книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

Наработка на отказ

Рассмотрим теперь, в каких случаях и какими количественными характеристиками надежности целесообразно пользоваться.

Для элементов разового (т. е. до первого отказа) использования целесообразно в качестве количественных характеристик надежно­ сти использовать P{t)\ Т\ К(t) и a(t).

Т а б л и ц а 34

отказом его с читается выход из строя хотя бы одного любе го элемента.

210

Для элементов (устройств) многократного использования тако­ выми являются ^Ср и со (t), причем количественная оценка надежно­ сти в таких случаях более сложна. Элементы (устройства), находя­ щиеся на хранении, в случае их выхода из строя заменяются. Поэ­ тому здесь снова действительны количественные характеристики Др и со(t). Таким образом, выбор количественных характеристик надежности зависит от класса элементов (устройств), наличия или отсутствия резервирования, состояния элементов (в хранении или в работе) и характера отказов. Табл. 34, заимствованная из работы А. М. Половко, дает рекомендации по выбору характеристик для ко­ личественной оценки надежности с учетом упомянутых факторов. Знак « + » в табл. 34 означает пригодность, а знак «—» непригод­ ность данного количественного показателя.

Порядок вычислений количественных характеристик надежности на основе статистических данных испытаний элементов (устройств) можно проследить на следующем примере'. Испытанию подверга­ лись Ао=1000 образцов. Общая длительность испытаний составила 3000 ч, причем выход из строя (отказы) элементов Ащ фиксировал­ ся через каждые Д /,= 100 ч. Данные испытаний приведены в табл. 35. Требуется вычислить характеристики P*(t)', a* (t) и X*(t).

Пользуясь формулой (XII.6), найдем:

1 Пример заимствован из книги А. М. Половко «Основы теории надежности»

(М , «Наука», 1964, 446 с.).

211

Величины a* (t) и %* (t) в соответствии с их смыслом будем вычислять, относя величины A/ij к середине соответствующего про­ межутка времени ДU.

212

Т а б л и ц а 36

Следует учитывать, что показатель надежности Р* (3000) =0,425 получен непосредственно по данным статистической выборки без каких-либо предположений о распределении времени возникнове­ ния отказов. Поэтому доверительный интервал для величины Р*(3000) =0,425 не может быть получен на основе правил, изложен­ ных в гл. IV с использованием распределения Стьюдента. В подоб­ ных случаях для суждения о степени достоверности количественной характеристики надежности можно воспользоваться ^-распределе­ нием Фишера и следующей формулой:

где P ( t ) — надежность по результатам испытаний с наработкой t

Параметры а, b и с в зависимости от а задаются табл. 36. Если а<0,50, то вычисления ведут следующим образом: для величины 1—а из табл. 36 выбирают а, b и с;

213

* 1—ajvjjv*

На основе изложенной методики оценим достоверность показа­ теля Р* (3000), вычисленного по данным табл. 35:

находим v2= 2 « - |-2 = 2-575--j-2-— 1152;

v1=27V0 —2ti = 2 - 1000 — 2-575 = 850;

зададимся коэффициентом доверия 1-—а=0,9, т. е.

§ 31. Основные статистические модели, используемые в теории надежности

Выше было показано, что, зная частоту отказов a(t), можно оп­ ределить остальные количественные характеристики надежности. Следовательно, основным в априорных методах количественной оценки надежности является установление вида функции a(t).

Частота отказов a(t) используется в оценке надежности гораздо чаще, чем средняя частота со(/). В большинстве практических слу-

214

чаев n(t)<^N0( см. формулы XII.20 и XII.25), и потому можно пре­ небречь незначительной погрешностью из-за уменьшения количе­ ства N0 испытываемых элементов (устройств) после каждого отка­ за. Поддержание постоянного числа элементов заменой отказавших может обусловить значительно большие погрешности вследствие неодинаковой наработки элементов и отличий характеристик эле­ ментов, вводимых взамен отказавших. К тому же вычисление вели­ чины ©(f) значительно сложнее, чем a(t).

6)

215

для описания a(t) во всем диапазоне времени работы различных устройств (включая период приработки до t0 и период нарастания частоты износовых отказов при t > t \ ) в наибольшей мере пригодно бета-распределение. Однако, как было показано в гл. III, расчеты с использованием бета-распределения достаточно затруднительны. Кроме того, приработка выпускаемых элементов (устройств) часто производится предприятием-изготовителем. К моменту же време­ ни ti (см. рис. 48) устройство часто целесообразно снять с экс­ плуатации и заменить новым или отремонтированным. При таких условиях наибольшую значимость для количественной оценки на­ дежности имеет участок кривой a(t), соответствующий изменению t от t0 до t\. На этом участке в большинстве случаев частота отка­ зов a(t) меняется по экспоненциальной кривой. Вот почему экспо­ ненциальное распределение является в теории надежности основ­

Таким образом, интенсивность отказов при этом распределении есть величина постоянная, не меняющаяся со временем. Постоян­ ная интенсивность отказов означает, что вероятность отказа не за­ висит от того, сколько времени устройство проработало до рассмат­ риваемого момента времени. Очевидно, что для износовых отказов такое условие не может иметь места. Поэтому экспоненциальное распределение обычно справедливо для случайных отказов мгно­ венного типа в системах, состоящих из большого числа элементов, отказы которых характеризуются различной интенсивностью.

Учитывая зависимость (XII. 18), получим

Очевидно, что tcv = T. В теории вероятностей доказывается, что при экспоненциальном распределении среднеквадратичное откло­ нение случайной величины равно ее математическому ожиданию. В данном случае а(Т) = Т.

216

Это свойство можно использовать для проверки гипотезы о су­ ществовании экспоненциального закона надежности. На основе статистических данных испытаний надежности определяется среднее время безотказной работы Т и его среднеквадратичное отклоне­ ние а(Т). Если они близки, то гипотеза об экспоненциальном рас­ пределении правдоподобна.

Нормальное распределение. Формула частоты отказов в этом случае имеет вид:

а ] / 2

t — T

о VT

получим Р (^ )= Ь — - — Г е~игс/и, что дает (см. гл. III):

V я —т VT

а | / Я

На графике рис. 49, а представлена зависимость K(t). Как видно из графика, интенсивность отказов K(t) с течением времени увели­

элемента (устройства) характерен для износовых отказов, описа­ ние которых часто может быть выполнено с помощью нормального распределения.

Гамма-распределение. Частота отказов при этом распределении

где Ко и к соответственно параметры масштаба и формы кривой плотности гамма-распределения, причем А о > 0 и к>0.

Используя зависимости (XII.18), (XII.21) и (XI 1.46), можно по­ лучить следующие формулы:

распределения [см. (XII.37) и (XII.40)].

Таким образом, гамма-распределение есть обобщение экспонен­ циального распределения для случая, когда отказ системы проис­ ходит при появлении ровно к независимых событий (отказов эле­ ментов). Это позволяет использовать гамма-распределение для ко­ личественной оценки надежности резервированных систем с одним действующим и к —1 резервными элементами (общее число элемен­ тов 1 + к—1 = к ). Каждый новый элемент включается в работу после отказа предыдущего, причем время безотказной работы каждого элемента распределено по экспоненциальномуУзакону. Отказ систе­ мы происходит после последовательных отказов всех к элементов. Гамма-распределение, как ясно из рис. 49, в, позволяет оценивать количественно надежность устройств и в период приработки их.

При к = 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное. Кроме того, частным случаем гамма-распределения (при к — целом

218

положительном числе) является распределение Эрланга, широко применяемое в теории массового обслуживания.

Бета-распределение. Это распределение было подробно рассмот­ рено в гл. III. Плотность его, а следовательно, и частота отказов выражается следующей формулой:

a гЛгГГ^ 1(1 (ХП'50)

г (Т) Г (1))

г д е 0 < / < 1 ; у > 0 ; Л > 0 .

Здесь весь интервал времени работы устройства принят за еди­ ницу. В соответствии с (XI 1.18) будем иметь:

t

P { t ) = 1 — j"a{t)dt

о

т. е. отыскание Т связано с интегрированием неполной бета-функ­ ции, что весьма затруднительно.

Частными случаями бета-распределения являются равномерное,