книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

При у = 2 и т) = 1 получаем также треугольное распределение ви­ да a ( t ) —2t. Треугольные распределения могут использоваться для приближенной замены гамма-распределения.

иногда применяют в качестве приближенной, но очень простой ап­ проксимации нормального распределения.

Из рис. 13, 14 и 40 ясно, что бета-распределение может быть использовано для количественной оценки надежности за весь пери­

Из (ХП.55) ясно, что при а > 1 интенсивность отказов растет с увеличением времени эксплуатации устройства (системы).

Математическое ожидание времени безотказной работы равно:

оосо

оо

где Г — гамма-функция, для которой имеются таблицы. Распределение Вейбулла хорошо описывает время безотказной

работы ряда устройств (электронные лампы, реле, шариковые

220

подшипники, некоторые детали автомобилей и т. п.). Как видно из рис. 49, в, это распределение может применяться для количествен­ ной оценки надежности устройств с учетом периода приработки.

принимает вид:

___t_

a { t ) = — & Р или a{t) — 'ko.-xt.

Таким образом, экспоненциальное распределение является част­

ным случаем распределения Вейбулла при а = 1 и — = Х.

При а = 2 из (XII.53) получается распределение Релея, имеющее определенное применение в теории надежности с плотностью (час­ тотой отказов) вида:

Как можно видеть из рис. 14, 48 и 49, большинство охарактери­ зованных выше распределений не может описать изменения часто-

ты a(t) и интенсивности X(t) отказов на всем интервале времени работы устройства. Поэтому часто используется суперпозиция (сло­ жение) нескольких распределений (рис. 50, 51). При этом записы­ вается вначале выражение для a(t), например

a (t) = С ^ е - ^ 1-f- С2Х2е - ^

(суперпозиция двух экспоненциальных распределений), а затем по формулам (XII. 18), (XII.21) обычным порядком находятся P(t), k(t) и Т.

221

При использовании любого из приведенных выше распределений для количественной оценки надежности прежде всего возникает задача вычисления параметров распределения: При экспоненциаль­ ном распределении это средняя интенсивность отказов Я, при нор­ мальном— математическое ожидание времени безотказной работы Т и среднеквадратичное отклонение а, для гамма-, бета- и Вейбул- ла-распределений — соответствующие им параметры формы и мас­ штабы: Яо и к; у и г|; а и |3.

В гл. III был рассмотрен порядок определения Я, Г и о, у и р соответственно для экспоненциального, нормального и бета-распре­ делений. Уточним поэтому лишь порядок вычисления параметров формы и масштаба для гамма-распределения и распределения Вейбулла. С достаточной точностью параметры гамма-распределения можно определить из соотношений:

^х и -58)

где t — среднее время между отказами, определяемое по экспериментальным данным из формулы

по данным испытаний весьма сложно. Поэтому обычно применяет­ ся приближенный метод, в основе которого лежит следующее пре­

222

U — 0(0

линейна. Имея данные испытаний, можно для любых двух значе­ ний t вычислить два значения Q(t) и получить легко разрешаемую систему из двух уравнений с двумя неизвестными а и (3.

Вследующем разделе главы реализация этой методики будет показана в решении одного из примеров.

§32. Примеры оценки надежности

Впоследние годы вопросам надежности автомобильных дорог в эксплуатации уделяется все большее внимание. Возросла капиталь­ ность конструкций земляного полотна и дорожных одежд, совер­ шенствуется технология их строительства. Это привело к улучше­ нию качеств дорог. Однако еще нередки случаи преждевременного выхода из строя отдельных участков дорог, межремонтные сроки зачастую меньше нормативных. Одной из причин подобных явле­ ний является то, что не сформулированы основы теории надежности автомобильных дорог.

Надежная работа сооружения может быть обеспечена лишь со­ ответствующим проектированием, строительством и эксплуатацией

его. Однако эти процессы применительно к автомобильным дорогам не базируются еще на расчетах обеспечения необходимой (опти­ мальной) надежности. Так, например, при проектировании дорож­ ных одежд используются табличные значения модулей деформации (упругости) грунтов земляного полотна Е0 и материалов слоев Ei дорожных одежд. Для конкретной дорожно-климатической зоны в зависимости от конструкции дороги, условий водоотвода инструк­ ция по расчету дорожных одежд дает однозначные величины моду­ лей. Очевидно, что как Е0, так и Ej являются вероятностными ха­ рактеристиками грунта и материалов слоев дорожной одежды, имеющими определенный разброс относительно средних их значе­ ний. Игнорируя это обстоятельство, мы не можем характеризовать надежность принимаемых при проектировании значений этих пока­ зателей.

Далее в процессе возведения земляного полотна, устройства до­ рожных одежд возможны определенные отклонения плотности грун­ та и материалов от нормативных. Кроме того, при приемке готовых слоев дорожных одежд допускаются отклонения от проектной тол­ щины до 10%.

Представим себе, что на каком-то участке дороги произошло сочетание неблагоприятных обстоятельств, т. е. фактические мо-

.дули и толщины ряда слоев оказались ниже нормативных. В опре­ деленных условиях это может привести к появлению деформаций и разрушений дорожной одежды.

Очевидно, что при надежностном подходе к проектированию дорог подобные случаи будут исключены с определенной наперед заданной достоверностью.

223

П р и м е р 1. Требуется оценить надежность автомобильной дороги в эксплуатации; проектная конструкция дорожной одежды представлена на рис. 52. В период производства работ при приемке в соответствии со СНиП Ш-Д.5-72 допускаются отклонения фактических толщин слоев от проектных в пределах до

упругости многослойной дорожной одежды £’э, суть которой сводится к следую­ щему. Вначале вычисляется средний модуль упругости Е ср всех слоев дорожной одежды, а затем с учетом модуля упругости грунта земляного полотна Ео опре­ деляется £ э.

Расчет Еср ведется по формуле

224

Из (XII.66) ясно, что £ э является функцией трех величин (£ 0, Еср и Л), каждая из которых носит вероятностный характер и имеет свой закон распределения. Уточнение этих законов является еще задачей дальнейших исследований. При­

тически достаточно сложна, и ее рассмотрение выходит за пределы данной книги. Примем поэтому, что значение £ э также распределено по нормальному закону и необходимо определить лишь количественные характеристики для £ э, т. е. ма­

° | ■; c l и а? — дисперсии случайных параметров.

"ср

С помощью формулы (XII.66) найдем тЕэ, вычислив предварительно

частные производные и дисперсии правой части зависимости (XII.70). Не приво­ дя самого дифференцирования, дадим лишь его результаты:

Дисперсию а | о найдем из условия, что разброс фактических величин £о от­

носительно нормативного значения тЕ0 составляет ± 1 5 —20%. Примем среднее значение этого разброса равным ±18% или ±0,18. Тогда, воспользовавшись пра­ вилом «трех сигм» (см. гл. III), будем иметь:

*В дальнейшем расчеты выполнены по модулям деформации, что не ума­ ляет методической значимости примера.

**Значения производных вычисляют для значений £ 0, £ ор, равных их мате­ матическим ожиданиям, т. е. £ 0=150 кгс/см2, £ ср = 1160 кгс/см2 и А =75 см.

225

£ э ^ 0 ,8 /п £ э=0,8-883=707. Тогда вероятность безотказной работы. P(t) выразится зависимостью

Таким образом, если фактические отклонения величины £ j и А, не будут пре­ восходить указанных в условиях задачи, то вероятность безотказной работы дороги будет близка к 4.

227

зуясь приведенной методикой решения задачи, но в обратном порядке, т. е. за­ даваясь P(t), можно обосновать допустимые отклонения фактических модулей деформации и толщин слоев дорожной одежды от проектных. В связи с большим

работы по среднему ремонту. Многолетними наблюдениями установлено, что по­ требность в среднем ремонте дорог характеризуется следующими данными: 25% протяжения дорог требует среднего ремонта в пределах первых пяти лет эксплуа­

(приведенные данные условны и приняты для показа методики решения задачи). Установлено также, что основной причиной среднего ремонта являются весен­ ние деформации дорожных одежд, обусловленные соответствующими деформа­ циями земляного полотна. Можно поэтому принять, что «отказы дорог» (выход их в средний ремонт) являются не износовыми, а условно мгновенными (от пу­

чения или неравномерной осадки земляного полотна).

Требуется определить необходимые ассигнования по годам на средний ре­ монт дорожных одежд, если протяжение дорог с указанными типами покрытия

составляет .1000 км и стоимость среднего ремонта 1 км равна 3450 руб. ( С ^ ) . Решение задачи начнем с определения интенсивности отказов X(t). Поль­

зуясь формулой (XII.20), для середины периода 0—5 лет получим:

25

Х(2’5) = /— ^ Г ^ 0,057' 100- - 5

ляет предположить экспоненциальное распределение времени безотказной работы. Определим среднее значение X для всего межремонтного периода 7% = 18 лет.

2 2 8

Так как в годы, предшествующие капитальному ремонту, средний ремонт не проводится, будем пользоваться в дальнейшем величиной АСр=0,056, справед­

Аналогично сосчитаны и приводятся ниже остальные величины

/=1

=1,96 млн. руб., что можно, естественно, получить и другим путем:

С|р = 0,57 -1000-3,45-103 = 1,96 млн. руб.

Постепенное уменьшение величин Сср1объясняется тем, что A.=const, т. е. доля выхода дорог в ремонт постоянна, но она с каждым годом исчисляется от все меньшей протяженности дорог, еще не подвергавшихся ремонту.

57% общей протяженности дорог. В соответствии с официальными нормативами на дорогах, подобных рассмотренным, могут планироваться два средних ремон­ та. Поэтому результаты решения задачи следует рассматривать лишь как иллюст­ рацию методики.

229