книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

Таким образом, переходное событие является общим для не­ скольких сетей и может одновременно являться конечным событием для одного частного сетевого плана и начальным для другого.

На дорожных работах переходными событиями часто могут быть моменты приемки и сдачи выполненных работ на смежных за­ хватках комплексного потока. Так, при устройстве цементобетонно­ го покрытия на битумогрунтовом основании в частном сетевом графике по устройству основания может быть событие: «основание на 1-й захватке сдано». На частном сетевом плане по устройству цементобетонного покрытия может быть событие: «основание на 1-й захватке принято». Так как эти события тождественны, то оба частных сетевых плана могут быть «сшиты» по данному переход­ ному событию, образовав уже комплексный сетевой план, показы­ вающий как работы по устройству основания, так и работы по уст­ ройству покрытия.

Р а б о т а — деятельность исполнителей в период времени между двумя смежными событиями. Работы подразделяются на следую­ щие виды: а) «действительная работа», характеризующаяся по­ треблением ресурсов и затратами времени ( транспортные, земляные работы, разработка карьеров и т. п.); б) «ожидание», т. е. процесс, требующий затрат времени, но не потребляющий ресурсов (форми­ рование покрытия, набор прочности цементогрунтом или бетоном, если не требуется дополнительных мер по уходу и т. д.); в) «фик­ тивная работа» или «зависимость» — работа, не потребляющая ре­ сурсов и не имеющая продолжительности, связь двух смежных со­ бытий. Например, при устройстве гравийного покрытия методом смешения на дороге после события «конец розлива битума» может непосредственно наступить событие «начало перемешивания» без перерыва во времени и без каких-либо затрат ресурсов между упо­ мянутыми событиями. Поэтому связь этих событий должна быть отражена на сетевом графике как фиктивная работа.

Действительные работы показываются на графике сплошными линиями со стрелкой, а ожидание и зависимости (фиктивные рабо­ ты) — пунктиром.

П у т ь — последовательность работ, конец каждой из которых совпадает с началом последующей. Сетевой график представляет собой совокупность множества путей, имеющих начало в исходном событии (момент начала работ) и конец в завершающем событии (момент окончания строительства). Наиболее важными являются те пути, которые не имеют резервов. Они определяют срок выполне­ ния строительных работ и называются к р и т и ч е с к и м и . На од­ ном сетевом графике может быть несколько критических путей.

События и работы характеризуются количественными оценками. Каждая работа имеет длительность teij, которая выражается в ча­ сах, сменах, сутках и записывается над стрелкой работы. Порядок определения длительности работы будет рассмотрен в следующем параграфе главы.

Каждое событие сетевого графика характеризуется следующи­ ми параметрами:

180

Так как событие может быть связано с несколькими работами (рис. 38), то резерв времени у события в общем случае отличается

Тр-.В;

V»;

Рис. 3-8. Сетевой график в полигональной форме

от резерва времени, имеющегося у работ. Поэтому при установле­ нии резервов времени у работ различают:

Ранний срок свершения события / показывает, что работы, на­ чало которых совпадает с событием /, не могут начаться раньше, чем будут выполнены все без исключения работы, предшествующие событию /. Поэтому 7Р,- определяет та из предшествующих работ i—/, которая завершается последней по времени. Поздняя дата свершения события показывает наиболее позднее время свершения события i при условии, что начинающаяся с этого события работа начнется своевременно,

181

Рис. 39. Форма сетевого графика для планирования дорожных работ:

/-устройство труб; // —земляные работы; ///-устройство основания; IV —устройство покрытия

Ранние сроки свершения событий вычисляются последовательно по направлению стрелок работ от исходного до завершающего со­ бытия, а поздние сроки (даты) свершения событий вычисляются в обратной последовательности от завершающего до исходного со­ бытия. Система записи величин Тр и Та ясна из рис. 39, на котором приведен фрагмент сетевого графика, имеющего форму, наиболее удобную для планирования дорожных работ.

Для удобства сравнения на этом рисунке отражена в сетевой форме организация работ по постройке участка дороги, ранее пока­ занная на линейном графике (см. рис. 36).

Формы сетевых графиков в разных звеньях их применения бу­ дут также различны. При сетевом планировании работы в СУ наи­ более удобно совмещать сетевой график с крупномасштабной схе­ мой, на которой показаны объекты работ (см. рис. 39). Для облег­ чения самого процесса планирования в этом звене целесообразно использовать готовые блоки сетевых графиков на типовые комп­ лексы, а также специальную линейку канд. техн. наук Ю. А. Маль­ цева для сетевого планирования дорожных работ.

Форма сетевого графика, представленного на рис. 39, сохраняет основные преимущества линейных календарных графиков: просто­ ту, наглядность, привязанность к плану дороги и т. д. Над планом дороги показаны линейные работы, а работы по приготовлению материалов и полуфабрикатов и транспортные работы изображены в ленточной форме слева от линейных. Методика построения такого графика имеет много общего с календарным. Разница состоит в том, что после построения технологической основы сетевой график рассчитывают по ранним и поздним срокам, определяют критиче­ ский путь.

Как уже отмечалось, на рис. 39 показан линейный календарный график постройки того же участка, что и на рис. 36. На рис. 36 не выделены критические работы; нельзя проследить последствия, к которым приведет нарушение сроков любой из работ, так как на ка­ лендарном графике не показываются в деталях связи работ друг с другом; на календарном графике не видны резервы времени некри­ тических работ. Эти недостатки календарного графика можно уст­ ранить, показав детально взаимосвязи работ, присвоив каждой из них временные характеристики и подсчитав по ранним и поздним срокам. Но в этом случае мы неизбежно превращаем календарный график в сетевой (см. рис. 39). Этот пример показывает, что сете­ вое планирование является дальнейшим развитием и детализацией календарного. Отсюда следует необоснованность противопоставле­ ния СПУ и календарного планирования.

§ 27. Математические основы сетевого планирования

Перейдем к рассмотрению важнейших вопросов сетевого плани­ рования: порядка установления длительности работ сетевого гра­ фика teij\ оценки надежности сетевых графиков; методов оптими­ зации сетевых графиков.

183

Как уже отмечалось в гл. III, длительность любой работы в ус­ ловиях дорожного строительства зависит от множества факторов и является вероятностной величиной. Поэтому общая продолжитель­ ность строительства неизбежно отклоняется от плановой, т. е. стро­ ительство дороги в целом также представляет собой сложный ве­ роятностный процесс.

Исследования статистических данных по выполнению норм вы­ работки дорожной техникой в УС автомобильной дороги Москва — Рига и в тресте «Севзапдорстрой», проведенные Ю. А. Мальцевым, показали, что производительность машин наиболее полно описы­

ной производительности машин, причем математическое ожидание t e, равное единице, соответствует 100% выполнению нормы, а сред­ неквадратичное отклонение о выражено в долях единицы,

т. е. t e.

Для того чтобы исчерпывающим образом характеризовать дли­ тельность работы, необходимо и достаточно знать: закон распреде­ ления, которому подчинена длительность работы как случайная ве­ личина; математическое ожидание длительности, te\ величину дис­

персии о2 как меру отклонения случайной длительности работы ti от ее математического ожидания 1е.

В гл. IV был рассмотрен порядок анализа имеющихся данных по длительности изучаемой работы для ответа на эти три воп­ роса.

При достаточной статистике величину te наиболее целесообразно определять по формуле (III.11). Однако во многих случаях могут отсутствовать представительные статистические данные наблюде­ ний за длительностью работы. Тогда при сетевом планировании по системе PF.RT величина teij определяется следующим образом. На

184

основе опыта производства работ в аналогичных условиях устанав­ ливаются; t0— минимальная продолжительность работы при наибо­ лее благоприятных условиях (оптимистическая оценка); *п— мак­ симальная продолжительность работы при самых неблагоприятных условиях (пессимистическая оценка); tv — наиболее вероятная про­ должительность работы при средних условиях (реалистическая оценка).

Необходимо отметить, что выявление величин t0, ta и tp являет­ ся ответственным этапом сетевого планирования. Оптимистическая оценка исходит из самых благоприятных обстоятельств в конкрет­ ных условиях стройки (действий подразделений) в отношении со­ стояния техники, обеспечения материалами и т. п. Пессимистиче­ ская оценка, наоборот, исходит из неблагоприятного стечения об­ стоятельств. Внешние Неблагоприятные факторы (несчастные слу­ чаи, стихийные бедствия) при этом не принимаются во внимание. Наиболее весомой является реалистическая оценка продолжитель­ ности работы при наиболее типичном состоянии техники, подаче материалов в срок или с небольшими отклонениями от него, не­ больших затрат времени на разрешение возникающих в ходе работ трудностей и т. п. Именно для таких условий приводятся нормати­ вы ЕНиР. Очевидно, что оценки t0 и tn имеют меньшее значение, чем оценка tp.

Поэтому на основе трех оценок t0, tu и tp расчетное значение дли­ тельности работы определяется из соотношения:

Иногда величину tp трудно определить и известными будут толь­ ко tn и t0 как наибольшая и наименьшая продолжительности работ данного вида, выполнявшихся ранее. В этом случае разработчики системы PERT предлагают использовать формулу

Формула (XI.11), как будет показано ниже, легко выводится из соотношения (III.34) при значениях параметров формы и размера у = 2 и т]= 3, принятых в системе PERT. В самом деле, из (III.34) путем простейших преобразований получаем

е5 5

представлен график p-распределения для этого случая с математи­ ческим ожиданием, сдвинутым в сторону оптимистической оценки длительности работы.

Рис. 40. График плотно­

Как видно из изложенного, формулы (XI.11) и (XI.15) исходят из постулируемых в системе PERT значений у = 2 и г] = 3, что во многих случаях не будет соответствовать реальным условиям про­ изводства дорожно-строительных работ в СССР. Нетрудно понять, что полученные из опыта разработки ряда проектов в США у = 2 и т)=3 никоим образом нельзя переносить на условия ведения дорож­ но-строительных работ в СССР в условиях социалистической эконо­ мики. Следовательно, использование формул (XI. 11) и (XI. 15), ре­

186

комендуемое в ряде отечественных работ, без дополнительного ана­

лиза неправомерно.

Поэтому наиболее правильным является следующий методоло­

гический путь:

1. На основе статистических наблюдений определяем

1=1

К_

2. Вычисляем з2 = 2 (h — ^efPi- i = 1

3. Находим с помощью соотношений (III.33) и (III.34) парамет­ ры формы и размеры у и тр Если у=ть причем р ^ З , то, как ясно из рис. 14, с достаточной достоверностью можно пользоваться зако­ ном нормального распределения длительности работы t.

тр--5 Тр-П

Рис. 41. Сетевой график с показом дисперсий у работ и собы­ тий (составлен по данным рис. 38)

В дальнейшем параметры 1е и а2 для всех работ используются при просчете графика и оценке его надежности.

Просчет графика состоит в определении ранних и поздних дат свершения всех событий вплоть до заключительного, установлении резервов у событий и работ, определении критических путей. Мето­ дология такого просчета ясна из предыдущего параграфа.

Под надежностью графика будем понимать вероятность заверше­ ния его работ в заданный срок Так как длительность выполнения каждой работы есть случайная величина, отклонения ее от матема­ тического ожидания характеризуются величиной дисперсии. Следо­ вательно, случайными величинами в сетевом графике являются и даты Гр свершения всех событий. Поэтому при построении сетевого графика целесообразно указывать на нем не только величины te

иГр, но и величины дисперсий при них (рис. 41).

Вдальнейшем оценка надежности сетевых графиков зависит от того, является ли критический путь неизменным или же он может

меняться в зависимости от успеха выполнения тех или иных работ графика. В первом случае, когда критический путь является неиз­ менным (детерминированным), надежность графика можно оце­ нивать аналитическим путем. Во втором случае, когда критический путь недетерминирован, т. е. может менять свое начертание на гра­ фике, оценка надежности графика может быть произведена статис­ тическим путем (методом Монте-Карло). Рассмотрим последова­ тельно оба эти метода оценки надежности сетевых графиков.

При детерминированном критическом пути оценка надежности графика основывается на следующих положениях. Принимают, что продолжительности выполнения отдельных работ графика являют­ ся вероятностно-независимыми величинами (в подавляющем боль­ шинстве случаев выполнения дорожных работ это предположение вполне оправдано). Это позволяет определить дисперсию Тр любого события, суммируя дисперсии предшествующих работ (см. рис. 41). В итоге, определив длительность критического пути, можно полу­ чить и дисперсию конечного события ок2 по формуле

ваемому пути.

Согласно теореме Ляпунова, сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, не слишком резко отличающихся друг от друга по влиянию на нее, имеет распределение, близкое к нормальному, независимо от того, какому распределению следуют суммируемые случайные величины. Выше было отмечено, что про­ должительности отдельных работ характеризуются бета-распреде­ лением. Что же касается срока завершения всех работ графика, то его, по Ляпунову, можно считать распределенным по нормальному закону, плотность вероятности которого описывается зависимостью (III. 17). Кроме того, для конечного события графика величина Тр есть не что иное, как математическое ожидание этого момента. Это вытекает из известной теоремы теории вероятностей, гласящей, что сумма математических ожиданий случайных величин дает матема­ тическое ожидание их суммы. Таким образом, мы знаем, что Тр для конечного события есть математическое ожидание нормально рас­ пределенной случайной величины, дисперсия которой известна и оп­ ределяется формулой (XI. 16). Все это позволяет оценить надеж­ ность графика, т. е. дать вероятностную оценку выполнения работ графика в пределах любого интересующего отрезка времени, чаще всего в заданный на строительство срок.

Для этого может быть использована фундаментальная формула (III.20) теории вероятностей, позволяющая определить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на за­ данный участок, ограниченный величинами (3 и б. Применительно к рассматриваемому вопросу эту формулу следует записать так:

188

ласа), значения которого приведены в приложении 2.

В качестве примера определим, какова вероятность завершения работ сете­ вого графика (см. рис. 41) в период времени от Г = 23 до Г = 27.

Имеем р = 23; В = 2 7 и Гр = 25; <^ = 2 ,6 — по графику. Тогда

= ^ - [ф(0'878)- ф( — 0,878)].

Так как функция Лапласа является нечетной, т. е. Ф (—U) = —Ф (и ), получим

V

р (23< Г р< 27) = — 2Ф(0,878) — Ф (0,878). Из приложения 2 найдем, что Ф (0,878) =

=0,785, т. е. вероятность окончания работы по сетевому графику в указанный период времени составляет 78,5%. В большинстве случаев имеется заданный срок Гз завершения всех работ, и поэтому может возникнуть вопрос, какова вероятность их завершения не позднее этого срока. Допустим, что для работ графика (см. рис. 41) Г3=25. Какова вероятность завершения работ по графику не позднее указанного срока? Пользуясь формулой (XI.17), примем [3 = 0 и 6=25.

Тогда

2

Этот результат можно было заранее предвидеть, так как если график спла­ нирован с окончанием работ точно в заданный срок, то вероятность окончания их досрочно (ГК<Гэ) равна вероятности завершения работ после назначенного срока и обе они равны 0,5. Рассмотрим еще один пример оценки надежности се­ тевого графика, а именно графика, представленного на рис. 39.

Воспользуемся для этого формулой (XI.17) в виде:

1

(XI. 18), обусловлено тем, что аргумент функции Лапласа -----в практических

I/

V 2

/Г3

Для сетевого графика, представленного на рис. 39, Гр= 133,6 ч. Тогда с учетом данных табл. 32

189