книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

Как уже отмечалось в гл. I, при решении некоторых задач вмес­ то стоимостных характеристик могут использоваться показатели энергозатрат. Тогда вместо стоимости сц может вводиться показа­ тель энергозатрат Эц. Если, например, речь идет о показателе, ха­ рактеризующем перевозки, и Сц представляет собой стоимость пе­ ревозки единицы измерения материала из г-го карьера на /-й участок работ, то соответствующие энергозатраты выразятся соот­ ношением

Если величины сц или Эц зависят от величины переменных хц, то целевая функция становится нелинейной и решение подобных задач является предметом так называемого нелинейного програм­ мирования.

В задачах линейного программирования могут быть три случая:

1 - й — система имеющихся уравнений не имеет неотрицательны

решений; 2 - й — система имеет неотрицательные решения, но экстремум

линейной формы, выражающей целевую функцию, равен +°о или

— оо; 3- й — значение экстремума линейной формы на множестве неот

рицательных решений системы конечно.

Для большинства задач характерен третий случай.

Выше был показан математический смысл решения задач ли­ нейного программирования и подчеркнуто, что только благодаря до­ полнительным условиям в принципе неопределенная система урав­ нений сводится к определенной. Геометрический смысл задач ли­ нейного программирования состоит в том, что искомое решение соответствует одной из вершин выпуклого многогранника в п- мерном пространстве (п — число неизвестных величин хц), в кото­ рой целевая функция достигает экстремума. Проиллюстрируем геометрический смысл упомянутых задач на простом методическом примере, когда область изменения переменных хц может быть изображена на плоскости или в трехмерном пространстве.

На участок строящейся дороги необходимо вывезти 20 000 м3 ка­

менных материалов. В районе строительства имеются три карьера

70

с запасами: 8000 м3; 9000 м3 и 10 000 м3. Для погрузки мате­

риалов используются экскаваторы, имеющие производительность 250 м3/смену в карьерах 1 и 2 и 500 м3/смену в карьере 3.

Эти карьеры обеспечивают каменными материалами также ряд других строящихся объектов. На погрузку материалов для рас­ сматриваемого участка выделен для экскаваторов общий лимит 60 машино-смен с правом использовать его по усмотрению строи­ телей.

Транспортные затраты на перевозку материалов характеризу­

135; из карьера 3— 170 автомобиле-смен.

Требуется найти оптимальный план перевозок, обеспечивающий минимальные транспортные затраты в условиях указанных выше ограничений решения задачи. Примем за единицу измерения ко­ личества материалов 1 0 0 0 0 м3.

Необходимо минимизировать линейную форму:

71

Так как ограничения (V.22) — (V.25) содержат лишь две пере­ менные у\ и у2, то они могут быть изображены на плоскости. На

рис. 17 показана геометрическая интерпретация линейных нера­ венств. Если, к примеру, равенство 2 х + у = Ъ изображается на гра­ фике прямой LL', то неравенство 2х + у < 5 — областью, располо­ женной ниже и левее прямой LL'. Если переменные должны удов-

летворять еще одному неравенству, например х + г /< 3, то точки, удовлетворяющие обоим указанным неравенствам, располагаются ниже и левее ломаной МК L'. Дополнительные ограничения в виде неравенств могут ограничить область допустимых решений со всех сторон. Так, принимая дополнительно условия х ^ О и у ^ 0, полу­ чим область допустимых решений, которая на рис. 17 показана штриховкой.

Теперь необходимо геометрическим построением определить об­ ласть допустимых решений нашей задачи. Минимальное значение в этой области и будет искомым решением с минимальными транс­ портными затратами.

Нанесем на график условия (V.22) и (V.25), а также ограниче­ ния (V.23) и (V.24), каждое из которых занимает область между двумя параллельными прямыми (рис. 18). Такие две прямые для (V.23) будут иметь уравнения:

О = — 2т/], — 2,86г/2-j-9,72 или у2= — 0,702^ + 3,40;

—2 ^ - 2 , 8 6 0 2 + 9,72= 0,9 или у2= - 0 , 7 0 2 у г ^3,08.

72

Аналогично для ограничения (V.24) получим:

у2= —0,35#!+ 2,70;

У 2 = —0,35^ + 3,05.

Нанеся на график все наши ограничения, выраженные зависи­ мостями (V.22) — (V.25), получим область допустимых решений на­ шей задачи в виде линии ab. Решение с минимумом у2 соответству­

Таким образом, оптимальный план перевозок будет характери­ зоваться вывозкой из карьеров 1,2 и 3 следующих количеств мате­

чи, а линейная форма получает следующую минимальную вели­

мальному решению оказался бы очень длительным, не будь в симплекс-методе критерия, позволяющего исключить из рассмот­ рения некоторые вершины многогранника, заведомо не могущие дать оптимального решения. Этим достигается значительное сокра­

73

щение числа перебираемых вариантов решения задачи. В доказа­ тельство этого можно привести следующие положения.

Втеории линейного программирования доказывается, что если

взадаче имеется п неизвестных при т уравнениях, то число систем линейно независимых уравнений

т\ (т — л )!

т. е. по существу упорядоченную схему перебора вариантов, мы рез­ ко сокращаем число их, которое должно быть рассмотрено для отыскания оптимального решения. Так, число шагов (итераций), необходимых в симплекс-методе для получения оптимального ре­ шения, заключено между т и 2т, т. е. в приведенном примере 7-М4. Легко поэтому представить себе эффективность симплексметода решения задач линейного программирования. Очевидно, что при охарактеризованном переборе вариантов и последователь­ ном отыскании оптимального решения нужно иметь вначале какойто начальный (опорный) вариант. Вот почему решение задач ли­ нейного программирования распадается на два этапа: нахождение исходного (опорного) плана (решения); улучшение путем ряда последовательных попыток (итераций) опорного плана до опти­ мального, дающего экстремум целевой функции.

§11. Применение линейного программирования при отыскании оптимальных решений в области дорожного строительства

Вернемся к примеру, условия которого были даны табл. 17 и

уравнениями (V.4) — (V.6 ), (V.8 ), (V.9), (V.10). Получим для не­

го опорный план, а затем найдем оптимальное решение задачи. Одним из наиболее часто применяемых методов отыскания опор­

ных планов является метод «северо-западного угла».

В верхнем левом (северо-западном) углу табл. 17 стоит одна из искомых переменных Х ц . На 1-м шаге примем произвольно ее

значение равным меньшей из величин а\ и Ъи т. е. *n = min(ai; by). Подобное назначение величины хп имеет совершенно опреде­ ленный смысл. Объем вывозки из карьера 1 на участок 1 не дол­ жен быть больше общей потребности в материале для этого участ­

ствует наибольшему, который только возможен по условиям зада­

Данные, полученные после 1-го цикла построения опорного пла­ на, приведены ниже:

.74

В этой матрице величины, выписываемые справа, имеют смысл не вывезенного из карьера материала. Величины внизу таблицы показывают не удовлетворенную еще потребность в материалах для всех участков.

На 2-м шаге в северо-западном углу оказывается уже неизвест­ ная величина *2ь которая также назначается из условия х2\ —

= m in(a2;& i— 04).

Примем * 2 1 — 6 1 — aj = 1. Тогда после 2-го шага получаем следую­

щую таблицу-матрицу:

75

Следует отметить, что система записи при построении опорного плана может быть упрощена и сведена в одну табличную форму, каждая угловая запись в которой соответствует одному шагу по­ строения плана. Применительно к полученному опорному плану эта запись выглядела бы следующим образом:

Полученный опорный план лишь случайно может оказаться оп­ тимальным, а в общем случае требует своего улучшения до построе­ ния оптимального плана перевозок. Так как при построении опор­ ного плана методом северо-западного угла не учитываются стои­ мостные характеристики перевозок сц, трудно рассчитывать на то, что значение линейной формы (целевой функции) для него будет близко к минимальному. Поэтому число итераций для оптимиза­ ции плана может быть значительным, особенно при больших зна­ чениях п я т (число потребителей и число поставщиков).

Существует ряд методов получения опорного плана, обеспечи­ вающих в некоторых случаях уменьшение числа итераций для по­ строения оптимального плана. Используем один из них (метод «минимума по строке») при решении нашей задачи. В первой стро­

получим вспомогательную таблицу-матрицу:

В первой строке табл. 17 наименьшей после Сц стоимостной ха­ рактеристикой перевозки является Ci3 = 0,30. На 2-м шаге примем

76

Xi3=m in [ («i—bA)\ 6 3]. Тогда *i3 = ai— 6 4 = 2. При этом *ц = 0 и *[2=

Переходя ко второй строке табл. 17, найдем, что минимальное значение Cij есть с24 = 0. Однако после 1-го шага значение * 24 = 0

уже определилось. Следующее, меньшее значение c,-j во второй строке табл. 17 c2i = 0,5. Примем поэтому *2 i = min(a2 ; Ь\)\ в нашем

случае Xzi = b\ = b. Вспомогательная таблица-матрица после 3-го шага следующая:

Поступая аналогично, примем x2 3 = m in{(a2 — b\ ) ; \ЬЪ— {а^ —6 4)]},

т. е. х2з= Ь3— (ai—Ь4) =2. Тогда после 4-го шага будем иметь сле­ дующую таблицу-матрицу:

77

Вычислим значения целевой функции для опорных планов, по­ строенных обоими методами. Для опорного плана, построенного по методу северо-западного угла, получим:

Для опорного плана, построенного по методу «минимума по строке», получим:

£ = 0,80 -0+ 0,60 -0 + 0 ,3 0 -2 + 0 -2 + 0 ,5 0 -5 + 1,0-3 +

+ 0,75-2 + 0-0 = 7,60.

Таким образом, опорный план, построенный по методу «миниму­ ма по строке», обусловливает меньшие значения целевой функции и потребует для своей оптимизации меньшего числа итераций.

Для оптимизации последнего опорного плана воспользуемся ме­ тодом потенциалов. Суть метода состоит в том, что каждая итера­ ция, приближающая исходный (опорный) план к оптимальному, состоит из двух этапов. На первом этапе план, полученный в ре­ зультате предыдущей итерации, проверяется на оптимальность. Если он оказался неоптимальным, то на втором этапе строится но­ вый план, обусловливающий меньшие транспортные перевозки по сравнению с предыдущим планом.

Рассмотрим на примере нашей задачи, как осуществляются оба упомянутых этапа для каждой из итераций улучшения плана пере­ возок. Первичный опорный план содержал величины хц для всех возможных в условиях задачи перевозок. В методе потенциалов доказывается, что для любого опорного плана могут быть найдены такие числа Ui и Vj, при которых для всех переменных хц опорного плана имеет место равенство

то опорный план является оптимальным.

Проверим вначале на первом этапе анализа по методу потенциа­ лов, не является ли опорный план, полученный ранее по методу минимума в строке, оптимальным. Составим для него систему урав­ нений типа равенства (V.26).

Каждое из уравнений этой системы должно быть записано для значений хц, входящих в опорный план, т. е. для х13, хц, x2i, *22 , Хгз-

78

(J2-]-V1 — C2i=0,5',

В данной системе из пяти уравнений мы имеем шесть неиз­ вестных.

Система является неопределенной и имеет бесчисленное мно­ жество решений. Возьмем поэтому произвольно значение одного из неизвестных для того, чтобы получить решение системы. Примем,

в частности, £/i = Ch = 0. Тогда Уз= 0,3; 1^4 = 0; U2 = 0,45; У2=0,55;

У, = 0,05.

Внесем полученные значения £/, и V, в табл. 18, в которой по­ лужирным шрифтом выделены суммы Ui + Vj = cn для переменных, входящих в опорный план. В остальных клетках таблицы сосчита­ ны величины U i+V j = ca для переменных, не входящих в опорный план, т. е. для хц, хц и л:24.

Второй этап действий по методу потенциалов состоит в улучше­ нии плана предыдущей итерации. Для ввода в новый план выбира­ ется именно та переменная хц, для которой имела место разность са—Cij>0. Если бы таких разностей было несколько, то следовало бы в новый опорный план ввести ту переменную хц, для которой стоимость перевозок сц имеет меньшее значение. В нашей задаче в новый опорный план мы должны ввести переменную х24. Обра­ тившись к исходному опорному плану, введем в него перевозку х24 с некоторой интенсивностью 0Ь причем 01^0. Соответствующая матрица примет вид:

79