
книги из ГПНТБ / Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве
.pdfВ нем коэффициенты ац и а^, имеющие дробные части, можно разбить на целую часть и дробь следующими способами:
2 ,7 = 2 -ф0,7; 2,7 = 3 - 0 ,3 ;
—5,1 = —5 — 0,1;
—5,1 = —6 + 0 ,9 .
При составлении ограничений Гомори пользуются вариантами разбивки нецелых чисел на целую и дробную части, в которых пос ледние неотрицательны. В данном примере следовало бы принять
2,7 = 2 + 0,7 и —5,1 = —6 + 0,9. |
можно, |
таким |
образом, |
записать в |
Неравенства типа (VI.1) |
||||
виде ■ |
|
|
|
|
2 |
Xj ^ |
^о~Ь /<о> |
(VI.3) |
|
7 = 1 |
|
|
|
|
где символами R обозначены целые числа, |
a f — неотрицательные |
дробные части коэффициентов ац.
Дополнительные ограничения Гомори, соответствующие прямой,
подобной SS' на рис. 21, задаются неравенством |
|
| / ; Л - > / ; о - |
(VI-4) |
7-1 |
|
Величина Д0 как неотрицательная дробная часть числа всегда меньше единицы, а сумма hfijXj может быть и больше единицы.
Кроме того, как было показано выше, введением дополнитель ных переменных вместо неравенства (VI.3) легко получить равен ство. Поэтому ограничение Гомори может быть задано и равенст вом типа
s i = n£ f u xj - / i о- |
(v i -5) |
7 = 1
причем число Si всегда будет целым. Из этого следует, что каждое дополнительное ограничение Гомори, изображаемое прямой типа SS', обязательно пройдет хотя бы через один целочисленный узел решетки и тем самым сократит область допустимых решений.
Для того чтобы найти целочисленное оптимальное решение за дачи, необходимо вначале получить нецелочисленное оптимальное решение обычными методами линейного программирования, а за тем ввести к нему дополнительное ограничение Гомори. Далее на ходят новое оптимальное решение задачи линейного программиро вания, учитывающее это дополнительное ограничение. Если это решение по-прежнему содержит некоторые нецелочисленные эле менты, то ищут новое дополнительное ограничение и следующее решение. Этот процесс продолжается до тех пор, пока решение не будет содержать только целочисленные элементы.
100
§13. Применение целочисленного программирования
вэкономическом анализе
Рассмотрим описанную методику решения задач целочисленно го программирования на следующем методическом примере.
Специальный цех оснащен четырьмя стендами и может изготав ливать два вида мостовых конструкций. Изготовление одного комп лекта конструкций первого вида требует трех, а второго вида — одной стендо-смены. Цех обслуживают автомобили общей грузо подъемностью 50 т, которые должны • ежедневно за один рейс вывозить продукцию цеха строительным подразделениям, ведущим сборку конструкций.
Комплект конструкций первого вида имеет массу Ю ти позволя ет собрать 4 пог. м мостовых конструкций, комплект второго вида — соответственно 20 т и 1 пог. м конструкций. Требуется установить, сколько комплектов конструкций первого и второго вида следует ежедневно изготавливать в цехе для того, чтобы максимизировать протяжение собираемых мостовых конструкций с учетом упомяну тых выше ограничений по производственной мощности цеха и транспортным возможностям.
Если обозначить через х и у количество комплектов конструкций первого и второго видов, то целевая функция, для которой нужно найти максимизирующее целочисленное решение,
L=4:X-\-\y |
(VI.6) |
|
при ограничениях |
|
|
\0x-\-2Oy <; 50 |
или х-\-2у ^ 5 , |
(VI.7) |
|
Зх + у = 4 |
(VI.8) |
и условиях неотрицательности переменных х ^ О и (/^ 0 . |
форму |
|
Для того чтобы ограничения |
(VI.7) и (VI.8) приняли |
равенств, введем дополнительные переменные Si и S2 . Тогда полу
чим:
S 1 = 5 —x —2y\ |
(VI.9) ■ |
S 2= 4 — Зх — у. |
(VI. 10) |
Рассматриваемая задача целочисленного программирования очень проста и могла бы быть решена обычным перебором вариан тов. Однако она принята для решения по алгоритму Гомори для того, чтобы показать использование последнего на простом методи ческом примере.
Найдем вначале оптимальное нецелочисленное решение подоб ной задачи. Ранее нами для этого использовался метод потенциа лов. Теперь обратимся к основному методу решения задач линейно го программирования — симплекс-методу, суть которого сводится
кследующему.
1.Находится базисное решение (соответствует одной из угловых точек области допустимых решений), в котором общее число нену
10!
левых значений основных и дополнительных переменных типа Si и S2 в зависимостях (VI.9) и (VI.10) равно числу уравнений в форме равенств.
Ненулевые значения переменных означают выпуск соответствую щего количества видов продукции (в нашем примере различных комплектов конструкций). Указанная особенность базисного реше ния имеет тот смысл, что количество видов производимой продукции должно соответствовать числу полностью используемых факторов производства (полностью потому, что за счет введения дополнитель ных переменных ограничения по производственным факторам в форме неравенств превращены в равенства).
Понять это положение нетрудно на основе чисто логических со ображений. Если бы в нашем примере было только одно ограниче ние, например по использованию стендов (уравнение VI.10), то выгодно было бы производить лишь комплекты первого типа, так как при этом целевая функция (VI.6) была бы максимальна и со ставляла 5!/з (при у = 0). В этом случае число ненулевых перемен ных (одна переменная х) равнялось бы числу ограничений. Если появляется второе ограничение, например по транспортным воз можностям, как в нашем примере, то обычно бывает выгодным производить и второй вид продукции в целях использования этого производственного ресурса.
В нашей задаче четыре переменных: х, у, Si и S 2 и два уравне ния в форме равенств (VI.9) и (VI.10). Следовательно, базисное решение должно содержать два ненулевых значения переменных. Если начало координат является одной из вершин области допусти мых решений, то проще всего за базисное решение принять точку О начала координат. В этой точке будем иметь два нулевых значения
переменных (х = у = 0) и на . основе уравнений |
(VI.9) |
и (VI.10) |
|
ненулевые значения Si и S2. |
для |
базисного' ре |
|
2. |
Определяется значение целевой функции |
шения и смежных угловых точек (например, Т и U на рис. 17). Если значение целевой функции в точках Т или U больше, чем в точке О, то принимаем за следующее решение одну из этих точек, например точку Т.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока движение к смежным угловым точкам области допустимых решений уже не приводит к увеличению максимизируемой целевой функции. Следовательно, найденная угловая точка соответствует оптимальному решению. Практически определение смежных вершин области допустимых
решений достаточно сложно и проводится на |
основе специально |
разработанной методики. |
|
Запишем основные условия нашей задачи: |
|
L — 0 -|—4х -|~ у\ |
(VI.11) |
Sj = 5 —х —2у\ |
(VI. 12) |
S2 —4 — Зх — у. |
(VI. 13) |
102
В правую часть равенства (VI.11) введен ноль как коэффициент при дополнительных переменных Si и S 2 в целевой функции. В та кой записи все переменные с ненулевыми значениями (Si и S%для базисного решения) находятся в левой части уравнений (VI. 12) и (VI.13), а нулевые переменные — в правой части равенств (VI.11) —
(VI.13).
Составим таблицу-матрицу коэффициентов выражений для L,
Si и S2:
|
|
X |
У |
L |
0 |
4 |
1 |
s t |
5 |
—1 |
—2 |
s 2 |
4 |
— 3 |
—1 |
В матрице (VI. 14) для первого базисного решения переменные с нулевыми значениями помещены сверху, а ненулевые — слева. Этот порядок записи будет сохраняться и в дальнейшем.
Каждое из базисных решений, представляемое матрицей типа (VI.14), должно быть проверено на оптимальность, критерием ко торой является получение отрицательных (или нулевых) значений коэффициентов при переменных в целевой функции, т. е. в первой строке матрицы, за исключением коэффициента первого столбца.
Допустим, что первая строка матрицы очередного базисного ре шения имела бы вид:
1 1 * 4 У'
иI 5 1 - 2 I - 1
Тогда L' = 5—2х'—у'. Очевидно, что maxZ/ имеет место |
лишь |
|
при х '= у ' = 0. Следовательно, |
данное базисное решение будет оп |
|
тимальным, максимизирующим |
значение целевой функции. |
Как |
видно из матрицы (VI.14), первое базисное решение для х = у = 0 не является оптимальным. Так как любое базисное решение должно сохранять такое же число ненулевых переменных, как и первое, то можно лишь поменять местами в матрице (VI. 14) какие-либо две переменные (одну из левой, а вторую из верхней части таблицы). Выбор их не должен осуществляться произвольно. Элемент матри цы, находящийся на скрещении меняемых местами переменных, на зывается на каждом этапе получения базисного решения ведущим элементом симплекс-таблицы. Ведущий элемент выбирается из столбца с наибольшим положительным коэффициентом в первой строке. В описываемом случае таковым является второй столбец.
В дальнейшем выбор ведущего элемента осуществляется сле дующим образом. На каждый из отрицательных элементов выбран ного столбца делится соответствующий элемент первого столбца. Тот элемент, для которого абсолютное значение частного является наименьшим, и принимается за ведущий. Во втором столбце имеем два отрицательных коэффициента: —1 и —3. Производя указанным выше порядком деление соответствующих элементов первого столб-
103
ца на эти коэффициенты, получим следующие абсолютные значения
частного: — 1 — 5 и Следовательно,
за ведущий элемент должен быть принят коэффициент — 3 во вто
ром столбце матрицы (VI. 14) |
и поменять местами следует перемен |
||||||
ные |
и х. Очевидно, при такой смене мест |
переменных |
должны |
||||
соблюдаться условия (VI.11) — (VIЛ3). |
|
|
|
||||
Из уравнения (VI.13) |
найдем |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(VI. 15) |
Внося выражение (VI.15) |
в уравнение (VI.12), получим |
|
|||||
5. = 5 - - f + Y 5 2 + Т у - 2 у = 3 х + Т 5 г ~ 1 Т У - |
(у1л6) |
||||||
Наконец, подставив выражение |
(VI.15) |
в |
равенство |
(VI.11), |
|||
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) + |
'У = |
|
|
|
= |
5 — |
1 — S2---- —у. |
|
(VI.17) |
||
|
|
3 |
3 |
3 |
у |
|
|
Из уравнений (VI.15) — (VI.17) |
выводим коэффициенты матри |
||||||
цы следующего базисного решения: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
$2 |
У |
|
|
|
|
L |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
—1 3 |
— 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Si |
2 |
1 |
9 |
|
|
|
|
3 3 |
3" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
X |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 3 |
“ 3 |
“ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученная матрица (VI.18) удовлетворяет приведенному выше признаку оптимальности. Поэтому найдем нецелочисленное реше ние нашей задачи:
S , = 3 - j - , * = l - i - ; S 2 = y = 0;
Теперь с помощью дополнительных ограничений Гомори типа (VI.5) необходимо получить целочисленное решение нашей задачи. При формулировании этих ограничений обычно из первого столбца выбирается элемент с наибольшей неотрицательной дробной частью.
104
В матрице (VI.18)— это первый элемент второй строки 3 — .
В соответствии с пояснениями к зависимостям (VI.2)— (VI.5) по лучим:
« ;o = Y ; a ‘'i= - T = ( - 1 + т ) |
; |
|
a<'2=1 |
Т ' |
НеотРииатель- |
2 |
|
2 |
2 |
Поэтому ограниче- |
|
ные дробные части этих чисел-— , |
|
— и — . |
|||
3 |
|
3 |
3 |
|
|
ние Гомори примет вид: |
|
|
|
|
|
S a g ) — / i 0 + / i l ^ 2 + / i 2 y = |
^ |
|
|
— |
( V I . 1 9 ) |
Верхний индекс в обозначении 5 3<s) введен для того, чтобы вы делить переменные искусственных ограничений Гомори. Составим матрицу (VI. 18) с дополнительным ограничением Гомори:
|
|
|
|
У |
|
L |
4 |
1 |
" |
i |
|
— 1 3 |
3 |
||||
|
9 |
1 |
|
2 |
|
Si |
3i |
I T |
- 1 |
3 |
|
X |
i l |
1 |
|
1 |
|
“ 3 |
~ |
3 |
|||
|
3 |
||||
s {3g) |
2 |
2 |
|
2* |
|
“ 3 |
X |
|
3 |
Теперь необходимо продолжить решение симплекс-методом до получения следующего оптимального решения. Однако тот путь, который использовался при получении матрицы (VI. 18), неприем лем, так как, за исключением первого элемента, в первой строке нет положительных коэффициентов. Это и понятно, так как матри ца (VI.18) давала оптимальное нецелочисленное решение. Поэтому отыскание ведущего элемента симплекс-таблицы ведется по так называемому двойственному симплекс-методу.
Выбирается ведущая строка с самым большим по абсолютному значению отрицательным первым членом. Ведущий элемент этой строки должен быть положительным. Если таких элементов не сколько, то вычисляются отношения элементов первой строки к со ответствующим положительным элементам ведущей строки. За ведущий элемент принимается тот, для которого указанное отноше ние является по абсолютной величине минимальным. В нашей за
даче лишь в последней строке первый элемент отрицателен
поэтому она принимается за ведущую. В этой строке есть два по ложительных коэффициента.
105
ДОК I Вычисляя указанным выше порядком отношение ПО-
Я*'к I
лучим
1 |
1 |
— 1 3 |
3 |
= 2 |
и |
2 |
2 |
3 |
3 |
Следовательно, ведущим элементом симплекс-таблицы (VI.20) является коэффициент последней строки, отмеченный звездочкой. Следует поэтому поменять местами переменные 5з(г-и у.
Найдем коэффициенты новой симплекс-таблицы. Из равенства
(VI. 19) следует
y = l - S 2+ l ± - S i g). |
(VI.21) |
Последняя строка таблицы (VI.18) давала соотношение между переменными, которое должно и теперь оставаться справедливым, т. е.
х — |
(VI.22) |
Внося в равенство (VI.22) соотношение (VI.21), получим
х = |
- L H - i s a - i - L s ? ' ) |
или
! —0-6Г2— (VI.23)
Далее, внося уравнение (VI.21) в соотношение между величи нами, даваемое второй строкой матрицы (VI.18), получим:
|
x ( i - 1 S s + 1 y S ” ) |
|
||||
или после упрощений 5 1 = |
2+ |
252- 2 - ^ - 5 ^ ). |
(VI.24) |
|||
Наконец, по первой строке матрицы (VI. 18) |
найдем |
|||||
L = 5 - — |
1 — S2— - |
у = 5 |
3 |
|
||
3 |
3 |
2 |
3 |
* |
|
|
|
- т ( 1- | 5 * + 1т 5 “ ) |
|
||||
и после упрощений |
Z.= 5 - 1 S 2 — |
|
|
(VI.25) |
106
Соотношения (VI.21) — (VI.25) дают коэффициенты новой сим плекс-таблицы:
|
|
s 2 |
S(g) |
||
|
|
**3 |
|
||
L |
5 |
—1 |
|
1 |
|
~ |
2 |
||||
|
|
|
|||
S i |
2 |
2 |
|
1 |
|
—2 2 |
|||||
X |
1 |
0 |
|
1 |
|
~ |
2 |
||||
|
|
|
|
1 |
У1 —1
Матрица (VI.26) удовлетворяет таким признакам оптимально сти: все элементы первого столбца неотрицательны; все элементы первой строки, кроме первого, неположительны.
Кроме того, коэффициенты для основных переменных х и у це лочисленны. Следовательно, оптимальное целочисленное решение задачи следующее:
L = 5; x = l ; у = \ ; 5 Х= 2; S2--= S F = 0 .
В заключение отметим, что в принципе условия (VI.6) — (VI.8) могут описывать задачи различного рода. Например, условие типа (VI.7) могло бы быть ограничением по суточному ресурсу рабочей силы производственного предприятия, изготавливающего два типа конструкций {х и у) с затратами труда на каждый тип (например, на одну ферму) соответственно один и два дня. Условие (VI.8) могло быть ограничением по подаче в сутки для вывозки конст рукций железнодорожных платформ. Наконец, условие (VI.6) давало бы длину мостов, обеспечиваемых суточной продукцией предприятия. Естественно, что коэффициенты в уравнениях (VI.6) — (VI.8) могут быть любыми в соответствии с характером задачи. Однако данный пример должен был подчеркнуть возможность ре шения многих разнообразных задач не только на базе одной мате матической модели (в данном случае целочисленного программи рования), но и на основе одних и тех же уравнений, отличающихся лишь числовыми коэффициентами. Это обстоятельство нужно учи тывать при решении технико-экономических задач из области до рожного строительства.
Г л а в а
VI!
ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ИЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ОТЫСКАНИЮ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
ВОБЛАСТИ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА
§14. В>чды систем массового обслуживания. Количественные
характеристики систем
Теория массового обслуживания (ТМО) является одним из наи более широко применяемых в настоящее время разделов исследо вания операций. Началом развития этой теории считают появление в 1909 г. работы датского ученого Эрланга «Теория вероятностей и телефонные разговоры». В дальнейшем значительный вклад в раз витие ТМО был внесен советскими академиками А. Н. Колмогоро вым, А. Я. Хинчиным, Б. В. Гнеденко и рядом зарубежных ученых. В ТМО сам термин «обслуживание» понимается как удовлетворе ние какой-либо потребности. Запрос на удовлетворение этой потреб ности именуют требованием или заявкой на обслуживание. Необ ходимо отметить, что эти два термина — обслуживание и требова ние— понимаются в весьма широком смысле. Для иллюстрации этого положения рассмотрим ряд примеров из области дорожного строительства.
П р и м е р |
1. |
Как известно, комплекс заготовительно-транспортных работ |
||
на дорожном |
строительстве является одним из наиболее трудоемких (энергоем |
|||
ких) и потому требует первоочередной оптимизации. |
Прибытие |
транспортных |
||
средств в карьер |
(на базу и т. п.) для доставки на |
строящуюся |
дорогу любых |
материалов (конструкций) можно считать требованием (заявкой) на обслужи вание. Погрузка этих материалов в данное транспортное средство (автомобиль бортовой, самосвал, думпер и т. п.) соответствующей машиной (экскаватором, краном, погрузчиком и т. п.) будет представлять собой акт обслуживания. Сама же такая машина являет собой «прибор обслуживания».
Ниже будут рассмотрены задачи оптимизации погрузочно-транспортных ра бот методами ТМО.
П р и м е р 2. Дорожные машины, направляемые эпизодически в ремонт, с позиций ТМО создают общий поток заявок на обслуживание. В ремонтных ма стерских эти машины будут распределяться по различным технологическим ли ниям в зависимости от характера требуемого ремонта (двигателя, ходовой части, кузова и т. п .). Поэтому общий поток заявок на ремонт распадается на несколько частных потоков, каждый из которых будет обслуживаться соответствующими ремонтными средствами (оборудованием), выполняющими роль приборов обслу живания. Очевидно, что данная система обслуживания может быть значительно более сложной, чем в примере 1, однако ее оптимизация основывается на методах ТМО.
П р и м е р 3. С позиций ТМО пересечение автомобильных дорог друг с дру гом и с железными дорогами в одном уровне рассматривается как прибор обслу живания, а подходящий к нему с четырех сторон транспорт создает поток зая вок на обслуживание. Непосредственно под обслуживанием в данном случае по
108
нимается прохождение автомобилем зоны пересечения. Ниже будет показано, как методами ТМО можно обоснованно решать вопрос о целесообразности пере хода от пересечения дорог в одном уровне к пересечению в разных уровнях.
П р и м е р 4. На автомобильной дороге в процессе ее эксплуатации могут эпизодически появляться участки, требующие ремонта (особенно весной), или, иначе говоря, создающие поток заявок на обслуживание. Устранение поврежде ний земляного полотна, дорожной одежды или искусственных сооружений может рассматриваться как процесс обслуживания, а бригада, ведущая работы, — как прибор обслуживания. Если в результате систематических многолетних наблю дений установлены средние показатели по количеству участков дороги, которые за определенный срок выходят из строя и требуют ремонта, то методами ТМО может быть найдено оптимальное решение в отношении необходимой производ ственной мощности дорожно-ремонтных подразделений.
Даже этот ограниченный перечень примеров из области проек тирования, строительства и эксплуатации автомобильных дорог показывает широкую применимость ТМО для отыскания оптималь ных решений в области дорожного строительства.
Рассмотрим теперь разновидности систем массового обслужива ния (МО). Прежде всего различают замкнутые и разомкнутые системы МО. В первых циркулирует конечное и обычно постоянное число объектов, периодически требующих обслуживания. В каче стве типичного примера замкнутой системы МО можно привести следующее звено машин: экскаватор, к которому прикреплено определенное число п автомобилей-самосвалов, периодически при бывающих в карьер для погрузки материала. Момент времени, ког да автомобиль-самосвал прибыл для очередной погрузки, стохасти чески зависит в такой системе от предшествующих погрузок, их длительности и ожидания в очереди перед погрузками. Таким образом, поступающий на погрузку экскаватором поток автомоби лей-самосвалов оказывается зависящим от выходящего потока погруженных машин.
В разомкнутых системах МО такой зависимости входящего по тока от выходящего нет, или, иначе говоря, входящий поток пита ется источником с неограниченно большим в математическом смыс ле числом клиентов (объектов), требующих обслуживания. Следо вательно, при достаточно большом п замкнутая система МО может также превратиться в разомкнутую, во всяком случае по количест венным показателям их анализа. Это положение будет проиллюст рировано ввиду его практической значимости,.так как расчеты для разомкнутых систем МО значительно проще, чем для замкнутых, и потому нужно уметь обоснованно отделить их.
Как замкнутые, так и разомкнутые системы МО могут иметь не сколько разновидностей:
системы с ожиданием и системы с потерей требований. В систе мах с ожиданием очередное требование, найдя занятыми все прибо ры обслуживания, остается в очереди на обслуживание. В системах с потерями в такой ситуации требование покидает систему. Приме нительно к задачам дорожного строительства наиболее важны си стемы МО с ожиданием;
системы с приоритетом и системы без такового. При этом раз личают абсолютный и относительный приоритеты. В системах с аб
109