книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

Эта система уравнений имеет единственное решение: а = р = у =

= -^-, и зависимость (11.18) принимает вид:

! , 1 Л 9 >

Нетрудно убедиться в том, что зависимость (11.19) идентична формуле (11.15), полученной в результате подробного вывода ме­ тодами экстремального анализа.

Воспользуемся формулой (11.19) для решения числового примера при сле­ дующих данных.

Покрытие из гравийного материала устраивается методом смешения на до­

При такой длине захватки, как это ясно из самого существа вы­ вода зависимости (11.15), общий срок постройки покрытия на уча­ стке протяжением 20 км будет минимальным. Поэтому при отсут­ ствии каких-либо других ограничений состав частного потока по этому ведущему процессу должен определяться исходя из по­ лучения готового покрытия за смену на длине одной захватки про­ тяжением /оптСоответственно должна быть составлена и техноло­ гическая карта. Необходимое количество ведущих машин в этом частном потоке может быть найдено по соотношению, вытекающе­

дTfa6kcun

где /о и П определяются соответственно по формулам (11.15) и (11.14).

Известно, что есть определенный предел насыщения потока тех­ никой. Предельным числом однотипных машин в подразделении «пред является такое, при превышении которого производительность каждой из них начинает снижаться (рис. 6, о).

СО £

30

Причиной такого снижения производительности являются обыч­ но дополнительные потери времени машины на ожидание открытия фронта работ, занятого другими однотипными машинами подраз­ деления. В качестве примера можно привести работу автогрейде­ ров по устройству невысокой насыпи # н (до 0,3 м ). Рабочий про­ цесс состоит из проходов по зарезанию, перемещению и разравни­ ванию грунта. Количество автогрейдеров, которое можно включить в подразделение, определяется шириной устраиваемого земляного полотна, а также габаритной полосы, занимаемой каждым из ав­ тогрейдеров, последовательно двигающихся друг за другом (рис. 6, б). Первый из них, завершив очередное зарезание на за­ хватке, сможет беспрепятственно сделать поворот и начать зареза­ ние в противоположном резерве, если будет свободна необходимая ему для этого габаритная полоса (см. рис. 6, б). В противном слу­ чае первый автогрейдер должен будет некоторое время простаивать в ожидании завершения проходов остальными машинами, что обусловит снижение его производительности. Для случая, изобра­ женного на рис. 6, Двед= 3.

Рассмотренный пример может быть распространен и на устрой­ ство гравийного покрытия методом смешения на дороге. Необхо­ димое количество ведущих машин (автогрейдеров) в частном пото­ ке по основному смешению может быть найдено по соотношению

(1 1 .2 0 ).

Сравнив найденное значение яВед с ппред (для смешения на доро­ ге «пред обычно не более трех), можно решать вопрос о количестве

последующего сравнения. Смысл этой задачи пояснялся рис. 2. При определенном значении требуемой прочности дорожных конст­ рукций £тР могут быть различные сочетания высоты насыпи и сум­ марной толщины всех слоев дорожной одежды. При большей высо­ те насыпи # н будет возрастать значение модуля деформации Е0 (упругости Еу) земляного полотна: как следствие может быть уменьшена толщина дорожной одежды # д.0. Увеличение высоты насыпи над уровнем грунтовых вод обусловливает существенное возрастание Е0 или Еу лишь до определенного предела высоты на­ сыпи //„, после чего это влияние затухает.

На основе соответствующих расчетов могут быть определены функции стоимости (энергозатрат) земляного полотна Сзп и дорож­

Аналогично могут быть записаны соответствующие зависимости для энергозатрат С<3Э> и С(дэ>.

31

Суммарная стоимость дорожной конструкции Сдк будет равна сумме величин С3.п и Сд.0, т. е.

Приравнивая правую часть уравнения (11.23) к нулю и решая его, найдем значение Нв, соответствующее минимуму Сдк.

Решим подобную задачу для временных дорог, когда вместо стоимостных характеристик С3.п и Сд .0 используются соответ­

ствующие энергозатраты на строительство.

Различные варианты дорожных конструкций могут отличаться как конструкцией земляного полотна, так и дорожной одеждой. Поэтому, прежде чем искать оптимальное проектное решение по сроку окупаемости или минимуму суммарных энергозатрат на строительные работы и перевозочный процесс (см. гл. I), необходи­

32

мо предварительно оптимизировать каждый из сравниваемых ва­ риантов по методике, изложенной выше.

П р и м е р 4. Требуется на основе методов экстремального ана­ лиза обосновать рациональный тип покрытия на подъездных путях к карьерам, базам, заводам. Как уже отмечалось в гл. I, при оты­ скании оптимального варианта проектного решения можно исполь­ зовать критерии суммарных затрат, в частности, для дорог времен­

автомобильного транспорта на 1 км дороги.

Если намечается несколько вариантов с различными величина­ ми З д и З т, то нет никакой уверенности в том, что вариант, харак­

постройку дороги обусловливает определенное значение допускае­ мой дорогой средней скорости движения vcpi, причем чем больше Зд,-, тем больше и аСрг- Следовательно, можно считать, что

Приравнивая правую часть выражения (11.31)- нулю, получим в результате решения

^сру.;=1 (11.32)

K i

ложительна, то значение иср*, определенное из уравнения (11.31), соответствует минимуму функции 2 Э*.

Для конкретного решения задачи необходимо знать величину А, которая может быть установлена на основе вычисленных по тех­ нологическим картам энергозатрат на различные конструктивные варианты автомобильных дорог. Соотношение (11.29) можно пред­ ставить так:

работам на 1 км дороги, увеличивающих среднюю скорость дви­ жения v CVi на 1 км/ч; вср(гР> — средняя скорость движения на грун­

товой дороге до производства дорожных работ.

Из формулы (И.ЗЗ) ясна и заложенная в нее предпосылка: имеется грунтовая дорога, средняя скорость на которой составляет

Если использовать данные по сроку службы, составу и интенсивности дви­ жения из примера, данного на стр. 22, то можно из формулы (11.32) найти ОсрЦ

Такая скорость движения может быть обеспечена лишь на дорогах с усо­ вершенствованными покрытиями. Следовательно, безусловный минимум суммар­ ных энергозатрат S3,- в условиях, оговоренных в рассмотренном примере, воз­ можен при устройстве на подъездном пути усовершенствованного покрытия. Этот вывод подтверждается и практикой дорожно-строительных организаций.

Экстремальный анализ часто используется и в других матема­ тических моделях в качестве аппарата для отыскания оптимально­ го решения. Это будет в дальнейшем показано при рассмотрении методов теории массового обслуживания (см. гл. VII) и теории управления запасами (см. гл. VIII).

I

Г л а в а

III

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЭКОНОМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

§ 5. Основные положения теории вероятностей

Изучаемые в природе и общественной жизни явления и собы­ тия могут быть детерминированными или случайными. В детерми­ нированных явлениях и событиях результат (исход) их можно с уверенностью предсказать заранее. В качестве примера детерми­ нированных явлений можно указать на движение планет солнечной системы. На основе хорошо изученных законов этого движения можно с высокой точностью предсказать положение планет на лю­ бой момент времени. Случайное явление при каждом его воспроиз­ ведении протекает несколько по-иному.

Примером случайного события является производительность какой-либо машины, выполняющей дорожные работы. Вследствие влияния многих факторов (погодных условий, технического состоя­ ния машины, квалификации и психологического состояния водите­ ля и др.) конкретная производительность в каждом случае будет несколько различной и заранее точно предсказать ее невозможно. Однако на основе многократного повторения этой работы можно установить долю тех случаев, когда, скажем, выполняются и пере­ выполняются нормы соответствующих ЕНиР. Эта доля и будет ха­ рактеризовать вероятность выполнения нормативов.

При этом следует иметь е виду, что эта вероятность характери­

зует массовый случайный процесс, дает возможность предсказать средний результат большого числа испытаний, однако исход каж­ дого испытания остается случайным. Так, если была установлена вероятность выполнения нормы при одном испытании, равная 0,80, то это означает, что при производстве данной работы 1 0 0 раз мож­

но ожидать 80 случаев, когда нормы будут выполнены. При этом нельзя достоверно предсказать результат любого одиночного испы­ тания (производства работы).

В теории вероятностей различают события достоверные, воз­ можные и невозможные. Достоверное событие в результате опыта происходит обязательно. Например, на выполнение какой-либо до­ рожной работы будет затрачено рабочее время, и это достоверно. Полагают, что вероятность достоверного события равна единице. Невозможным называют событие, которое в данном опыте не мо­ жет произойти. Оно противоположно достоверному. В нашем при­ мере невозможным будет такое событие — выполнение работы без затраты времени.

Естественно принять вероятность невозможного события равной нулю. Возможные события (в нашем примере выполнение работы с какой-то конкретной затратой времени) будут характеризоваться вероятностью большей нуля и меньшей единицы. Таким образом,

стемы событий, причем сумма вероятностей событий, составляю­ щих полную систему, равна единице. Отсюда, в частности, следует, что противоположные события составляют полную систему, ибо сумма их вероятностей равна единице.

Допустим, что были проанализированы причины невыполнения норм выработки автомобилями-самосвалами, причем оказалось, что вследствие плохой организации выхода автомобилей из парка на линию наблюдалось 28% таких случаев, ввиду поломок — 36%. В остальных случаях невыполнение норм обусловливалось плохой организацией погрузки и разгрузки автомобилей-самосвалов по вине производственных подразделений.

Все причины невыполнения норм составляют полную систему событий, причем вероятность невыполнения норм из-за плохой ра­ боты самого транспортного подразделения составляет 0,28 + 0,36 = = 0,64. Тогда вероятность невыполнения норм по вине производ­ ственных подразделений составляет 1 — 0,64 = 0,36.

Большое практическое значение имеют доказываемые в теории вероятностей два правила, а именно: правило сложения вероятно­ стей и правило их умножения. Правило сложения формулируется следующим образом. Вероятность наступления какого-либо одного (безразлично какого именно) из возможных результатов А, В, ...

равна сумме вероятностей этих результатов, если каждые два из них несовместны, т. е. не могут одновременно наблюдаться в одном опыте. Записывается это правило так:

/7(А + Б) = р(А) + ^(Б). (III.1)

Допустим, что в результате статистических наблюдений уста­ новлено, что вероятность выхода из строя за месячный период ра­ боты бульдозера составляет р (Б) =0,20, скрепера р (С) =0,30 и экскаватора р (Э) =0,15. Какова вероятность выхода из строя в течение месяца какой-либо из этих машин? В соответствии с пра­ вилом сложения она составит:

/ДБ + С + Э ) = /ДБ) + /ДС) + /7(Э) = 0,20 + 0,30 + 0,15 = 0,65.

Весьма важным является также понятие об условной вероят­ ности, которое мы поясним на следующем примере. Капитальный ремонт двигателей дорожных машин выполняется на двух ремонт­ ных заводах, причем на первом заводе ремонтируется 40%, а на втором 60% всех двигателей, подвергающихся ремонту. Из каждых ста двигателей, выпускаемых первым заводом, 80 отрабатывают по­ ложенное им число часов. Для продукции второго завода этот по­ казатель равен 70. Спрашивается, какова вероятность того, что дви­

46

гатель, устанавливаемый на соответствующую дорожную машину, отрабатывает положенное ему число часов? Легко уяснить, что эта вероятность составит:

/7= 0,40-0,8 -f 0,60-0,7 = 0,74.

Так как при подсчете приведенного показателя мы не вводили дополнительного условия, характеризующего завод-изготовитель двигателя, то данная вероятность носит название безусловной и характеризует совокупность отремонтированных двигателей в де­ лом. Если же уточнено, что используемый двигатель отремонтиро­ ван первым заводом, то вероятность отработки им нормативного числа часов составит 0,80. Подобная вероятность, исчисленная при условии, что имело место другое событие (в нашем примере вы­ пуск двигателя первым заводом), называется условной.

Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий понятие услов­ ной вероятности. Наблюдения, проведенные автоколонной, показа­ ли, что из каждых ста отремонтированных двигателей 80 отраба­ тывают 3000 ч, а 35 — 5000 ч. Найти вероятность того, что двига­ тель, отработавший 3000 ч, отработает еще 2000 ч. Очевидно, что искомая вероятность

р = — = 0,44 .

и80

Правило умножения вероятностей гласит: вероятность совмест­ ного наступления двух событий (произведения двух событий) рав­ на произведению вероятности первого события на условную веро­ ятность второго, вычисленную в предположении, что первое собы­ тие состоялось. Записывается это правило так:

Возвращаясь к ранее рассмотренному примеру с выпуском от­ ремонтированных двигателей двумя заводами, применим правило умножения вероятностей для определения вероятности того( что двигатель выпущен вторым заводом и отработает нормативное чис­ ло часов.

Вероятность выпуска двигателя вторым заводом р (А) по усло­ вию примера составляет 0,6. Вероятность кондиционности двига­ теля, выпущенного вторым заводом, р (В/A) равна 0,7. Тогда веро­ ятность совместного поступления событий

/>(АВ) = /?(А) = /7 (В/А)= 0 ,6 -0,7 = 0,42.

Если события А и В независимы, то соотношение (III.2) прини­ мает вид:

т. е. вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Вернемся к примеру, в котором рассматривалась вероятность выхода из строя бульдозера, скрепера и экскаватора. Определим

37

вероятность безотказной работы в течение месяца звена, включаю­ щего по одной упомянутой машине.

Соответствующие вероятности безотказной работы этих машин найдем по правилу полной системы событий:

1 -/> (Б )= 1 -0 ,2 0 = 0,80; 1 —/?(С) = 1 —0,30 = 0,70 и

1 — ^ ( 3 ) = ! — 0,15 = 0,85.

Тогда искомая вероятность безотказной работы звена составит:

д = 0,80-0,70-0,85 ^ 0 ,4 8 .

Важную роль в теории вероятностей играет формула полной вероятности, являющаяся следствием обоих правил — правила сло­ жения и правила умножения вероятностей.

Пусть требуется определить вероятность события А, могущего произойти вместе с одним из событий Вь Вг, Вп. Все такие ис­ ходы, т. е. свершение события А с Bi или А с Вг и т. д., несовместны и образуют полную группу событий. Тогда

Покажем применение этой формулы на ранее рассмотренном примере с двигателями. Требуется найти безусловную вероятность р (А) кондиционности отремонтированного двигателя, вычисленную без всяких предположений о том, на каком заводе двигатель ре­ монтировался. Очевидно, что любой кондиционный двигатель вы­ пущен первым или вторым заводом. Тогда р (А) = р (Е )+ р (F), где р (Е) — вероятность того, что двигатель выпущен первым заво­ дом и он кондиционный; р (F) — вероятность того, что двигатель выпущен вторым заводом и является кондиционным.

Вероятности р(Е) и р ( F), как это ясно из вышеизложенного, оп­ ределяются теоремой умножения:

/7(E j= 0 ,4-0 , 8 = 0,32; /7(F) = 0,6-0,7=0,42 .

Тогда р(А) =0,32 + 0,42 = 0,74, т. е. мы получили на основе (III.4) тот же результат, что и на стр. 37.

§ 6. Характеристики случайных величин

Рассмотрим дискретную случайную величину, например количе­ ство автомобилей N, проходящих через определенное сечение доро­ ги в единицу времени. Допустим, что имеющиеся наблюдения дали результаты:

38

Величины ft означают соответствующие частоты, т. е. количество случаев прохода Ni автомобилей в единицу времени, допустим, за одну минуту. Такая форма записи носит название ряда распределе­ ния и представляет собой простейшую форму задания закона рас­ пределения /(iV), характеризующего

связь между возможными значе- ft , ниями случайной величины и соот­

ностей всех возможных значений случайной величины равна едини­ це, как для полной Труппы несовместных событий.

Непрерывная случайная величина, например длительность вы­ полнения какой-либо работы, имеет в определенном для нее проме­ жутке бесчисленное множество значений и потому не может харак­ теризоваться рядом распределения. Такие случайные величины удоб­ но характеризовать функцией распределения F(t) по соотношению:

Функцию распределения часто называют интегральной функцией распределения, так как по мере увеличения значения текущей пере­ менной t она дает интегрально нарастающую вероятность значений

T < t (рис. 8 ).

Необходимо указать следующие три свойства функции распределе­ ния F (t):

1 . F(t) есть неубывающая функ­

ция распределения равна нулю, т. е. F( —оо) =0 . В случаях когда слу­ чайная величина может принимать только положительные значения, на­ пример если она характеризует дли­ тельность t выполнения какой-либо работы, А'(О) =0.

3. На плюс бесконечности функция распределения равна едини­ це, т. е. F ( -J-оо) = 1, Это очевидно, так как F( + oo) характеризует суммарную, интегральную вероятность всех возможных значений случайной величины от — оо (или от 0 ) до +оо.

39