книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

зерв (запас), мы несем определенные расходы, но повышаем на­ дежность графиков организации работ. Работая без резервов, мы не несем этих расходов, но можем понести значительно большие убытки из-за срыва сроков завершения работ и ввода дороги в эксплуатацию. Отыскание оптимальных резервов возможно на ос­ нове теории управления запасами.

В задачах управления запасами учитываются следующие фак­ торы:

спрос на товары (материалы, конструкции и т. п.), который мо­ жет быть как случайным и зависящим от времени, так и детерми­ нированным (определенным); в задачах теории управления запа­ сами спрос должен быть известен или же должен прогнозиро­ ваться;

Рис. 25. Схема замены ступенча­ того графика спроса линейным:

Рис. 26. Графики управления запасами:

а — периодический метод управления; б —

наличие запаса этих товаров для удовлетворения спроса; попол­ нение запаса может осуществляться непрерывно, периодически или же через некоторые непериодические промежутки времени (напри­ мер, при сокращении объема запасов до какой-то минимальной кри­ тической величины);

затраты на доставку и хранение запасов, а также убытки из-за неудовлетворенного спроса на товары; сумма всех этих затрат и об­ разует ту экономическую функцию, которую обычно и нужно мини­ мизировать.

На рис. 25 и 26 приведены графические описания некоторых ос­ новных, характеристик задач управления запасами: максимального Ищах, минимального Лты и критического Лкр уровня запасов, пе­ риода времени Т, в конце которого происходит пополнение запасов.

Расходование запасов, как правило, изображается ступенчатым графиком, однако для удобства аналитического решения он обычно

140

заменяется прямой линией (см. рис. 25) или какой-либо подходя­ щей кривой.

На рис. 26, а показан график периодического пополнения запа­ сов через равные промежутки времени Т. Достоинствами этого ме­ тода являются простота договорных обязательств и контроля за их выполнением. Однако в этом случае не исключено, что вследствие повышенного спроса на материалы (детали, конструкции и т. п.) в течение какого-либо из промежутков времени Т запасы на скла­

ставление рис. 26, а и б показывает, каким образом можно перейти от периодического к релаксационному методу управления запаса­ ми. В случае, изображенном на рис. 26, для этого достаточно при­ нять Т, = Т+АТ; Т2 = Т и Тг= Т — АТ, причем отрезки MN, M'N 4"N" и mn, m'n' и m"n" соответственно параллельны.

В каждом конкретном случае применения релаксационного мето­ да может быть легко построен график, подобный данному на рис. 26, и найдены величины Tt.

В графике на рис. 27 принято, что интервал времени между заяв­ кой на пополнение запаса и получением товара (материала, кон­ струкций и т. п.) равен нулю. Если же этот интервал не равен нулю, но постоянен (т = const), то заявка на пополнение должна быть дана заранее. На рис. 26 эти моменты времени показаны кружками, а наличие запасов, им соответствующих,— черными точками. Как вид­ но из графиков, наличие запасов в моменты заявок на их пополне­ ние при периодическом и релаксационном методах будет раз­ личным.

§20. Примеры применения теории управления запасами

вэкономическом анализе дорожного строительства

П р и м е р 1. При строительстве высоководного стального мос­ та длиной 500 м через крупную водную преграду расходуется боль­ шое количество специальных тяжей из высокопрочной стали (130 кг/пог. м), изготавливаемых на одном из местных предприя­ тий и систематически доставляемых на приобъектный склад пар­ тиями по п тяжей. Среднесуточный расход тяжей на строительстве постоянен; нехватка тяжей недопустима, так как обусловит

141

нарушение срока строительства моста. Завод, изготавливающий тяжи, доставляет их своим транспортом, причем грузоподъемность автомобиля, выделенного для этих целей, используется, как прави­ ло, не полностью. Поэтому стоимость доставки партии из л тяжей является постоянной Си не зависящей от л. Для строительства мос­ та всего требуется N тяжей в течение срока 0, равного 65 суткам. Суточные затраты на хранение тяжей, исчисленные для одной де­ тали, равны СА. Эти затраты обусловлены необходимостью строи­ тельства склада и его эксплуатации в течение времени строитель­ ства моста и могут быть выражены в тех же измерителях, что и ос­ тальные затраты. Требуется найти оптимальное число тяжей «опт в партии, при котором суммарные затраты на создание и хранение запаса были бы минимальны. Необходимо найти также число пар­ тий г по л тяжей и период пополнения запаса Т.

Графически управление запасами при заданных условиях изо­ бражено на рис. 27. Средний уровень запаса тяжей в течение пе­

ты на хранение за Т суток составят — пСАТ.

2 Л

Суммарные затраты на доставку и хранение в течение Т суток одной партии из л тяжей равны

Тогда общие затраты за интервал времени 0 могут быть опре­

Внося зависимости (VII 1.4) в соотношение (VIII.3), получим

142

Левая часть равенства (VII 1.8) выражает общие затраты на со­ здание запаса из г партий по п тяжей в каждой из них. Правая его часть, как это явствует из соотношения (VIII.5), выражает суммар­ ные затраты на хранение запаса в течение всего срока 0. Следова­ тельно, при принятых условиях решения задачи, и, в частности, при Сг= const, приходим к следующему важному выводу: минимум эко­ номической функции задачи управления запасами имеет место тог­ да, когда общие затраты на создание запаса равны общим затра­ там на его хранение.

Найдем теперь значение ТО П Т -

Подставляя формулу (VIII.7) в равенство (VII 1.4), получим

Оптимальное число партий тяжей г0-Пт составит

143

Наконец, найдем значение экономической функции при опти­ мальном значении п0пт, подставив формулу (VIII.7) в соотношение

(VIII.5):

телях (число тонн тяжей в одной партии и общее). При этом Сг и СА должны показывать постоянные затраты на доставку п тонн тяжей и хранение 1 т их в течение суток.

Доведем решение нашей задачи до числового результата. Примем дополни­ тельно, что доставка тяжей производится на расстояние 50 км при средней ско­ рости движения автомобиля ЗИЛ-130, равной 25 км/ч. Так как по условиям за­ дачи величина Сг не зависит от п, примем ее равной стоимости одного рейса авто­

составляет 1,33 руб. на 1 т тяжей в течение суток. Вычислим общий расход тя­ жей N. При норме их расхода 130 кг/пог. м моста Л7=500 -0,13=65 т. Тогда с по­ мощью формулы (VIII.7) найдем

заводе по выпуску асфальтобетонных смесей при следующих данных: среднесу-

V0,1

Врассмотренных задачах нехватка тяжей на складе или биту­ ма в битумохранилище не допускалась и спрос удовлетворялся полностью в течение каждого интервала Т и всего срока 0. В ряде

144

задач управления запасами учитываются убытки от неудовлетво­ ренного спроса, характеризующиеся величиной Ср на единицу (де­ таль, 1 т и т. и.) в единицу времени. В подобных задачах допускает­ ся периодическое отсутствие запаса на складе с возникающими вследствие этого убытками (выплата неустойки и т. п.). Для усло­ вий постоянного спроса графическое изображение подобных задач дано на рис. 28. Как видно из

145

Для того чтобы найти минимум Са как функции двух перемен­ ных, приравняем производные нулю >:

лишь в отдельных случаях затраты на создание запаса размером в одну партию деталей С; могут быть независящими от количества деталей в этой партии. Обычно это может иметь место, когда рас­ сматриваются мелкие детали (запасные части и т. п.). Примени­ тельно к мостовым и дорожным конструкциям, сборным дорожным покрытиям затраты на создание запаса в я элементов конструкций будут пропорциональны числу этих элементов в партии (bn).1

1 Вычислив вторые производные, необходимо проверить в соответствии с пра­ вилами экстремального анализа, выполняются ли условия:

146

Рассмотрим, как изменятся в этом случае зависимости (VIII.21)

n = m и отсутствие минимума функции Сл, кроме формального ми­ нимума при п = 0.

К такому же результату можно прийти, принимая затраты на доставку запасов равными bN в первом рассмотренном ранее слу­ чае, когда неудовлетворенного спроса нет (m — n).

Если же принять, что доставка товаров на склад выражается

то при дифференцировании исходных уравнений и отыскании мини­ мума функции Сц получили бы вновь формулы (VIII.7) — (VIII.11) и (VIII.21) — (VI 11.22). Таким образом, при отсутствии постоянной составляющей стоимости доставки Сг, не зависящей от числа дета­ лей (конструкций) в партии, функция Сц минимума не имеет. Если же функция транспортных издержек принимается в виде (VI 11.27), то функция Се имеет минимум при значениях «опт, даваемых фор­ мулами (VIII.7) и (VIII.21). В эти формулы величина Ь, выражаю­ щая стоимость доставки единицы продукта на склад, не входит. Этот на первый взгляд необычный результат логически можно объ­ яснить следующим образом. Если часть затрат на доставку товаров пропорциональна их объему bn, то сократить ее за счет изменения численности деталей в партии п невозможно. В самом деле при любом п эти расходы всегда составят bN, где N — общее число де­ талей, доставляемых на склад в течение срока 0. Поэтому в итого­ вые формулы (VIII.7) — (VIII.II) и (VIII.21) — (VIII.22) величина b

147

не входит. Однако это означает, что упомянутые зависимости мо­ гут применяться в технико-экономическом анализе задач управле­ ния запасами, когда транспортные издержки выражаются линейной функцией (VIII.2 7 ), причем b может быть равно и не равно нулю. Это значительно расширяет возможности использования упомяну­ тых формул в целях технико-экономического анализа задач дорож­ ного строительства.

Рассмотрим пример такого анализа для случая, когда учитыва­ ются убытки от неудовлетворенного спроса.

П р и м е р 3. Конструкция дорожной одежды предусматривает укладку двух­ слойного асфальтобетонного покрытия на основание из железобетонных плит. Для обеспечения работ организован склад с запасами сборных железобетонных плит. Плиты доставляются с полигона железобетонных конструкций. Среднесуточ­ ная потребность в плитах составляет 100 шт. Затраты на организацию хранения и погрузочно-разгрузочные работы на складе, исчисленные для одной плиты, со­ ставляют С а = 1 руб. Если на складе не оказывается сборных плит, то дорож­

ные подразделения вынуждены устраивать щебеночный подстилающий слой, стои­

запасы плит на складе, чтобы обеспечить минимум суммарных складских расхо­

тельные подразделения, отнесем их на счет склада для того, чтобы более полно характеризовать эффективность его работы. При наличии соответствующих дого­ ворных обязательств эти убытки должны быть предъявлены складу предприятияизготовителя сборных железобетонных плит.

дорожные подразделения на покрытие неудовлетворенного спроса, а остальные 63 плиты остаются на складе для хранения. Вычислим период пополнения запа­ сов ГонтИз зависимости (VIII.9) следует, что

Таким образом, каждые сутки склад должен пополнять свои запасы, исполь­ зуя их так, как было указано выше.

Возвратимся теперь еще раз к рассмотренному выше примеру по запасам битума на АБЗ. v V3

Если дополнительно принять, что нам известны убытки, обусловленные от­ сутствием битума на заводе (Cp=0,2 руб/т в сутки вследствие оплаты простоя рабочих и машин, опоздания с вводом готового участка и т. п.), то оптимальный запас битума определится следующим образом:

148