Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Ä -l [р-1, /.- 1 ]

~ ^	5 {	^	Cl"' '•PiаіП' '''Pi} + CiPiaiPi ~
m	1=1	[n, 1, - 1 [= 1
	k-\	[p-i,i, -n
	H S { £		c \n, t, oia [n, I, o i}) ■	(3.23)
	1 = 1	[й, 1 , —1 1 —	1

При получении выражения (3.23) представление ß[m] рассма

тривалось в соответствии с равенством (3.6), при этом для вычисления В[т_ц и /?( ц использовались равенства (3.7).

Если Hm R[n] — R > 0, то	в области 8M c 2 [Af], величина
іл]	условий 1 ) признака является ко
р, я 1 > 0 и при выполнении	условий 1 ) признака является ко

нечной. В этом случае на основании общего признака сходи мости ряд (Л) сходится.

Если же lim	= R < 0 , то	в области Üf;v) очевидно
	аі«+н	с[«+п
	а щ	J L
		с\п)

Согласно теореме 4 из § 1 получаем, что ряд (Л) расхо дится, если расходится ряд (3.22).

В случае сходимости ряда (Л)

	hm]	< а[т ]	<	'[ml
	а\п+Ц \			Д1 я+І] N
sup			inf (
	С[п+Ц %]	'		с[п] Сі«+Н « [ » 1 /
ß[ra] С [ л )			Q[m] \
				(3.24)

где ß(m, определяется соотношением (3.23).

Суммы второй и последней строки в выражении (3.23), взятые с их знаками, образуют остаточные члены рядов

1 °°. і, - 1 1

{

с [п, 1, О) а \ п , 1, 0] } ’

і = 1, 2,..., k — \

Ш, 1 ,- 1 1 = 1

кратность которых меньше k. Для оценки остатков этих ря дов могут использоваться как -неравенства (3.24), так и оценки, соответствующие другим достаточным признакам сходимости.

Пример. Рассмотрим ряд

У ----------	*-----------	( 1)
Я\|» LÂ	Л^дЛд (И, + Я, + Я,)®

120

Положим сл

= П\П2/г3.

Тогда

условие

1) признака выполня

ется,

так как, например,

для

ряда

(2)

( л і 4 е я 2 "Ь I ) 3

Пі,л2 = 1

при с

— я, + п2+ 1

выполняются условия сходимости этого

же признака: ряды

(3)

( л , +

2)*

’

( ^ 2

-f- 2

) 2

/І1

« 1

2 =

сходятся, ибо,

например,

для

первого

из

этих

рядов при

<Ч = «і + 2

lim ( сп -

сп

- ^ Л

)

lim

л; -Ь 3

> 0

;

оо \

щ+ 0 0

Ит

Г I

і±I.

(

Сп > щ ~ Спі +1,

л2 + 1

(«і. п2)

я,л

4 і1т

. n'.± f l+

4 > 0.

(Я|, Я2)

П 1 +

Л 2 + 3

/?1 + /Jj +

Условие 2) признака также

выполняется для ряда (1):

lim

Лі+. ^+ »Л

2 1

;{ +

(«і. л,, л,) (

ЯI+1 , rtj+1 , Я3 +І

а,ПіП2Пѣ

-У

■ lim

ПХП2П3(\

(пі + Яг 4- п3 )

\ = ^

л2 +

л3 +

З)3/

(«I . «2. п,)

( «

Таким образом, ряд (1) сходится.

Найдем оценку остатка

ряда

(1) при тх — т2 = т3 — т.

Так как для

функции

F(x, у,

z) = x y z (\

(•* + у + г)

(* +у + г + З)3

)

при л, у, z > 1 не выполняются необходимые условия суще ствования экстремума (например, Fx <. О при х, у, z > 1 ), то наибольшее и наименьшее значения последовательность

{п.хп2п3	(л ,	+ п 2 +	щ )3 \ \
{п.хп2п3	(Лі +	л 2 + Лз	+ З ) 3 / 1

121

принимает на границе области гласно неравенствам (3.24),

	О < «ототот <	{т 4- З)3
	О < «ототот <	3)3 - (от + 2)3)
	ттт " т [(т +	3)3 - (от + 2)3)

іЦт,, т, т). Поэтому, со

от—1 , от— 1

3	s	1
3	s	-	+
V	£J	(П{ + п2 + т)3	+
	л,, лг=2

от—1

+ 3

—-----b За'

За' ^ ,

(л, +

) 3

^ от^з) 3

от, от ^

от ;

от

(3/и

л,=2

где остатки

т—1, т—1

т ’ т

—<

(л, +

Я2 +

1)3

(Я, + п2 +

1)3

Я|, «2 = 2

«I, «2 = 2

S (я, + 2)3

оцениваются

по

той

же

схеме

соответственно

при с

= «і + п2+ 1

, сщ= «! + 2

а'т 4

«Er

(т + 3)2

’

V (/я + 2)3 (2/я + 5)

а'

< ----- <^L±^L_

т—I

4 (т + 3) (т + 4)

(т + п + 1)2

т' т

«=з

оо

(2т +

1)3 +

2 Ц

(я +

3)* ) ’

причем

(4)

—

(5)

(6)

1	< от+ 4	(7)
(я + З)2	(т + 3)з

Итак, неравенства (4) — (7) позволяют оценить остаток ря да (1 ).

В частности,

о < « 5 , 6 . 5 < 0 . 2 5 .

* Остатки ат и ат можно оценить и в соответствии с другими

признаками сходимости. Настоящий пример является лишь иллюстрацией рассматриваемого признака сходимости и соответствующей ему оценки остатков рядов для случаев k = 1, 2, 3.

122

3 . Кратный ряд (Л) с положительными членами схо дится, если можно подобрать такую последовательность положительных чисел с[п] для которой

)

{^С[л, 1

, 0

] а[п, 1 , 0 1 ^ °°}>

)

lim А

- 0 1 (с[л[ а\п\>+

+ А 1 0 ... 0

<с|л| а[п])

# =

> 0 .

[«]

Кратный ряд (Л) расходится, если

Ппі

0 1

+ ••• + А

1 0 -

Цл] а[п])

= R < О

[и]

> 1

и расходятся ряды (ЗЛ9).

Выберем

ряд (В) так, чтобы

bw = д0

... 0 1 (С|л]а[и|) +

•••

... о(С[«]а[л|)-

Тогда

до... 01 (с[л| й [я|) + •” + А10 ...

0 ( с [л] а |лі)

(3.25)

RІяі '

й|я1

|т - 1 , 1, - 1 |

|о т-1 , 1, - 1 |

S\:

С\л, 1, т\ а \п, 1, ml} -

6 Vi.

[л, 1, - 1 ]= 0

|л, 1, —1]=0

[р-і. 1 . - 1 1

і р - і . к - и

• P ia i«.

1. Pi}

—

C[n, 1. 0] a [n, 1, oi 1 )'

|n. 1 .

—

1 ] = 0

(3.26)

Если

lim /?(л] =

R > 0, то в

области

Ü[OT] cz Ö[/V, величина

ß|m] > 0

("К

1 ) признака

является ко

и при выполнении условий

нечной. В этом случае по общему признаку сходимости ряд

(Л) сходится.

Если же lim R.n, = R < 0, то					в	области 2,лг
	г „ і	1	"І
А	0 -	0 1 (	с \| « 1 a[n]>+	+ А	1 0	... 0	(С[Я] а1 п]) ^ Q
				а \ п \
Из этого	неравенства			следует, что, по крайней мере,
			А 0 ... 1	... 0 (С1 л) а[«і)			< 0 ,
				[«]

123

т. е.

a n ,...n i +l... nk		_________1________	1
a nl ...	...	cn, ... n ^+ l ... nk	Clh ... nl ...

и, согласно теореме 4 из § 1, ряд (Л) расходится, если рас ходятся ряды (3.19).

В случае, когда ряд (Л) сходится, неравенства (3.13) при обретают конкретный вид в силу соотношений (3.25), (3.26).

Суммы второго и четвертого слагаемых в выражении (3.26), взятые с их знаками, образуют остатки рядов

1,01 а \п, 1, 0] Ь

кратности k — \. Для оценки остатков этих рядов могут ис пользоваться оценки, соответствующие не только настоящему признаку сходимости.

Пример . Рассмотрим ряд

„„tix {п\+пі)(п1+ п2у

м с„ „ =

”‘"ä

00
£	£
Л,=-1
1 ) оо

„2	,	„2
Я ,	+	Я о
------------- .. Тогда
я, +		л2
		ОО
Q	II *-г
		л,=1 (Л. + I )3

ОО

Ё	1 öt и — V ,						оо.
Ё	1, Я2	1, Ид
я,=1		/г2=1
ІІШ (		^Л.+l, Пі						+	nlt Лд+ 1 \
ІІШ (		^Л.+l, Пі						+
іІГяа)				п,пг					ап1п1		'
= lim		2 ( » 1 +	»2	> t(”l +		П2 + l)3 -		(я, +		я2)3]	>
	(Я і, п,)		(Пі + Яг) («! + я2 + I) 3
> lim	4[(щ + я2 +		I)3— (я, +			л2)3]	(	л, +	«	-	з > о ,
(п^ін)	(яі + пг) (лі + пг +				В 3		№		)	-
так как		п\ +		п\ ^	(	Я, +	П2	\ 2
		п\ +		п\ ^	(	Я, +	П2	\ 2
			2			2		)

в силу выпуклости вниз функции f(x) — x2 для л > 0. Следо вательно, данный ряд сходится.

124

Найдем оценку остатка ряда при т1= т2 = т. Для этого*

при сп — п+ 1

для рядов 1

) находим

со

(от + 2)2

< и

(п + I)3 <

2 (от +

I)2

(2от + 3)(от +

1)3

п=т

т—

----1 ------ h 2

— -

’

(п+

от)3

(п++ 1)3

и= 1

*«,+1 , Яг

п=т

inf

( 2

‘'«j+l. n2

«1. ↔2 +1

fl U

«2+ 1

■)> ^

Q(m, т ) \

“ « , « 2

sup

( 2

сЛ, « 2

а«і+1 . «г

Д«|, «2

+ 1

* ' « 1 +1 , Л2

«,«г

«„ «2 + 1

а п,п,

S(m, т ) \

■sup

2 (л^ +

п\) [(«, +

л2 +

I)3 — (tit +

п2)Ц

(П-і 4- п2) (tiy + п2+ I) 3

Q(«г, т)

sup

6 (Wj +

л|) (я, +

п2 +

Ѳ)2

6 ,

0 <

ѳ <

а(«г, «г)

(Л| +

П2) (П! + «г + I)3

и на

основании соотношений (3.13),

(3.25),

(3.26)

т-i

і у і — 1

.-|-

6 (т + I)2 < <*тт<

(пп++

т)ъ

П=1

т —1

(от +

2)г

< - Ѵ

—

от)

(» +

3 (2 от + 1 ) (от + I) 3

В частности,

я=

0,006 < а6

6 < 0

,0 1

0 .

Замечания.

Нетрудно

убедиться

в том, что суще

ствуют и другие

аналоги

признака

Куммера.

В противопо

ложность одномерному случаю для кратных рядов возмож ности построения достаточных признаков сходимости на много богаче.

2) Доказанные признаки можно рассматривать как общие схемы получения достаточных признаков сходимости крат ных рядов с положительными членами. Сформулированные далее аналоги признака Даламбера являются иллюстрацией этого как наиболее простые признаки, соответствующие выбору с(л]= 1 . Дальнейшие построения могут быть сделаны,

если примем, например,

<?[„! = «1 -Я*

cm = nx\nnx...nk\nnk

125

3.2. А н а л о г и п р и з н а к а Д а л а м б е р а

1 .	Кратный			ряд	(А)	с	положительными
дится, если
				1 1 т	А 1 ..Л	а \п\	R > О,
и расходится,			если	I-«]	Я[л]
и расходится,			если
				Йт	ö[„]		R < 0 .
				[ЛІ	ö[„]
Если ряд (А)		сходится,			то на основании			(3.21)
2	(-іУ+^Цол. т\\						і=1	ш])
і=	1				< Ѵ і <		і=1
	4 - 1		а [л)		< Ѵ і <		inf
	4 - 1		а [л)
	su p	а,п.						й,[л)
	2 [/лі	а,п.					S 1т\	й,[л)
Пример.			Рассмотрим ряд
			ОО , 00 , оо
			£	arc sin (2~”1 ~'!!3“'1’).

Лі, я 2- л 3= 0

членами схо

(3.27)

( 1)

В нашем

случае

аЯрИ, Л2.«3

lim

а'Яр я2+1, я3

л,ПгПіП

аЛіЛ2Я3

(л „ л 2, л 3)

(Лі.

Я3)

Яі, «, «з+Х

Яі+1, я 2+1, я3

а/ 2 1

«Я2, Я+

ЯіЯЯ

л,я2я3

ап хп 2пъ

л,

а,

- 1

Яр Я4-^. Я4

flj + 1, я 2*4*1. ЛдЦ* 1

о,

а„

ЯіЯ2Я.з

'~ПХП2П3

и ряд (1) сходится. Найдем оценку остатка этого ряда, шолагая для простоты тк= т2 — т3= т.

Имеем

~ттт ~ а 00т 3 ” а ОтО “Р					а тОО	а Отт '		а тОт			а ттО
+ аттт= arc sin 3~m+ 2 arc sin 2_m — 2 arc sin (2~m3~'") —
		— arc sin 2~2m+ arc sin (2~2 m3_m)									(2)
			^ J __	j n \|		L 1	*» H	__	.		^ H
sup			^ J __	j n \|		цЯі-И,	П2, Щ	__			цЯр я2-Ц, я3
sup						anl n2 nz					aПуП%П3
2{m , m , m)		а Піпгп3	a			anl n2 nz			a		aПуП%П3
inf-		n 2 , n 3+ l +	a			2 1			a	Я і+ 1 , я 2, я 3+ 1 - +
inf-	Л ,,	n 2 , n 3+ l +	sup		П+ , Пъ + sup-					Я і+ 1 , я 2, я 3+ 1 - +
	a,Я1? fl%y я 3				aпхп2пъ						ап хп2п3
4- sup	аЯр Я2Ч~l t Лз-f 1		inf	g n,f1, Ла + 1, И з-И				__ J	__ 2 a rc s in 2 ~ m~ ‘
	aл,л2я3					Л ,Л 2Л 3					arc sin 2 ~ ”

1 2 6

arc sin (2~'“3~')			1	. 2	1	arc sin	(2 "г	23 *)	(3)
	arc sin 2~m		4		6	arc sin 2—"			(3)
	arc sin 2~m		4		6	arc sin 2—"
inf	4 Ш » ПгП2Пѣ	>	1 — sup■a/?! + !,			пъ n3	sup	a«„ « 2	+иЛз
S(/H, m, m)	anx 2%				a,			Я,
	anx 2%				/,/2«3			пхп2пь
— sup	anx, пъ «3+ l	+ inf		л,71 ,+ 1, Я2+1, «3 + inf - а7*1+1, «2 ,					«3 + 1 +
	апхпгпъ			а«1«2«3				апхпгпъ
а,П „ П 2 + 1 , «3 + 1			sup	/lj+ 1*	« 2 + 1 ,	«3 + 1			+
+ inf	а«I«2«3		sup	an,n23					+
	а«I«2«3			an,n23
+	arc sin 2~m~ 2		+ 2	arc sin (2—m-13-1)			2	'	(4)
	arc sin 2~m			arc sin 2~m			1 2	'

Чтобы убедиться в справедливости соотношений (3) и (4),. покажем, например, справедливость последнего слагаемого. Действительно, разлагая функцию

f(x, у, z)

в ряд по степеням t = 2 вательность

arc sin (2~Х~У—2 3—г—■)

arc sin (2~Х-У 3 ~ г)

* J’3 г, убеждаемся, что последо

(	д«.+ і, «г+і, «,+і	] =	I	arc sin(2	п1 щ 23	*)	)
t	ö«,«2«3	1	1	arc sin (2~Пі~"2 З- "3)			}
возрастает	при изменении		каждого		из индексов		пи пъ п3


в отдельности.		Поэтому		наибольшее и наименьшее			свои
значения она принимает на				границе области S (т, т, т).
Итак,	на основании		неравенств		(3.27)	и соотношений
(2) —•(4)	оценка	остатка	ряда (1) определена			для всех яг >-2,
так как только		при т~> 2		правые	части	неравенств	(3) и

(4)положительны.

Врезультате вычислений получаем

0,3926 < <х5і 5 в < 0,3942.

2. Кратный ряд (Л) с положительными членами схо дится, если

О	{И+„,1.0]<00}
2 ) Hin	11	—	Я > 0 ,
[«I	\	а [п]
и расходится, если
йпГ (1 —		^± Д _ ] = £ < о.
V		а\п,	)

127

В случае, если ряд (Л) сходится, согласно оценке (3.24)>

		ß[ml			ß [m \|				(3.28)
			(л+Ц	V ] ''С					(3.28)
				V ] ''С			•а [ л + Ц
		in!		1 -	s u p		•а [ л + Ц
где	ß[m]		ö\|H		2(ml		Я[я1
где			k —X	\| я і , и - 1 ]
			s -		%	.1.	mjj	+ а [т\
			»-I	[Я . /, - Ц = 1
	k — \	[oo, J, - Ц			k - \		[m-1, i, -1]
+	S s	{	£	am, i, Ol) —	£	s	{	£	a{n. /. 0 1 } •
	/«=1	(л , —11=1			/=1		(л , / , —11=1
П рим ер.		Рассмотрим ряд
		oo, 0 0 , со		(Пі + пг + /г3 ) 8					(1)
			s	(Пі + пг + /г3 ) 8
			s	nt! -f- я2! + я3! — 2
		л„л2,л3 = - 0
Так как	/г2>лз равнозначны, то при							исследовании сходц
мости ряда (1		) можно ограничиться				рассмотрением рядов
				00,00	(И\| + я2			+ 1	.
		Е(я. + I		) 5	(И\| + я2			+ 1	)
		Е(я. + I		п„ я2= 0	П] 1 -f“ я2 1 —1
		Я\|-=0		п„ я2= 0

Первый из этих рядов сходится при любом фиксированном

так

как

Um fl — ^ iiL ] =

lim

п, + 2 \ s

= 1

> 0.

П[ + 1 у

+ 1

Л ,-^оо \

аПі

]

я . - о о

Второй ряд сходится, так как сходится первый ряд и

Ііш

1 -

д я, + 1, я2+1

(Л„ я2)

ал ,я 2

Г і - ( ■ *

+ *

+ 3 Ѵ _____ п,1 + л2! — 1

> 0.

(я„ я,) L

V л, + п3+ 1 /

(л, +

1)! +

(я2 +

1)! ■ т ] - 1

Наконец,

заданный ряд сходится,

так

как

сходится

второй

ряд и

lim

f l -----=

> 0 .

( я ,, я 2, я3) (

апіпгпі

}

Найдем оценку остатка ряда (1) при т1= т2 — тг = т. Имеем

in	a«,+i.n2+i.2i±L.. =0	(2)
й(яг, т, т)	й л,л2я3

.128

sup	^«i+l» rtj+l* «з+І						5	1	(3>
Э(/и, m , /л)		a «і«2Лз					m + 1
		/та—], *»—3
	3	= 4	V	„	(W, +	n2 +	my
	rmm, m	*'	/ 1	„	, ,	, .	. 0
			лшш	Л\|! -f* ^2 H“ w! —“•2
			n2—l
m—1	i * ± > L \ _ + _				^	+ 3 v	_ + э .
	i * ± > L \ _ + _				^	+ 3 v	_ + э .		(4>
n,-l	! + 2«! — 2		3/w! — 2			ш' m
n,-l
где остатки
			,		m — 1, m — 1			.
am, m ==		(nt + n2)				ѴЧ	(ni + пг)
am, m ==		= 1 Л(! -f*	^2 *"—^		Пj, «2 = 1		-I*	/?2 - “—1
	«I*а«2	= 1 Л(! -f*	^2 *"—^		Пj, «2 = 1		-I*	/?2 - “—1
			0 0		„ 5
					« 1

a'« =

л,!

wi=m

оцениваем с помощью

неравенств (3.28) *}

m— 1

("i + ” )

(2д а >8

(Д, +

I)5

+ 2

n,!

Z j

W|! +

ml — 1 +

2да! — 1

rt1 * = » 2

«г— 1

«,■»«*

(да + 1)8+1

(л, -bm)8___J

(2/w)8

(да + 1)8+1 — (от + 3)8

L~ 2

л,! + да!—1

2/nl — 1

-[’

«j* » 2

(«, + l) 8

«i«»m

Лі*

m w . .

------•< a

------

) 8 “

да — (да + l

(да + l) 8

(n‘ + 1

) 8

(/n + l) 8

m (w +

l)8

да!

I j

n,!

да!

д а (m

+ l ) 8 —

( m +

2 ) 8

(5>*

(6)

(7>

Согласно соотношениям (2 ) — (7), неравенства (3.28) опре

деляют оценку остатка ряда		(1 ) для	всех т,	для	которых
т (т + 1 ) — (т + З) 8	> 0 , тг — (т + I) 8 - 1			> 0	,
(т + 1 ) 8 + 1 - (т + З) 8 > 0	,	т (т +	I) 8 - (/» + 2 ) 8		> 0 .
*) См. сноску на стр. 122.
Д-198_9					129

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1813 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ