

2,40.

+0,3

Распределение величины х2 зависит от параметра v, называемого числом сте­ пеней свободы. Число степеней свободы равно числу разрядов к минус число условий («связей»), наложенных на наблюденные и теоретические вероятности. Примерами таких условий являются:

к

Таким образом, если теоретическое распределение совершенно независимо от данных практических наблюдений, то v=re— 1. Если же для оценки h параметров

экспериментальное распределение не противоречит пуассоновскому. При х2=

=2,40 и v = 8 получим р = 0,96.

Таким образом, проведенный анализ в принципе подтверждает соответствие экспериментальных данных табл. 7 пуассоновскому распределению.

Важной характеристикой пуассоновского потока является закон распределе­ ния вероятностей интервалов времени 0 между смежными событиями, выражаю­

т. е. вероятность того, что два последовательных события разделены интервалом времени большим, чем 0, дается экспоненциальной функцией с показателем сте­

55

Т а б л и ц а 8

т. е. вероятность того, что интервал по времени между двумя смежными собы­ тиями будет больше 0, равна вероятности того, что за время 0 не произойдет ни­ какого события.

Таким образом, если вероятность числа п событий в заданном интервале вре­ мени следует закону Пуассона с параметром X, то интервалы между событиями

* Пример излагается по материалам канд. техн. наук Ю. А. Мальцева.

56

Эмпирическое среднее I вычислялось по формуле (III.11) и составило при­ мерно 100%.

Дисперсия эмпирического распределения о2, определенная по формуле

г| и у. Как отмечалось ранее, эти формулы справедливы в случае, когда весь

где, в свою очередь, к — число разделов, в которые были сгруппированы наблю­

Следовательно, v = 1 2 —3=9.

Расчеты по формуле (IV. 1) дали х2=0,559.

57

Из таблицы приложения 4 найдем р = 0,99, т. е. с высокой степенью вероят­ ности данные по производительности бульдозеров не противоречат закону бетараспределения с параметрами ц е й и ys^5,6. Канд. техн. наук Ю. А. Мальцевым аналогичным образом были изучены данные по производительности других видов машин.

Результаты обработки приводятся в табл. 10. Как видно из приведенных в ней данных, была установлена вероятность соответствия как бета, так щ нормаль­ ному распределению. Обе эти вероятности оказались достаточно близкими, что объясняется малой асимметрией графиков f(t) для всех типов машин (см. пара­ метры г] и у в табл. 10 и рис. 14).

Т а б л и ц а 10

Таким образом, этот анализ показал, что производительность наиболее широко применяемых в дорожном строительстве машин хорошо описывается законами бета- и нормального распределения. При решении практических задач следует отдать предпочтение нор­ мальному распределению как более простому.

§ 9. Понятие о доверительных оценках

При изучении вероятностных процессов в практических целях возникает необходимость по ограниченному числу имеющихся на­ блюдений (выборка из генеральной совокупности) прежде всего выяснить, какому закону распределения подчинена случайная ве­ личина. При этом используются вычисленные по материалам вы­ борки значения эмпирического, среднего I и дисперсии о2 (см. примеры 1 и 2 § 8). Сами эти величины имеют большое значение, и потому необходимо знать, какова их точность, или, иначе говоря, надежность.

Задача формулируется следующим образом: требуется опреде­ лить вероятность г того, что разница между эмпирическим средним t и истинным неизвестным нам математическим ожиданием t не

превзойдет некоторой величины а. Это условие записывается обыч­ но так:

р( | t —t ] < а ) = е . (IV.5)

58

Из (IV.5) следует, что истинное неизвестное нам математиче­ ское ожидание t случайной величины будет находиться в преде­ лах от I—а до t + a. Величина е носит название доверительного коэффициента или доверительного уровня. В практических задачах в зависимости от требуемой надежности их решения принимают

е=0,95; 0,99; 0,999.

Аналогично может ставиться вопрос_и о степени точности сред­

Основная задача состоит теперь в том, чтобы определить пара­ метр а в зависимости от числа опытов (объема выборки) и закона распределения случайной величины. Наиболее полно она решена для нормально распределенных случайных величин.

Для решения этой задачи вместо случайной величины t вводит­ ся новая случайная величина Т по соотношению

°с

i-i______

где (IV.8)

п ( п - 1)

Ранее была приведена формула (III. 12) для вычисления так на­ зываемой статистической дисперсии по данным выборки. В матема­ тической статистике доказывается [32], что более правильно вели­ чину дисперсии определять из зависимости

2 с , - - о 2

о2 = г- 1 (IV.9) п — 1

Величина а2 носит название несмещенной оценки дисперсии случайной величины. Тогда формулу (IV.7) можно записать в виде

V п

ставляет собой несмещенную оценку среднеквадратичного откло­ нения математического ожидания t случайной величины. Следова­ тельно, с увеличением выборки среднеквадратичное отклонение статистического среднего неограниченно уменьшается и само сред­ нее стремится к истинному значению математического ожидания t случайной величины.

59