Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При < m (число требований в системе не меньше числа

приборов):

/7„—>pn= [ \ —(m —ti)Vdx]{\ — (Aoft) = l — (m —n)t.'ax —\idx;

Рп—>рп + 1 = {т —п) ddx (1 — \xdx)^(m —n)X'dx\

p n—>pn- i — [\ —{m —n'jX'dx^dx^^dx.

При n = m (все объекты находятся либо в обслуживании, либо в очереди):

Рп~* Р п = \ — **Ъ

рп ^ р п + 1= 0;

Р п ^ Pn-\=-^dx.

На основе этих соотношений составим теперь матрицу вероят ностей перехода.

Запишем уравнения состояния системы:

PQ{x-{-dx} = рй{х){\— m'h'dx)^ рг{х) —							dx		(/1 = 0);
pn(x-ydx) =	pn{x)		1 —(т — п) Уйх----- dx			+	/7„_i(T:)[m—(/г— 1)]Х
	X X'dx +			рп+1(х)	1)\|Л dx			( 1 < / i < S );
pn(x4-dx) =		p„(x)[\—{m —ti)X'dx — ^dx]-1r pn_ 1(x)						{m - п -f 1) X
		X	X ' d x рп+i(t)p-rft
Pm(x +		dx) = pm(x)(\ —v-dx)-\-pmr. 1(x)						X'dx (n = m ).
Путем простейших преобразований получим:
dPo									(n = 0);
dx									(n = 0);
dx
dpn		(.m —n)K -J-			Щ			Pn-l	00 +
dx		(.m —n)K -J-			/’«№ + ( ' » - » +			Pn-l	00 +
dx
		+ + +		T Pn-И 00				< « < 5 ) ;
=	[(m — reU'-f [x][ Pn(x)^-(m — n - f					1	) (	t) +	u/Vh (t)
dx
								(5 <	ra< m);
d-Pn	— V-PmW + X'pm-i (t)								[n = m ) .
	— V-PmW + X'pm-i (t)								[n = m ) .

1 d~

СЛ

Состояние в момент

1—m Vdx

<х

— dx

1 5

5 —1

S+ 1

т—1

Состояние в момент х + dz

	1	2	. . .	5 — 1
mk'dz
1—(т— \)l'd z —		(m—1) \'d z
—	If* ,	(m—1) \'d z
—	----dz
	S
2	jju	1—(m—2)X'dx—
— dz

s йх

1—(m—S + + l)X'rfx— 5 —1

]xdz

(m—S + + l)X'rfx

1—(m—5)X

YX'dz—\xdz

[J-dz

5 + 1

. . . m — 1

(m—S )Vdz

1—(m—5 +

+l)X'atx— —(jdz

1—X'rfx— Vdz

—\idz

pdx 1—{idz

Для установившегося режима уравнения состояния будут иметь вид:

Рйтк' = ^ - р 1				[п -=^0);	( V I I . 5 6 )
					( V I I . 5 6 )
	(т —п)У	рп = {т—пАг 1)У Л - 1 +
		+ ( я + 1) - ^ - р л+1		( 1 < л < 5 ) ;	( V I I . 5 7 )
\ { т — п ) У - \ - ] ъ \ р п = { т — п - \ - \ ) К р п- 1 - \ - 1 ь р п +1					( V I I . 5 8 )
I W m = Vpm- i				(п = т)	(VIL59)
	Введем обозначения ф'= -				( V I I . 6 0 )
	Введем обозначения ф'= -
		Ря+1			( V I I . 6 1 )
			Ря
	При этом уравнения (VII.56) — (VII.59)			примут вид:
		W0= m S y	(л=0);		( V I I . 6 2 )
w	jm - n ) S'b' +	п______ и - я + 1	.. 5 Ф;_	( 1 < д < 5 ) ;	( V H . 6 3 )
	п + 1	и + 1	1ГЯ_ 1
W n = ( m —/ i ) f + l —(т — га + 1)—\|			я—1	— 1);	(VII.64)
			я—1
		lVm_ x = f	(« = «)■		) V I I . 6 5 )
		lVm_ x = f	(« = «)■
	Эта система уравнений позволяет получить следующие соотно
шения:
		= « - я	( 0 < п < 5 ) ;		( V I I . 6 6 )
		п -Ь 1
	Wn = {m —n ) y		( 5 < я < т ) .		( V I I . 6 7 )

Учитывая (VII.61), можно записать, что

Тогда

Ря

Ро

~ /--«Я

где С т

	Pi	Р2	Р.З	Рп	. (VII.68)
	Ро	Р 1	Р2	Ря-1	Ро
л-1	я—1	т (т -		1 ) . . .(т - п + 1)	„ ^
	,	т (т -		1 ) . . .(т - п + 1)	„ ^
П ^	- П у Д 5*'			1 • 2 ... п
I=о	1=0
	= CSi5"^'n.	(0< л < 5),			( Л Ч 1 . 6 9 )

/я!

л! (лг — л )!

132

Для того чтобы воспользоваться соотношением (VII.69) приме нительно к уравнениям (VII.58) и (VI 1.59), приходится записать бо лее сложное произведение, учитывающее различный вид зависимо стей для Wn при различных п (см. формулы VII.66 и VII.67). Тогда имеем:

	r s -i		-л—1
Рп	П			г)<\|/	m\Sb		d/n =
Ра	П	г -b 1		г)<\|/	(m — n)!S!		d/n =
	-i -О		L(=S
		n'Ss		Y n ( S < /i< m ) .			(VII.70)
		= Cnm-—	I	Y n ( S < /i< m ) .			(VII.70)
			I
Просуммируем теперь по n уравнения					(VII.69) и	(VII.70). При
		т				т
этом следует учесть, что 2			Рп— 1 и, следовательно,			2 / ^ — 1—Ро-
		л = 0				л = 1
Тогда получаем
		т		т
		Рп	1	V
		-	1	V
		JaU Ро	Ро	2 и
		Л —1		п = 1

Последнее соотношение можно записать в виде:

т		S —1				т
						V ''	Рп	1 — Ро	(VII.71)
Jaek	Ро	Jmek		Ро		n=S	Ро	Ро
п —\		л =1				n=S
Внося теперь в (VII.71)				вместо сумм соответствующие им выра
жения, получим:
		S - 1
1 — Ро __ £ П £ П ' у п \|								S!	л , п
Ро		л—1					л«5	S!
		л—1					л«5
		■>п		»т	= 1 , то		получаем следующее выра
Так как при п = 0 CmS ф'					= 1 , то		получаем следующее выра
жение для р0:
Ро=-		1				1		I cS	(VII.72)
Ро=-	S	1	ОЛ1		/П I	т	ПП	I cS	(VII.72)
	ХИ	г>п	ОЛ1		/П I	XI	ПП	П\С) ,\.гП
	2 j			7	+	2 j	ь т	---v
	л =0					n = S		о !

В связи со сложным характером зависимости (VII.72) получение формул для основных количественных характеристик (й; У; tf и др.) для замкнутой СМО с S приборами достаточно затрудни тельно.

133

Задача значительно упрощается							при 5 = 1. Тогда		на основе
(VII.72) и (VII.70) получаем:						1
				А> =		1			( V I I . 7 3 )
						ml			( V I I . 7 3 )

							■г
					~ о ^		■г
					~ о ^	~ ")!
		Р„ =	Ст?' П\р0 ИЛИ			рп--	(т — п)\	Ро-	( V I I . 7 4 )
									( V I I . 7 4 )
Определим теперь среднее число							требований в системе п. Со-
гласно (VI 1.2)		—	т		Если внести в данное соотношение за-
гласно (VI 1.2)		п = 2		пРп-	Если внести в данное соотношение за-
		л = 0
висимость (VII.74), то после преобразований получим:
				п = т —		l. - P P — ,			( V I I . 7 5 )
В соответствии с				(VII.5)	имеем У = и —гр. Так как г\|э= (т —га)^',
т. е.
					—	1 — Ро			( V I I . 7 6 )
				т — п = ------—					( V I I . 7 6 )
то будем иметь У =			т — 5—^ — (1 — р0], что					после преобразовав
нии дает
				У = т — (1 — Ро) 1 + Ф'					( V I I . 7 7 )
Так как	t t = ---- ,			то получаем		t f = ---------------- .
	'	х				*	(т — п)1
Используя (VII.76),			будем иметь
		у				у		У
tf — -------------------=					------------------- --------------------
>		1 — Ро		; ,	1 — Ро		У	Р-(1— Ро)
		У		'	_А/_
					р
Используя выражение для У, придем к зависимости
				Р-	\ 1 — РО				( V I I . 7 8 )
				Р-	\ 1 — РО
Рассмотрим теперь решение примера на замкнутую СМ.О.
П р и м е р	4.	Требуется определить				оптимальное		количество	автомобилей-

самосвалов, необходимых для работы с экскаватором. Количество материала, пе ревозимого за один рейс автомобилем-самосвалом, Qa= 3 м3. Техническая произ водительность экскаватора Л э= 30 м3/ч. Продолжительность рейса автомобилясамосвала при отсутствии ожидания в очереди перед погрузкой (£/= 0, что соот ветствует рассмотрению «изолированного» требования) составляет £ри= 1 ч. Стон-

134

мость простоя	автомобиля-самосвала Сс = 2			руб/'ч. Стоимость простоя экскаватора
Сэ= 3 руб/ч.		X'		1	1	Яэ
Найдем Ф '=
		— . Очевидно, что X' =		——	= — = 1 .	Так как р. = —— =
30			1	tри		Va
	то	Ф =
= ------= 10,			— = 0,1 .
3,0		т	10

Составим теперь выражение для суммарных полных потерь за единицу вре мени. Потери от простоя экскаватора будут равны СэроПотери от простоя авто

мобилей в очереди перед погрузкой определятся величиной vCc. Суммарные полные потери за единицу времени составят

			СЕ = СэРо +	Сс" .	(V II.79)
Если внести в равенство			(VI 1.79) приведенные выше выражения для Ро и v,
то получим зависимость
Cs —	Сэ		1	+ Ф'	1
Cs —		т\ Ф'		1 + У	т\ ф'л
1 + У		т\ Ф'			т\ ф'л
1 + У		( о т — л ) !			(т — л)!
П—1				П—\

(VII. 80)

Необходимо определить значение т, при котором суммарные потери С s будут

минимальны. В данном случае нахождение экстремума методами дифференциаль ного исчисления невозможно. Поэтому установим значения C s , задаваясь по

следовательно различными величинами т. Отметим, что величины Сэ и Сс могут быть выражены и в л. с. ч.).

Вычислим величину р0 при т = 1:

Ро =

-------Н-

--------= ---------

0,1

1- 0,1

1!■0,1

1 +

- ' ~

= ----------

- = 0 ,9 0 9 .

1 +

■ 2 ( i — i)i

П—1

1 +

0,1

Тогда CSi =

3-0,909 + 2

0-у ^ (1

— 0,909)J = 3-0,909 -h 2 (1—110,091) =

3-0,909 +

0 =

2,73.

При т = 2 получим

р0 =

■

0,1Л

/0,1

0,12,

1 + 2! У

1 + 2 1! + 0! ,

- л

)

^ (

0,82;

1 + 2 (0 , 1 +

0 ,01)

1 +

0,22

С„

= 3 - 0 ,8 2

1 + 0,1

= 2 ,5 0 .

(1 — 0,82)

Принимая т = 3, получим

Р о = ---------

- =

0,732;

0,1

0,12

1 + 3!

0,13

01 у

С2

= 3 -0 ,7 3 2 +

1 + 0,1

2,30.

3 - -

j y

- ( 1 - 0 ,7 3 2 ) =

135

При т — 4

р0 =

/0,1

0,12

0,13

0,14

■= 0,647;

1 —1—41 ( ■~j—

—р-

—1~ ■

I 3!

С 2< = 3 -0 ,6 4 7

+ 2

1 +

0,1

2,18.

4 — ------“ -(1 — 0,647)

0,1

’

При т = 5

р0 =

—

0,564;

,0 ,1

0,12

0,13

0,14

0,15

1 + 5! — + - 1— +

+ —L-

1 4!

3-0,564 + 2 | 5 — ~ 4 ~ T L"(1 — 0,564)

2,13.

0,1

При m — 6

p0 =

= 0,484;

,0 ,1

0,12

o,13

0,14

0,15

0,16

1 +

1 5!

+ 1!

C Se = 3 -0 ,4 8 4

+ 2

6 —

1 +

0,1

2 , 10.

1 .

(1 — 0,484)

0,1

При m = 7

'p0 =

—

,0 ,1

0,12

0,13

0 ,H

0,15

0,16 0,H

1+ 7 l + + T5!T + T4!T + +3! - + + - +

0,409;

C S7 =

3-0,409 +

1 + 0,1

:2,23.

7 — ———— (1 — 409)

0,1

’

Таким образом, минимальное значение суммарные потери Сг имеют при

т = 6.

Определим для т = 6 величину Тр.

1	6	1 +0,1
t i ■ 10	\1 — 0,484	= 0,062 ч.
t i ■ 10	\1 — 0,484	0,1

Тогда полное время рейса автомобиля-самосвала с учетом ожидания в оче реди перед погрузкой составит

t .= /ри + /у — 1,0 + 0,062 = 1,062 .

Как уже отмечалось выше, в производственных условиях для определения ко личества автомобилей-самосвалов, прикрепляемых к экскаватору, часто пользу

ются формулой (VII.36).

, 1 , 0 6

Для условий нашей задачи по формуле (VI 1.36) получимш' = у - у = 11

автомобилей, т. е. m?>tn. Таким образом, во многих случаях определение т' из формулы (VII.36) обусловит повышенную стоимость 1 м3 материала франкотрасса.

В задачах, подобных только что рассмотренной, обычно вычисляют два ко эффициента:

R\ = — =	среднее число машин в очереди
R\ = — =	----------------------------------------------------, называемый коэффициентом про-
т	общее число машин

136

стоя машин, и Ro =	р	среднее число незанятых приборов
	—	=		• коэффициент про-
2	5		общее	число приборов
стоя приборов обслуживания.
				1 + 0,1
В нашей задаче		при т =	6 ч = 6		0,324	и R\ =
				(1 — 0,484) =
0,324				0,1
	При	одном	приборе	обслуживания ( S = l )	р = />0.	Значит,
= 0,054.

^2 — Ро = 0,484.

Как видно из этого примера, вычисления в задачах для замкну той СМО достаточно громоздки. Поэтому при достаточно больших значениях т можно проводить расчеты по приближенной методике А. С. Егоровой, определяя ро из зависимости:

Ро=	1
Ро=	где h
	Ф'

Верхняя граница относительной ошибки £ определения ро может быть оценена на основе соотношения:

т +	1	т + 2 — h
т +	2	pQh

Рассмотрим теперь решение примера для СМО с приоритетом.

П р и м е р 5. Требуется определить срок окупаемости капиталовложений на устройство путепровода в районе пересечения автомобильных дорог при сле дующих данных: стоимость путепровода 100 тыс. руб.; на пересекающихся доро

гах	с двухполосными проезжими частями и интенсивностью движения 300 и
150	авт/ч на каждой полосе с преобладанием грузовых автомобилей потоки дви

жущихся автомобилей являются пуассоновскими; движение по основной дороге, имеющей капитальное покрытие, пользуется в районе пересечения правом абсо лютного приоритета, т. е. пропускается беспрепятственно; автомобили, движу щиеся по вспомогательной дороге, перед пересечением делают обязательную остановку и проходят через пересечение со средней скоростью 20 км/ч только при отсутствии автомобилей на основной дороге.

В данном случае можно рассматривать перекресток дорог как прибор мас сового обслуживания двух пуассоновских потоков, один из которых имеет абсо лютный приоритет. Для подобной системы при экспоненциальном распределении времени обслуживания расчетные зависимости для определения основных число

вых	характеристик отличаются		от	соотношений		(VII.21) и	(VII.23), а именно:
		т 2 =	h	1 +	U2	Ф1	(VII.81)
		i - Ф			ш’	1 — Ф1 .
и			1	' +		Ф1	(VII.82)
и				' +			(VII.82)
				Ц2	ш (1— Фт)
где	т2 и tf	— числовые характеристики			для второго потока, не пользующегося
	2	приоритетом;

фг = — ; ф2 = — и ф = 4ч + <Ь> причем ф < 1,0.

ШР-2

137

Суточные потери времени автомобилей второго потока Гп вследствие ожида ния перед проходом пересечения:

		Tn = t f	\ 2T,	(VI 1.83)
где	Т — число часов движения в сутки.
	Тогда срок окупаемости капиталовложений Ка на устройство путепровода
определится из соотношения
				(V II.84)
где	С2 — средняя стоимость часа	простоя	грузового	автомобиля, принимаемая
	в нашем примере равной	4 руб.,
или			Кп	(V II.85)
или				(V II.85)

~tf^TC2

Теперь необходимо определить величину г/2. Для этого предварительно уста новим ри и р2, так как плотности обоих потоков заданы = и Л2=Л?2ч).

Величины pi и р2 представляют собой часовую пропускную способность одной полосы движения на перекрестке для условий первого и второго потоков. Из тео рии пропускной способности известно, что для дорог с двухполосным покрытием максимальная пропускная способность одной полосы может быть вычислена по формуле

N l4	1000г>	(VII. 86)
N l4	=	(VII. 86)
	1п
причем величина /р(м) может быть	принята численно равной	скорости движе

ния v (км/ч). Тогда Л^1ч—1000 авт/ч.

Пропускная способность перекрестка для потока автомобилей, двигающихся по вспомогательной дороге, будет ниже, так как пропуску каждой группы авто мобилей предшествует предварительная остановка машин и накопление колонны («пробки»), В теории пропускной способности доказывается, что величина /V2, для такой схемы может быть для одной полосы движения установлена из зави симости

ЛГ2ч = 750ги,

(VI 1.87)

где /и •— длительность того промежутка времени, для которого определяется JV24. Так как в нашей задаче характеристики потоков автомобилей приняты для

часового интервала, то получим

ЛГ2ч = Р2 = 750-1 = 750 авт/ч.

Тогда	^1 = —	=	= 0,30	и ф2 =	= 0,20,	а ф = Ф'1 + фг = 0,30 4-
4 -0 ,2 0 =	[XI	1000			/oU
4 -0 ,2 0 =	0,50.
С помощью зависимости (VII.82)				вычислим теперь		t j \
		1	ГО ,50		0,30	0,0022 ч.
		1 — 0,50	[750 +	1000(1 — 0,30)		0,0022 ч.
		1 — 0,50	[750 +	1000(1 — 0,30)

Определим величину Гок по формуле (VI.85), приняв Г =24 ч и удвоив интен сивность движения с учетом второй полосы покрытия.

Тогда срок окупаемости

100 000	= 1580 с у т ., или Ток = 4 года.
— .	= 1580 с у т ., или Ток = 4 года.
0,0022-300-24-4

Г лава

VIII

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЭКОНОМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

§ 19. Задачи управления запасами

Современное производство связано с огромными объемами по требляемого сырья и готовой продукции. На организацию склад ского хозяйства для их хранения затрачиваются большие средства. В то же время перебои в доставке продукции потребителям из-за недостаточного размера запасов обусловливают в ряде случаев большие убытки. Наличие хотя бы одного из приводимых ниже фак торов приводит к необходимости иметь запасы: колебания спроса на продукцию; нерегулярность в поставке исходных материалов; сезонные колебания в численности рабочей силы; неритмичность производства; выпуск продукции партиями по технологическим при чинам.

В зависимости от того, какие из указанных факторов проявля ются, необходим запас у производителя, потребителя либо у того и у другого. Например, если спрос со стороны линейных подразде лений на продукцию базы железобетонных конструкций подвержен колебаниям, то база должна иметь запас этих конструкций. Наобо рот, если продукция базы поступает нерегулярно, то может возник нуть необходимость иметь запасы в линейных подразделениях. Можно привести и такой пример: при нерегулярности поставок пес ка, щебня, минерального порошка и битума асфальтобетонный за вод должен иметь запасы. С другой стороны, чем более ритмично производство и его материальное обеспечение, тем меньше необхо димость запасов.

Теория управления запасами рассматривает методы нахождения оптимальных объемов запасов, при которых суммарные издержки предприятия на создание и хранение их будут минимальны. В за дачах управления запасами должны учитываться и те убытки, ко-- торые возникают из-за неудовлетворенного спроса потребителей на продукцию предприятия, если размеры запасов в какой-то период времени оказались недостаточными.

Применительно к дорожному строительству задачи управления запасами могут рассматриваться в связи с работой производствен ных предприятий, выпускающих различные конструкции, материа лы и полуфабрикаты. Кроме того, можно указать на задачи резер вирования техники при производстве дорожных работ. Выделяя ре

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ