книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве
.pdfПри решении практических задач необходимо уметь определять вероятность попадания случайной величины на любой интересую щий нас участок, например от а до р.
Нетрудно уяснить из самого смысла функции распределения (см. рис. 8 ), что эта вероятность выразится соотношением
p ( a < T < V ) = F $ ) - F ( a ) , |
(Ш.6) |
т. е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участ
ке.
Важную роль в теории вероятностей играет плотность распреде ления — производная от функции распределения:
lim |
F V + &t)-F(tl = F ' {i) = / щ ш |
(Ш.7) |
д<^0 |
At |
|
Очевидно и обратное соотношение |
|
|
|
t |
|
|
j f{\)d% = F{t). |
(Ш.8) |
|
— oo |
|
Если же случайная величина может принимать только положи тельные значения, то зависимость (III.8 ) должна быть записана в
виде:
t |
|
j / (Юd\ — F{t). |
(Ш.9) |
о |
|
Если выразить вероятность попадания случайной величины на интересующий нас участок от а до (5 через плотность распределе ния, то получим
(а < Г < Р) — j' / W dt. |
(ШЛО) |
а |
+ оо |
|
Очевидно, что р (—о о < Г < + оо ) = 1. Следовательно, J f{t )dt = 1.
— 00
Этот интеграл выражает площадь, ограниченную кривой плотности распределения и осью значений случайной величины. Таким обра зом, эта площадь всегда равна единице.
Знания функции распределения F(t) или плотности распреде ления f(t) недостаточно для количественного анализа процесса, но сящего вероятностный, или, как говорят, стохастический характер. Необходимо располагать еще некоторыми количественными харак теристиками случайной величины. Важнейшими из них являются математическое ожидание случайной величины или ее среднее значение I и дисперсия о2.
Математическое ожидание для дискретных случайных величин
вычисляется из зависимости |
|
7 = 2 |
(III. 1П |
i=1 |
|
40
Таким образом, математическое ожидание случайной величины представляет собой сумму произведений возможных значений слу чайной величины на вероятности этих значений. Покажем вычисле ние среднего значения случайной величины на примере. Ниже при ведены данные наблюдений за длительностью (в часах) выполнения определенной дорожной работы на захватке, округленные до целого числа:
4 = 2 |
4 = 3 |
4 = 4 |
4 = 5 |
4 = 6 |
к = 7 |
/ , = 0,00 |
/^2= 0,04 |
/ з= 0,26 |
/ 4= 0,46 |
/ 5= 0,24 |
/ 6= 0,00 |
Число разрядов наблюдений к в данном случае равно шести. Вычисляя f, будем иметь:
7 = 2 -0 ,0 0 + 3 -0 ,0 4 + 4 -0 ,2 6 + 5 -0,46+ 6 -0,24 + 7 -0,0 0 = 4 ,9 ч.
Дисперсия о2 случайной величины характеризует ее рассеивание
относительно математического ожидания и вычисляется по формуле
^ = 2 ( t i - t f p i . |
(HI. 12) |
i=i |
|
Сопоставляя (III.12) и (III.11), можно определить дисперсию как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величи ны от ее математического ожидания.
Вычислим для данных рассмотренного примера величину ди сперсии.
~о2 = ( 2 —4 ,9 )2 .о,00 + (3 —4,9)2- 0 ,0 4 + (4 - 4 ,9+ 0,26 +
+ (5 - 4,9)2 • 0,46 + |
( 6 - 4,9)2 • 0,24 + (7 - 4 |
, 9 )2 • 0,00 = 0,651 ч2. |
Корень из дисперсии носит название среднеквадратичного откло |
||
нения о, т. е. 0 = ]Л?. |
В нашем примере 0 = |
]/0,651 =0,81 ч. Удоб |
ство использования среднеквадратичного отклонения объясняется
тем, что размерности I и о одинаковы. |
(III.11) и |
||
Для |
непрерывных случайных |
величин формулы |
|
(III.12) |
принимают вид: |
|
|
|
+ 00 |
|
|
|
—оо |
|
(III.13) |
|
|
|
|
|
+со |
|
(III. 14) |
|
= j 0 |
. |
|
Таким образом, знания закона распределения (функции распре деления или плотности распределения), математического ожидания и дисперсии достаточно для количественного анализа случайных процессов. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в практиче ских задачах законы распределения.
41
§ 7. Законы распределения случайных величин
Закон равномерной плотности. Этот закон характеризует слу чайные величины, все значения которых в пределах интервала их изменения равновероятны (рис. 9). В качестве примера равномер
но распределенной случайной величины |
можно привести время |
|||
|
ожидания автобуса на остановке. Это |
|||
|
время распределено с равномерной плот |
|||
|
ностью на участке, соответствующем ин |
|||
|
тервалу между |
смежными |
прибытиями |
|
|
автобусов на остановку. Так как площадь |
|||
_ |
под кривой распределения (см. рис. 91 |
|||
равна единице, то в пределах интервала |
||||
ь |
от а до Р f(t) |
=const = c, т. е. |
1 = (р —а) с, |
|
Рис. 9. График плотности |
откуда |
|
|
|
равномерного распределения |
г |
|
1___ |
fill 15) |
№ |
|
|
p- а ' |
' |
Очевидно, что при t < a |
и t > $ f ( t ) = 0 |
(см. рис. 9). |
|
|
Математическое ожидание равномерно распределенной случай
ной величины равна t = |
а |
-. Этот результат легко получить и из |
|||||
формулы (III. 13). В самом деле, |
|
|
|
|
|||
J ± |
dt- |
|
JL |
|
.(р 2_аа)= |
||
J Р - а |
|
|
2 |
|
|
|
|
— гг • -Г------ (? — а)(Р + |
а)—— |
(Р + |
а)- |
|
|||
£ |
р |
(X |
|
£ |
|
|
|
По формуле (III.14) |
найдем дисперсию а2: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
■dt = |
|
t |
а -Ь р |
1 |
2(Р — а )з_ (3 — а)2 |
||||
|
|
3 (Р — а) |
8 |
_ |
12 |
||
3 (Р — а) |
|
|
|||||
Среднеквадратичное отклонение:
ф _ Р а (III. 16) 2 |/з
Легко уяснить, что вероятность попадания случайной величины на заданный участок а—b (см. рис. 9) выразится соотношением
р( а < Т < Ь ) = - ± = ^ .
Р— а
Закон нормального распределения. Очень большое число сто хастических процессов хорошо описывается законом нормального распределения. Этот закон согласно теореме Ляпунова оказывает
42
ся справедливым в случаях, когда результат (исход) процесса за висит от большого числа независимых случайных факторов, каж дый из которых в отдельности влияет на результат незначительно. В качестве примеров можно указать на такие случайные процессы, подчиняющиеся закону нормального распределения (закону Гаус са): расстояние (зазор) между встречными автомобилями в мо мент их разъезда; длительность некоторых видов дорожно-строи тельных работ; высота неровностей на покрытии, обусловленных процессами зимнего пучения грунта земляного полотна.
На рис. 10 представлен график нормального закона распреде ления, характеризующегося плотностью вероятности
_ (t-Tц
f { t ) = — |
—1 |
г * |
^ |
, |
(Ш. 17) |
|
|
о |
]/ 2я |
|
|
|
|
где I — математическое |
ожидание |
случайной |
величины; о2— ди |
|||
сперсия. |
|
|
|
|
|
|
Как ясно из (III.17) |
и показано на рис. |
10, |
наибольшая ордина |
|||
та кривой плотности распределения соответствует значению слу чайной величины, характеризующейся м а к с и м а л ь н о й п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и . Это значение случайной величины носит название м о д а . Так как упомянутая ордината обратно про порциональна среднеквадратичному отклонению о, а общая пло щадь под кривой равна единице, то параметр а характеризует форму кривой. При больших значениях а кривая растянута вдоль оси абсцисс, при малых о сжата и распространена вверх.
Рис. 10. График плотности нормального распределения f ( l ):
а — для вида, соответствующего формуле (III.17); б — для вида, соот ветствующего формуле (111.18)
Удобнее пользоваться зависимостью (III.17), когда математи ческое ожидание I принято за нуль отсчета значений случайной величины t, а за единицу масштаба взята дисперсия а2.
Для 1 = 0 и о2= 1 получим
f { t ) = - p = |
(III.18) |
~[2я |
|
и график рис. 10, б.
43
Функция распределения f(t) для закона Гаусса представляет
собой в соответствии с (III.8)
t
F ( t ) = j f { \ ) d \
— СО
или при внесении в это равенство выражения (III.18)
t
F( t ) =— |
\ e-e*/*'rfs, |
(Ш. 19) |
V i * |
i o |
|
где I — переменная интегрирования. |
и сг2=1, |
|
График этой функции показан на рис. 8. Так как t = 0 |
||
то график будет давать так называемые нормированные отклоне ния для нормально распределенной случайной величины.
В приложении 1 даны значения F(t), вычисленные на основе зависимости (III.19). Так как F(t) есть интегральная функция, то при каждом конкретном значении t эта функция ' показывает ве роятность отклонений от математического ожидания, меньших t. Так, например, для t = 0
о |
|
F(0) = — —г \ |
0,5. |
Это означает, что интегральная вероятность отрицательных от
клонений равна 0,5. Значит, интегральная |
вероятность |
положи |
|||
тельных отклонений также равна 0,5, так как |
|
|
|
||
|
со |
|
|
|
|
— L _ |
Г |
1,0. |
|
|
|
/2 я |
Л |
|
|
|
|
Возьмем другой пример: |
t —— 1. |
Из приложения 1 найдем, |
что |
||
F (t) =0,159. Это означает, что интегральная |
вероятность |
всех |
от |
||
рицательных отклонений (выраженных в величине дисперсии, |
при |
||||
нятой за единицу), меньших 1, равна 0,159. |
|
|
|
||
Определим вероятность попадания случайной величины, подчи
ненной нормальному распределению, |
на заданный участок а— р: |
|||
|
р |
|
з |
(t—t)2 |
p { a < T < $ ) = \ f ( t ) d t = — ±— f е |
^ ~ d t = I . |
|||
Сделаем замену переменной |
——z r = x . |
|
||
|
|
а У 2 |
|
|
|
|
Р-Т |
|
|
Тогда — l |
- d t =d x \ / = —^ |
\ |
e - x'dx. |
|
4 / 2 |
у п |
I |
|
|
|
|
о.—t |
|
|
a YГ
44
Известно выражение для интеграла Лапласа:
|
|
2 |
и |
|
|
|
Ф (^) |
J e-e'rfg. |
|
||
|
|
/ 7 |
о |
|
|
Тогда очевидно, что |
|
|
|
|
|
1 |
Г |
■Ф |
а — £ |
= р ( а < Т < П |
(Ш.20) |
/ = - |
ф |
а / ? |
|||
|
/ 2 |
|
|
|
|
Таблица функции Лапласа приведена в приложении 2. В мате
матических справочниках интеграл |
Лапласа часто дается в виде |
|
Ф (£/)= - М |
и |
(III.21) |
e-W2 d?. |
||
/ 2 я |
0J |
|
Тогда, в результате преобразований, аналогичных изложенным, формула (II 1.20) принимает более удобный для вычислений вид:
р ( а < Т < $ ) = - Ф |
• Ф |
■1W |
(III.22) |
|
|
) |
|
В табл. 6 приведены значения функции Лапласа, соответствую щие (III.21). Определим с помощью формулы (III.22) вероятность попадания случайной величины t на участок, ограниченный слева значением — За и справа +3а.
Т а б л и ц а 6
и |
Ф ( Щ |
и |
Ф(П) |
и |
Ф (У ) |
и |
Ф (У ) | |
и |
Ф(П ) |
и |
Ф(П) |
|
0 ,0 0 |
0 ,0 0 |
0 ,3 0 |
0 ,2 4 |
0 ,6 0 |
0 ,4 5 |
0 ,9 0 |
0 ,6 3 |
| |
1 ,2 5 |
'0 , 7 9 |
2 ,0 0 |
0 ,9 6 |
0 ,1 0 |
0 ,0 8 |
0 ,4 0 |
0 ,3 1 |
0 ,7 0 |
0 ,5 2 |
1,00 |
0 ,6 8 |
|
1,50 |
0 , 8 7 |
2 ,5 0 |
0 ,9 8 8 |
0 ,2 0 |
0 ,1 6 |
0 ,5 0 |
0 ,3 8 |
0 ,8 0 |
0 ,8 5 |
1,10 |
0 ,7 3 |
|
1 ,7 5 |
0 ,9 2 |
3 ,0 0 |
0 ,9 9 7 |
Принимая для заданных условий вследствие симметричности графика f(t) I —0, будем иметь
За — 0 |
•Ф |
-За — О |
/ Ч - З з < Г < + З з ) = ^ Ф |
|
|
= ~ [ Ф ( 3 ) - Ф Г - 3 ) ] . |
|
|
Ввиду нечетного характера функции Ф (U) |
величина Ф (—3) = |
|
=—Ф (3). Тогда получаем
р(■- За < Т < + За) = - L 2Ф (3) = Ф (3) = 0,997.
45
Таким образом, с вероятностью, близкой к единице, нормально распределенная случайная величина не выходит за пределы диа пазона ±3а.
Это знаменитое правило «трех сигм» широко используется в количественном анализе случайных процессов, подчиненных зако ну нормального распределения при недостаточных статистических данных изучения процесса. Покажем это на следующем примере.
Из наблюдений за устройством гравийного покрытия методом смешения на дороге с вяжущим автогрейдерами было установлено, что выполнение работ на захватке протяжением 0,5 км колебалось в пределах 6—9 ч. Определить, какова вероятность завершения работ на указанной захватке за семичасовую смену.
На основе правила «трех сигм» найдем ориентировочную величину средне квадратичного отклонения:
: ^min |
9 6 = 0,5 |
|
6 |
Примем, что математическое .ожидание длительности отработки захватки
^тах ^min |
9 + 6 |
|
= 7,5 ч. |
По формуле (III.22) определим искомую вероятность:
/ > ( 0 < Г < 7 ) = -J- Ф |
|
|
_1_ |
[ Ф ( - 1,0) — Ф ( — 15,0)] = |
_1_ |
2 |
2 [ — Ф (1,0) + Ф (15,0)]. |
|
По табл. 6 найдем соответствующие значения функции Лапласа и вычислим
величину р: |
|
Т 7(0 < 7" < 7) = |
( — 0,68 + 1,0) = 0 , 16. |
Продолжим решение примера и определим, за какое время будет отработана захватка с вероятностью не менее 0,9.
Выше уже отмечалось, что вероятность уложиться во время, соответствующее математическому ожиданию, составляет 0,5. Следовательно, искомое время за
ведомо будет больше 7,5 ч. Найдем его с помощью зависимости |
(III.22) |
|||||||||
р (0 < Г < р )= — |
Ф |
1 - 7 ,5 |
-Ф |
0 — 7,5 |
= |
0 ,9 . |
||||
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
0,5 |
|
|
Далее имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°,9 = 4 - ГФ |
1— 7,5 |
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
Ф (15,0) |
|
Ф |
|
■ 1,0 |
|||||
|
2 L |
V |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
* /Э — 7 ,5 \ |
= |
1,8 — 1 ,0 = |
0 ,8 . |
|
|
|
|
|||
откуда Ф |
5 |
j |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
О__ >1 ^ |
|
|
|
Из табл. |
6 |
найдем |
значение |
аргумента |
■ 0,5 |
= 1,28, |
откуда р = 8,14 ч. |
|||
Рассмотрим еще один пример применения формулы (III.22). Предположим, что длительность выполнения работы, характеризуемая данными наблюдений’ приведенными на стр. 41, подчинена закону нормального распределения. Требует ся наити вероятность выполнения работы за время в пределах от 4,5 до 5,5 ч.
46
Используя вычисленные ранее величины i = 0,49 ч и 0 —0,81 ч, с помощью формулы (III.22) найдем:
1 |
Г /5 ,5 — 4 ,9 \ ^ |
/ /4,5,5- — 4 ,9 |
Р (4 >5 < Г < 5 ,5 ) = т |
[ф ( - ^ Ж - ) - ф ( — 81 |
|
= — [Ф (0,74) + Ф (0,49)] = - ^ - (0 ,5 4 + 0 |
,3 8 ) = 0,46 . |
|
2 |
2 |
|
Мы получили результат, точно согласующийся с данными наблюдений, при веденными на стр. 41. Конечно, это не доказывает принятого в примере предпо
ложения о нормальном распределении длительно |
|
|
|
|||||||
сти работы. Оценка правомерности подобных ги |
|
Р, Рг |
|
|||||||
потез требует специального анализа, принципы |
|
|
||||||||
которого |
будут рассмотрены в |
гл. |
IV. Здесь же |
|
4,5 |
5,5 |
||||
заметим, |
что при использовании Фоомулы |
(II 1.22) |
|
|||||||
|
t=%3 |
|
||||||||
полезно пользоваться простейшей схемой, пред |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
ставленной на рис. |
11. Это |
избавляет от |
ошибок |
Рис. 11. |
Вспомогательная |
|||||
в знаках членов, стоящих |
в квадратных |
скобках |
||||||||
формулы (III.22). Так, например, при решении |
схема к решению примера с |
|||||||||
помощью |
формулы |
(III.22) |
||||||||
последнего примера вспомогательная схема рис. 11 |
||||||||||
сразу ж е позволяет |
написать |
оба |
слагаемых в |
|
|
|
||||
квадратных скобках, так как каждое из них дает вероятность попадания случай ной величины i на участки соответственно от 4,5 ч до 4,9 ч и от 4,9 ч до 5,5 ч. Тогда получаем
/> (4 ,5 < Г < 5 ,5 ) = р, + |
ф , ^ ^ |
^ / 5 , 5 - 4 , 9 |
р 2 = - |
0,81 |
|
|
0,81 |
|
2 [Ф (0,49) + |
Ф (0,74)] == y (°>38 + |
0.54) = 0,46 . |
Закон Пуассона. Многие случайные процессы характеризуются распределением, носящим название закона Пуассона. Это распре деление выражается зависимостью
|
P |
n |
{ п\ t ) = |
- |
' |
(HI.23) |
|
где pn(t) — вероятность |
того, что |
за |
время t |
событие наступит п |
|||
раз; U — среднее число |
наступления |
события за |
время t, |
пропор |
|||
циональное этому промежутку времени. |
|
|
|
||||
Обозначая %t = a, вместо формулы (III.23) |
получим: |
|
|||||
|
Р |
п |
п\ |
® |
= |
~ |
(III.24) |
На рис. 12 показано распределение Пуассона для различных средних значений а числа наступления событий за время t. Из гра фика видно, что при больших а пуассоновское распределение по своему характеру близко к нормальному.
Закон Пуассона играет важнейшую роль в теории массового об служивания и потому будет в дальнейшем (см. гл. VII) рассмот рен более подробно. Здесь же отметим, что особенностью пуассо
47
новского распределения является его зависимость лишь от одного параметра а — математического ожидания числа наступления со бытия за время t. В теории вероятностей доказывается, что ди сперсия случайной величины, распределенной по закону Пуас
сона, |
также равна а, |
т. |
е. |
сг2 = я. |
Это |
обстоятельство |
упрощает |
|||
количественный |
анализ |
пуассоновских |
процессов. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
В самом деле, достаточно |
||||
|
|
|
|
|
|
лишь знать, что процесс пуас |
||||
|
\а=1 |
|
|
|
|
соновский |
с |
математическим |
||
|
|
|
|
|
ожиданием, |
равным |
а, чтобы, |
|||
|
Д-а=2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
пользуясь |
формулой |
(III.24), |
|||
|
а=3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
строить весь ряд распределе |
|||||
|
jl=5 |
|
|
|
|
ния. В приложении 3 приве |
||||
|
С й=)0 |
|
|
|
дены вероятности рп (а) для а |
|||||
|
|
|
|
|
|
от 0,1 до 18. |
пример приме |
|||
|
|
|
|
Ч |
V |
|
Рассмотрим |
|||
|
|
|
|
нения закона (III.24). Извест |
||||||
п |
5 |
10 |
|
15 |
п |
но, |
что число автомобилей, про |
|||
|
ходящих в |
единицу |
времени |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 12. Распределение |
Пуассона |
через расчетное сечение доро |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ги, |
во многих случаях подчиня |
|||
ется распределению Пуассона. Если на основе наблюдений установ лено, что среднее количество автомобилей, проходящих за 1 мин,
равно 5, то какова вероятность прохода 10 автомобилей в минуту? glO . 0—5
Из таблицы приложения 3 найдем, что р ю =— —— =0,018, т. е.
такая вероятность весьма мала.
Как видно из решенного примера, а также характера зависимо сти (III.24), пуассоновское распределение применимо к дискретным случайным величинам.
Бета-распределение. Бета-распределение характеризуется в от личие от нормального ограниченным интервалом, в пределах кото рого может находиться случайная величина. Так, в частности, ав торами первого варианта методов сетевого планирования (система PERT) 1 было принято, что длительность работы как случайная величина следует бета-распределению, причем общий интервал из менения длительности — от оптимистической t0 до пессимистиче ской ta оценок продолжительности работы, уточняемых на основе статистических данных (см. гл. XI).
Бета-распределение возникает в условиях, когда случайная ве личина (в нашем случае продолжительность выполнения работы) зависит от большого числа случайных малосущественных факторов при наличии нескольких существенных случайных факторов. Нор мальный закон распределения в этом смысле является частным случаем бета-распределения, когда упомянутые несколько сущест венных случайных факторов становятся каждый по себе также
1 PERT — Program Evolution and Review Technique (англ.) метод оценки и пересмотра планов.
48
малосущественными. При выполнении дорожных работ всегда можно отметить какие-то более существенные случайные факторы, влияющие на производительность, а следовательно, и на продол жительность выполнения работы. Так, например, работа бетоноот делочной машины при устройстве цементобетонного дорожного по крытия зависит от ряда случайных факторов, влияющих на темп работы. К числу таких факторов относятся: продолжительность доставки бетонной смеси на линию (зависит, в частности, от техни ческого состояния автомобилей-самосвалов), конкретный состав бетонной смеси, также имеющий отклонения от проектного при ра боте смесителя на ЦБЗ; погодные условия, техническое состояние бетоноотделочной машины в данной смене; физическое состояние членов бригады, обслуживающих машину; время, в которое будут доставлены топливо и смазочные материалы для заправки двига теля машины, и т. д. Однако такие факторы, как продолжитель ность доставки смеси на линию и техническая исправность бетоноотделочной машины, могут оказаться более существенными, неже ли остальные. Поэтому применение бета-распределения для харак теристики продолжительности дорожных работ следует в принципе считать достаточно обоснованным.
Рис. 13. График плотности бета-распределения
Tj и у — параметры формы; Г)=6 + 1; у = я+1
Функция плотности вероятности бета-распределения имеет вид, представленный на графике (рис. 13), и выражается при t0^ t ^ . t n, а > — 1; 6 > — 1 формулой
f = — fIII.25)
где с — величина постоянная при конкретных значениях t0, tn, а и б; а и б — параметры формы бета-распределения, определяющие фор
му кривой/(/) (см. рис. 13).
49