книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве

Г л а в а

IX

МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИИ В ПРИМЕНЕНИИ К ЭКОНОМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

§ 21. Основы метода статистических испытаний

Метод статистических испытаний (Монте-Карло) предложен Нейманом и Уламом в 1949 г. В это же время начали широко применяться электронно-вычислительные машины, без которых ре­ ализация метода Монте-Карло в большинстве случаев невозможна.

Основной принцип метода статистических испытаний состоит в построении искусственного вероятностного процесса, параметры ко­ торого давали бы решение поставленной задачи, причем сама за­ дача может и не носить вероятностного характера. Покажем это на популярном примере вычисления интеграла

всегда легко привести к единичному, введя новые координаты для

ции. Тогда искомый интеграл будет равен площади под кривой f(x) (рис. 30). Если бы такой чертеж достаточно больших размеров подержать некоторое время под дождем, то на нем можно было бы сосчитать общее число следов от капель п и число таких следов т, расположенных под кривой у = =f(x). Так как попадание капель в различные места чертежа рав-

150

Однако такой фактический эксперимент с дождевыми каплями можно заменить «теоретическим экспериментом», нанося на чертеж точки, координаты которых независимы и случайно равномерно распределены в интервале от 0 до 1. Эти координаты могут быть выбраны из таблиц случайных чисел, равномерно распределенных в заданном интервале. Метод получения таких чисел будет изло­ жен в дальнейшем. Воспользуемся, в частности, случайными числа­ ми, приводимыми в тексте ниже (см. стр. 154).

Каждое из 50 чисел применим следующим образом: к первым двум цифрам припишем спереди ноль и будем считать это число абсциссой точки. К оставшимся трем цифрам также припишем спе­ реди ноль и будем считать это число ординатой точки. Все 50 слу­

о

близка к действительному значению интеграла, можно было бы убедиться планиметрированием площади S. На практике вычерчи­ вание такого чертежа, как на рис. 30, не является необходимым. Так как функция f(x) нам известна, то проверка, попадает ли точ­ ка со случайными координатами ниже кривой f(x), может быть произведена по условию

& < /(* /)■ (IX.2)

При несоблюдении этого условия точка располагается выше кривой. Очевидно, что точность подобных решений зависит от чис­

151

рактер, со значениями в определенном диапазоне их средними зна­ чениями. Этот путь чреват серьезными ошибками, так как заменяет изучение вероятностного процесса детерминированным, пусть со средними значениями параметров. Существенность возможных при этом ошибок показана ниже.

Из изложенного ясно, что метод статистических испытаний пред­ ставляет собой численный метод решения задач, хотя по его ре­ зультатам могут обосновываться эмпирические аналитические за­ висимости, описывающие изучавшийся процесс.

Методом Монте-Карло решается в настоящее время широкий круг задач. Приведенный пример показывает применение метода для вычисления интегралов. В гл. VII отмечалась необходимость использования метода Монте-Карло для решения задач теории мас­ сового обслуживания, в особенности в периоды переходных режи­ мов процессов. Моделирование движения на автомобильных доро­ гах успешно проводится методом статистических испытаний и позволяет уточнять пропускную способность дорог. Метод МонтеКарло позволяет осуществлять многократный проигрыш сетевых графиков и оценивать их надежность. Он может быть эффективно использован для отыскания оптимальной последовательности отра­ ботки т объектов при п видах работ на каждом из них. В общем случае число возможных вариантов последовательностей равно (т\)п, а при фиксированной последовательности работ, однотипной для всех объектов, — т\. Даже в последнем случае число возмож­ ных вариантов N может быть очень большим.

Так, при т = 20 N — m\ = 20! = 2 432 902 008 176 640 000 и перебор такого числа вариантов даже с применением самых быстродейству­ ющих ЭВМ невозможен. Поэтому вначале разрабатывается алго­ ритм целесообразного отбора вариантов с отсеиванием большей их части заведомо неоптимальных. Затем оставшаяся часть вариантов просчитывается методом Монте-Карло с отысканием оптимального варианта по выбранному критерию.

Этими примерами, естественно, не исчерпывается все расширяю­ щаяся область применения метода статистических испытаний.

Для реализации метода, как это было показано на примере ре­ шения интеграла (IX. 1), используются так называемые «случайные числа» с соответствующими законами их распределения. Очевидно, что при построении искусственного вероятностного процесса в зави­ симости от характера реального моделируемого явления потребу­ ются случайные числа с различными законами распределения (рав­ номерное, нормальное, показательное, бета-распределение и др.). Поэтому первой задачей при реализации метода Монте-Карло яв­ ляется выработка или, как говорят, генерирование случайных чисел с соответствующими законами распределения. Для этой цели ис­ пользуются физические и математические методы. Для физического генерирования случайных чисел к ЭВМ придаются специальные приставки, задача которых подавать в машину электрические им-

152

пульсы, случайно распределенные во времени. В качестве датчика таких импульсов могут применяться, например, радиосхемы, уро­ вень шумов в которых подчинен вероятностным закономерностям, а также устройства с распадом радиоактивных веществ.

Методы математического генерирования случайных чисел осно­ вываются на использовании следующего фундаментального соотно­ шения теории вероятностей:

/ f { x ) d x = R i, (IX.3)

где Ri — случайные числа с равномерным их распределением в ин­ тервале от 0 до 1; Xi — случайные числа с законом распределения, соответствующим плотности распределения.

Если нам необходимы только положительные случайные числа Xi, то нижний предел интеграла (IX.3) равен нулю.

Сравнивая (ШЛО) и (IX.3) легко уяснить смысл последнего со­ отношения. Ясно, что величина Ri представляет собой интегральную вероятность значений случайной величины, меньших х\. Эта вероят­ ность может находиться в пределах от 0 до 1. Поэтому если в этом интервале выбрать наугад какое-то число Ri, то Xi будет представ­ лять собой случайное значение аргумента плотности распределения с законом f(x). Это наглядно иллюстрирует рис. 8. Следовательно, для получения случайных чисел с любым законом распределения f(x) нужно разрешить интеграл (IX.3) относительно верхнего пре­ дела Xi, что, к сожалению, далеко не всегда возможно в конечном виде, но всегда осуществимо с любой требуемой точностью на осно­ ве численных методов интегрирования и применения ЭВМ.

Рассмотрим применение соотношения (IX.3) для получения слу­ чайных чисел с показательным законом распределения.

В гл. IV было показано, что для Пуассоновского потока вероят­ ность интервалов между смежными событиями, больших 0, дается

Но, как ясно из гл. III, соотношение (IX.4) по своему смыслу представляет собой интегральную функцию распределения Е(0). Следовательно, в силу (III.7) мы можем записать выражение для плотности вероятности f(0) в следующем виде:

Внесем теперь (IX.5) и (IX.3) и произведем интегрирование в пределах от 0 до х{, так как интервалы между смежными события­ ми могут быть только положительными:

153

Так как Ri есть равномерно распределенное случайное число, то и (1—R i ) является таковым.

Возьмем логарифм (по основанию е) от обеих частей соотноше­

Ясно, что х ,^ 0 , так как In R / ^ 0.

Таким образом, зная среднюю плотность Пуассоновского потока к с помощью равномерно распределенных случайных чисел R i, мы

легко будем получать случайные числа X; с показательным законом распределения. Рассмотрим, как же генерируются необходимые для этого равномерно распределенные случайные числа Ri.

Одним из способов получения таких чисел является способ Ней­ мана, состоящий в том, что берется некоторое произвольное число и возводится в квадрат; в полученном результате отбрасываются цифры с обоих концов и середина квадрата вновь возводится в квадрат и т. д.

Если повторять эту процедуру достаточное количество раз, то середины квадратов Ri2 дают равномерно распределенную после­ довательность так называемых псевдослучайных чисел. Имеются и другие способы генерирования случайных чисел. Ниже приведены 50 случайных чисел:

Рассмотрим теперь методику получения случайных чисел с нор­ мальным законом распределения. Как было показано в гл. III, для

математического ожидания х = 0 и а2=1 функция f(x) принимает вид:

154

или F ( x i ) = R i.

Так как интеграл в левой части (IX.10) не разрешается в квад­ ратурах, то возможен следующий путь получения нормально рас­ пределенных случайных чисел: из таблицы равномерно распреде­ ленных случайных чисел извлекаем число Rf, по таблице функции F (х) из приложения 1 находим соответствующее Ri нормально рас­ пределенное число Xi. Так, если воспользоваться для этого данными первой строки табл. 25, то получим Ri = 0,22719. Из приложения 1 найдем:

х 1= —0,75

Подобным образом составлена таблица нормально, распределен­ ных случайных чисел, приведенная в приложении 8. Охарактеризо­ ванная методика наглядно иллюстрируется рис. 8.

Рассмотрим еще один способ получения нормально распределен­ ных чисел. В соответствии с центральной предельной теоремой тео-

Vn

155

Запишем выражение для нормированного отклонения случайной величины Хг от ее математического ожидания ша:

Величина Xj и будет нормально распределенным случайным чис­ лом, выраженным в виде нормированного отклонения. Таким обра­ зом, данная методика получения нормально распределенных слу­ чайных чисел характеризуется такой последовательностью дей­

основе равномерно распределенные случайные числа также могут генерироваться машиной как на основе физических, так и аналити­ ческих методов (например, по методу Нейманна). Процесс легко поддается контролю хотя бы повторным счетом величин х,-, и поэто­ му широко применяется при решении практических задач. Имеются достаточно обширные готовые таблицы нормально распределенных случайных чисел, одна из которых приведена в приложении 8.

§ 22. Оценка точности результатов, полученных методом Монте-Карло

Для любых законов распределения случайной величины с по­ мощью неравенства Чебышева можно получить верхнюю оценку ошибки, т. е. ошибка не может быть больше результата, получен­ ного методом Монте-Карло.

Если т — математическое ожидание результата процесса, L — число благоприятных его исходов при N испытаниях, то неравен­ ство Чебышева принимает вид:

L

где р > — вероятность расхождения не меньшего

N

чем а между результатом испытаний по методу Монте-Карло и не­

известным математическим ожиданием т результата процесса; ц — экспериментальное среднеквадратичное отклонение.

156

Определим с помощью (IX. 12) вероятность ошибки не мень­ шей За.

При нормальном законе распределения результата, получен­ ного методом Монте-Карло, ошибка будет значительно меньше. В самом деле, на основе правила «трех сигм» можно записать:

Как было показано в гл. IV

V N

Неравенство (IX. 13) дает точную оценку возможной ошибки. Таким образом, для определения ошибки результата моделирова­ ния случайной величины необходимо вначале по данным N испы­ таний вычислить среднее статистическое х, статистическое средне­

квадратичное отклонение а и лишь затем оценить ошибку результа­ та на основе неравенства (IX.13). Если ошибка окажется большей, чем допустимая в решении задачи, то, как ясно из (IX.13), потре­ буется увеличение числа испытаний N.

Из этого следует, что точность результата может быть оценена лишь в ходе эксперимента и нельзя заранее точно определить необ­ ходимое число испытаний N. В начале априорно назначается число

х с требуемой точностью.

Вид зависимости (IX. 13) позволяет легко уяснить, что так как

ошибка пропорциональна ~ , то для уменьшения ошибки, скажем,

VN

в10 раз требуется увеличить число испытаний примерно в 100 раз.

Вот почему получение результатов высокой точности методом Монте-Карло возможно лишь с помощью быстродействующих ЭВМ.

§23. Примеры применения метода статистических испытаний

вэкономическом анализе

Рассмотрим несколько примеров реализации методики, охарак­ теризованной в предшествующих разделах главы.

157

П р и м е р 1. Требуется найти оптимальное число грузовых автомобилей для вывозки к объектам работ элементов сборных дорожно-мостовых конструкций, изготавливаемых на базе железобетонных изделий. База работает с двумя выходными днями в неделю (суббота и воскресенье) и гарантирует в связи с ра­ ботой линейных подразделений по сетевому графику доставку конструкций потребителям на следующий день после того, как они готовы. Само изготовление конструкций ведется строго по графику с учетом сроков их использования в ли­

груза, доставляемое одним автомобилем в течение 7-часового рабочего дня с ба­ зы к объектам, равно Ю т и распределено по нормальному закону со средне­

квадратичным отклонением 2 т.

При прикреплении к базе чрезмерно большого числа автомобилей их исполь­ зование будет неэффективным и обусловит большой перерасход средств. Наобо­ рот, при недостаточном числе автомобилей для соблюдения условия доставки конструкций не позднее следующего дня после их изготовления придется исполь­ зовать ряд автомобилей в сверхурочные часы, оплачиваемые в полуторном раз­ мере. Нормальная стоимость автомобиле-смены равна в нашей задаче 21 руб. Тогда стоимость одного сверхурочного часа работы составит ориентировочно

21

— 1,5 = 4 р. 50 к. Требуется найти такое количество автомобилей, при котором

суммарные затраты на транспортирование конструкций будут минимальны. Установим вначале случайный характер количества отправляемых конструк­

ций по дням недели. Возьмем с этой целью для большей надежности результатов шестинедельный промежуток времени, т. е. 30 рабочих дней. Извлечем произ­ вольно из приложения 8 30 нормальных случайных отклонений:

Каждый столбец этих цифр используем для установления случайного коли­ чества конструкций, подлежащих отправке за соответствующую неделю. Так, например, используя приведенные данные, получим для I недели следующие количества конструкций, подлежащих отправке Q; в:

понедельник Q1=156-j-0,308 ■16= 161; вторник Q2= 128+0,768-14=139; среду Q3= l Ю—0,957 -12= 99; четверг Q4= 140—0,094 ■15= 139; пятницу Q5= 1 0 0 + 0 ,148-10=101.

Полученные подобным образом величины Q, для всех шести недель пред­ ставлены в табл. 25.

158

Т а б л и ц а 25

честве автомобилей. Из приложения 8 выберем какую-либо последовательность нормированных случайных отклонений:

В гл. IV было показано, .что среднеквадратичное отклонение от математиче­ ского ожидания суммы (совокупного результата) к опытов может быть установ­ лено из зависимости

где ел — среднеквадратичное отклонение в отдельном опыте.

В нашем примере с 10 = 2 }/ 10 = 6,32 т.

Вычислим для I недели возможные объемы вывозки <7110 автомобилями в:

Аналогично можно подсчитать величины 0 ; для остальных пяти недель как при лс = 10, так и при иных значениях к. Результаты соответствующих расчетов представлены з табл. 26.

Это следует из формулы (IV.10).

159