книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

солютным приоритетом требование, пользующееся им, немедленно попадает на обслуживание, причем если в приборе обслуживания находилось в этот момент требование, не пользующееся приорите­ том, то его обслуживание прекращается. В системах с относитель­ ным приоритетом вначале заканчивается обслуживание требования, находящегося в приборе обслуживания, после чего немедленно на­ чинается обслуживание требования, пользующегося приоритетом. Для задач дорожного строительства более характерны системы МО без приоритета, а также с относительным приоритетом. В качестве примера можно указать на пересечение автомобильной дороги с железной в одном уровне, где поток поездов пользуется приорите­ том перед потоком автомобилей. В системах ремонта дорожные ма­ шины высокой производительности или лимитирующие ход работ будут пользоваться приоритетом в очередности ремонта, причем в ряде случаев абсолютным;

системы с одним и системы с несколькими источниками заявок на обслуживание. В качестве примера последней можно указать на карьер (базу), обслуживающую несколько участков работ, что весь­ ма типично для дорожного строительства;

системы с одним и системы с несколькими приборами обслужи­ вания. Как те, так и другие характерны для условий дорожного строительства. Так, например, если в забое карьера работают па­ раллельно п экскаваторов, то мы имеем систему с п приборами обслуживания, причем водители прибывающих на погрузку автомо­ билей-самосвалов сами решают вопрос о том, под какой экскаватор поставить автомобиль с учетом конкретной рабочей ситуации ь карьере;

системы с одноразовым и системы с многоразовым последова­ тельным обслуживанием'. Применительно к задачам дорожного строительства более характерны первые. С системами многоразо­ вого обслуживания можно встретиться при оптимизации работы ремонтных мастерских и заводов, где ремонт агрегата (детали) тре­ бует ряда последовательных операций, каждая из которых выпол­ няется на соответствующем рабочем месте (приборе обслужива­ ния) .

Из этого многообразия систем МО для дорожного строитель­ ства наиболее характерны следующие: разомкнутая и замкнутая системы с ожиданием и одним прибором обслуживания без приори­ тета требований; разомкнутая система с ожиданием, одним прибо­ ром обслуживания и относительным приоритетом определенной группы требований; разомкнутая система с ожиданием и несколь­ кими приборами обслуживания.

§ 15. Количественные характеристики систем массового обслуживания с ожиданием

Основными количественными характеристиками систем МО яв­ ляются: число требований (объектов обслуживания), находящихся в очереди У; время ожидания в очереди до начала обслуживания

110

На основе логических соображений можно сразу записать не­ сколько важных соотношений:

где ts — среднее время пребывания требования в системе.

т. е. среднее количество требований, находящихся в очереди, равно математическому ожиданию числа требований в системе за вычетом математического ожидания количества требований, находящихся fe обслуживании, что ясно без каких-либо специальных доказательств.

Это соотношение не столь очевидно, как предыдущее, но может быть пояснено на следующем примере. Допустим, что на погрузку в карьер прибывает в час в среднем 20 автомобилей-самосвалов (^ = 20). При этом установлено, что величина У =2, т. е. в среднем в течение всего часа находятся в очереди два автомобиля и на прос­ той в очереди будет потеряно 2 маш.-ч. Но так как эта потеря яв­ ляется суммарной и относится ко всем 20 автомобилям-самосвалам, прибывающим в течение часа в карьер, то средняя потеря времени

дует из зависимости (VII.6).

Из соотношений (VII.2) — (VII.6) видно, что основной задачей яв­ ляется получение формулы для установления величины рп. Тогда могут быть последовательно вычислены количественные характери­ стики т, У, tf и Та, полностью определяющие работу системы МО.

Определение рп в общем случае является сложной задачей. Наиболее просто она решается в тех случаях, когда поток заявок на обслуживание является так называемым простейшим потоком, т. е. удовлетворяет условиям стационарности, отсутствия последей­ ствия и ординарности. Рассмотрим смысл этих особенностей прос­ тейшего потока.

С т а ц и о н а р н о с т ь потока, или, иначе, его однородность во времени, означает независимость величины рп от начала отсчета

112

времени т и, наоборот, ее зависимость лишь от величины интервала времени т, для которого определяется рп. В реальных производ­ ственных условиях в пределах всей рабочей смены поток заявок на обслуживание часто может не удовлетворять условию стацио­ нарности. Так, например, применительно к транспортным работам в начале смены будет иметь место период формирования потока, когда pn = f(x). В конце смены при разновременном окончании ра­ бот автомобилями-самосвалами мы также будем иметь pn=F(x). Если, кроме того, в течение смены меняется по каким-либо произ­ водственным причинам количество обслуживаемых объектов (на­ пример, снимается с работы часть автомобилей), то при этом опять будет нарушаться условие стационарности. Эти обстоятельства по­ требуют разбивки смены на несколько частей, для которых поток заявок может считаться стационарным, или моделирования процес­ са в переходном режиме методом Монте-Карло (см. гл. IX).

О т с у т с т в и е п о с л е д е й с т в и я характеризует такой слу­ чайный (стохастический) процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не за­ висит от того, как происходило развитие в прошлом. Иначе говоря, количество требований на обслуживание, появляющихся за время т, не зависит от того, какое их количество имело место в предше­ ствующий отрезок времени.

О р д и н а р н о с т ь потока означает, что вероятность поступле­ ния за малый промежуток времени более одного требования ( п ^ 2 ) на обслуживание пренебрежимо мала. Математически это выра­ жается зависимостью

Поток заявок на обслуживание, удовлетворяющий трем охарак­ теризованным выше условиям, называется пуассоновским и выра­ жается следующим распределением вероятностей, уже приводив­ шимся в гл. III

где рп (х) — вероятность поступления в систему за время т п заявок на обслуживание.

В том, что поток, описываемый выражением (VII.8), удовлетво­ ряет первым двум условиям простейшего потока, ясно из самой структуры зависимости (VII.8), не предусматривающей информа­ ции как по моменту отсчета времени, так и по предшествующему его интервалу. В ординарности потока также легко убедиться. В са­ мом деле

из

При решении конкретных задач методами ТМО необходима про­ верка гипотезы о том, что поток заявок на обслуживание является пуассоновским. Методика такой проверки была рассмотрена в гл. III.

§16. Метод получения расчетных зависимостей теории массового обслуживания

Для многих практически важных случаев соответствующие рас­ четные зависимости получены и приводятся в литературе по ТМО. Однако практика ставит новые задачи, для решения которых тре­ буется владение методом получения выражения для рп (х). Рас­ смотрим основы этого метода на простейших видах систем МО.

Функция рп (т) находится из решения системы дифференциаль­ ных уравнений вероятностей состояния системы. Обычно диффе­ ренциальные уравнения для процессов, развивающихся во вре­ мени, характеризуют закономерности изучаемого процесса при­ менительно к бесконечно малому промежутку времени dx. В после­ дующем на основе их решения удается выявить общие свойства процесса. Это полностью относится к системам МО. Для написа­ ния дифференциальных уравнений, описывающих изменения состо­ яния системы МО за бесконечно малый промежуток времени dx, необходимо предварительно установить два основных соотношения, а именно: для вероятности поступления в систему одной заявки на обслуживание за время dx, т. е. для величины p x(dx); для вероятно­ сти убыли из системы (вследствие завершения обслуживания) за время dx одного требования, т. е. для величины p - X(dx).

Аналогично, вероятность окончания обслуживания одного требо­ вания за время dx выразится

1 (dx) = pdx, (VII. 10)

где р — пропускная способность (номинальная производительность

1) 1 — Ых — вероятность того, что за время dx в систему МО не поступит требование;

2) 1 — p it — вероятность того, что за время dx систему не поки­ нет обслуженное требование.

114

Если в системе на момент времени т нет требований, то на мо­ мент времени x + dx возможны два состояния системы МО: •

1)Ро-^Ро, т. е. в систему не поступит требование на обслужива­

ние;

2)ро-э-рь т. е. в систему за время dx поступит одно требование. На основе (VII.9) и (VII. 10), используя теоремы сложения и

умножения вероятностей (см. гл. III), получим следующие соотно­ шения для вероятности указанных переходов системы из одного со­ стояния в другое:

Если на момент времени т в системе было п требований, то воз­ можны ее переходы в следующие три состояния:

Р п * Рл> Р п * Р п + 1’ Р п * Р п — 1-

По аналогии с предыдущим можно получить следующие зависи­ мости:

Рп~* р„= (1 —Ых){ \ ■—y.dx)A-'kdx-\xdx.

Первое произведение в правой части дает вероятность того, что за время d\t в систему не поступит и из системы не убудет требо­ вание. Второе — вероятность того, что в систему за время dx посту­ пит одно требование и систему покинет одно обслуженное требо­ вание. Других вариантов сохранения в системе п требований, оче­ видно, быть не может.

Опуская бесконечно малые величины второго порядка, получим:

р„ — Рл^ 1 — (X-fix)rft. (VII. 13)

На основе подобных же рассуждений можно получить:

матрицу вероятностей перехода системы МО за время dx в возмож­ ные состояния:

p{x-\-dx)

Состояние системы на момент t + d z

115

Рассматривая матрицу, можно заметить, что, кроме первой, все строки матрицы в записи идентичны. То же можно сказать и о столбцах. Тогда можно записать следующую систему дифферен­ циальных уравнений:

dx

Таким образом,

Чтобы получить выражение для функции рп(х), необходимо ре­ шать эту систему дифференциальных уравнений, что является до­ статочно сложной задачей. Для простейшего потока рп не зави­ сит от времени т (установившийся режим в работе системы МО).

116

Так как — = <р, то будем иметь: н-

J Ро^= Рх или Р! = Р0%

Соотношение (VII. 19) можно было бы записать и из чисто логи­ ческих, или, как часто говорят, эвристических соображений. В са­ мом деле, как отмечалось в главе выше, величина а]з представляет собой математическое ожидание требований, находящихся в систе­ ме, или, что то же самое, показывает, какую часть своего времени прибор занят. Тогда 1—^ соответствует той части времени, когда прибор свободен, что и дает вероятность ро.

Внося (VII.19) в (VII.16), получим

Определим теперь в соответствии с зависимостью (VII.2) мате­ матическое ожидание числа требований в системе in:

Последняя сумма также представляет собой прогрессию и рав­

на ------— . Тогда (1—Ф)2

117

На основе (VI 1.5) получим

Если время обслуживания постоянно, т. е. если каждое обслу­

живание продолжается точно в течение времени — , то по теории

массового обслуживания среднее время ожидания в очереди tj бу­ дет в 2 раза меньше, чем при распределении времени обслуживания по экспоненциальному закону, т. е.

2 •(1 — ф)

_ Кроме того, среднее число требований в системе т и в очереди F определяются в этом случае по формулам:

§17. Разомкнутые системы массового обслуживания с одним

инесколькими приборами

Рассмотрим одну задачу, решение которой можно будет полу­ чить с помощью зависимостей (VII. 19) и (VII.22).

Требуется получить формулу для определения оптимального числа транспортных средств, прикрепляемых к средствам погрузки, если известны стоимости машино-смен, производственно-техниче­ ские характеристики и условия перевозок (расстояние перевозки, средняя скорость движения транспортных средств).

В качестве критерия оптимальности примем минимум суммар­ ных потерь (в стоимостном выражении) от простоя транспортных средств и средств погрузки. Будем рассматривать разомкнутую СМО с ожиданием, с одним прибором обслуживания, без приори­ тета требований, для которой и справедливы формулы (V.19) и

118

(VII.22). Запишем вначале выражение для экономической функ­ ции

потери от простоя прибора обслуживания, в данном случае экска­

Решая это квадратное уравнение, получим:

Так как ф<1,0, то может быть принят лишь следующий корень уравнения

119