книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

имеет смысл при любом

и > а. Несобственный

интеграл

первого рода определяется как предел

оо

U

(1 )

[f{t) dt = lim [f(t) dt.

V

o*J

a

a

Ь

и

j / ( 0

dt = limJ/ ( 0 dt

(2 )

Для краткости изложения

два несобственных

интеграла

(1 ) и (2 ) объединим в одну формулу

$ fit) dt =

lim I fit) dt,

(2.1)

а

U~¥b

Известно,

что если

функция

fit) > 0

в

области

интегри­

рования, то

несобственный интеграл (2

.1

)

сходится

в том и

только в том случае,

когда

интеграл

U

как

функция

J /(/) dt,

а

от и, ограничен в области интегрирования [а,' Ь).

Для установления сходимости и оценки интеграла (2.1)

выберем вспомогательный интеграл

J? it) dt

( 2.2)

а

от положительной функции <р( 0

и введем

обозначения

В іх) =

[у Ц) dt

{ x > ä ) , R — lim1 ? (

0

“

7

;

/ (

0

R = lim

, Rix) = inf

^

, R ix) =

sup

^ .

t~ö f (t)

—

x< t< b

f

( 0

J:<t<b

f (t)

a fA

Если существует предел отношения функций

при t —* Ь,

то R = R = R.

Интегрируя по переменной t

от t — х до t = b неравенства

R ( x ) f ( t ) <^ i t ) <Ri x ) f i t )

іх>а),

получаем

R (х) J f(t) d t < B i x ) < R ix) I fit) dt.

(2.3)

X

X

? ^ - < [ / ( / ) Л

<

-

(2.4)

R (л) J

* (*)

X

~~

где

в (X) = U (0 dt, R (.X) = sup

, /? (х) =

inf

> 0.

2.1. Аналог признака Куммера

Если для вспомогательного интеграла (2.2) примем 9

{t)dt —

— d\ f (t) g (/!)],

то получим признак сходимости интеграла

(2.1), аналогичный признаку Куммера для сходимости

рядов

(о выборе функции g(t) см. в п. 2.5).

П р и з н а к

К. Несобственный интеграл (2.1) от положи­

ПтШ 1 л Ж = Я > 0

(2.5)

-м / ( 0

Г— .

(2.7)

j £

(

0

X

Доказательство.

Из

соотношения

(2.5)

следует,

что

в некотором интервале (х, Ь), х > а U{t)g(t)Y> о

и

В(х) == lim \d(f(t)g(t)) = lim /(0 g-(0 — / (*)£(■*) > О,

и - * Ь

J

t-+-b

причем

lim/(0g'(0 < 0.

Следовательно,

0 < 5 ( х ) < о о

и по

t “>ь

несобственный

интеграл

(2 .1 )

общему признаку сходимости

сходится. Здесь

существование

В(х) следует

изUограничен-

пости монотонно

возрастающей

функции

от

и J d{f{t)g(t)).

Далее, из

условия

(2.6)

X

следует f(t)g{t) —/ (x)g(x) < 0

при x < t

< b. Поэтому

b

b

и интеграл (2.1) расходится, если расходится интеграл

(2.7)

В случае

сходимости интеграла (2.1), согласно (2.4), имеем

ь

R

(x)

[И т/ (0

е ( 0

—fix) g (*)] < (fit) dt <

t-+b

J

X

R

(x)

llim/ ( 0 £ (

0

—f(x)g(x)],

(2 .8 )

t-+b

где

R {x) =

sup

Ft (x) = inf

( f ( Q g ( t ) Y

> 0 .

X

f ( t )

—

.r<%l<b

f(0

Из признака К

при

различных

предположениях относи­

тельно функции g(t)

получаются соответствующие следствия.

Так, например, при g(t) = t — b

имеем следующий

признак.

»-*•*

/(О

по признаку Р из

Для сходящегося интеграла

неравенств

(2 .8 ) получим оценку

і + /?<■*)

J

i + £(jt)

(2.9)

г д е

Я / ч

su p

(t — b)f ' (t )

,

г, ,

ч

. '

( t - b ) f ' ( t )

^

„

/?(*) =

5— 77~

/?(-*)*= inf

■■■У'- w

>

- 1 .

.*«<*

/ ( 0

л</<*

/ (О

Пример.

Интеграл

/(X. а

)г

=

—

(0 <

1 )

К V l - t

сходится по признаку

Р и согласно формуле (2.9) при

/

( 0

=

,

ft= l

и а>0

имеем

у п г ,

■=

Зл“ 3

'<Г

<я ^

<Г

За:“ У ( 1 - х)2

У(Г

■-У>(Ѵ7

>

2 + 3«(l— j )

*

7~ V'У1 l - <

В частности, будем иметь

0,3163 <

I (0,9;

0,2) <

0,3273,

0,0695 < /(0,99;

0,2) < 0,0697.

2.3. А н а л о г

п р и з н а к а Д а л а м б е р а

Наиболее простой случай имеем при g(t)= — 1

. Тогда из

признака К следует

Пр и з н а к

Д. Несобственный интеграл

]f(t)dt

( 2. 10)

R(x) = sup:

Г

{t), R (X) =

inf

(0

> 0, lim / ( 0 = 0.

t>*

fit)

-“

t>X

I

t-*<x>

Пр имер 1.

Пусть дан интеграл

lim

= Hm ■..........

- 1 ------ = — 1 < О,

X

Пр и ме р

2. Для интеграла

°°

оо

[1

],

х > 2 )

/(*)==

^Г (t) =^e~ss*~lds — гамма-функция

2

X

0

находим

fit) =

_ r jt) s

- ф ( 0 , lim ф (/) — оо

fit)

Г (t)

t —►оо

и согласно предельному признаку Д интеграл

сходится. Так

как функция ty(t)

при

2

монотонно возрастает

[1

2

], то на

основании (2

.1 1 ) будем

иметь

С другой стороны, полагая cp(t) =

— / ' (t + 1 ) =

Г' it +

п

— ----- соглас-

но (2.4), находим нижнюю оценку интеграла.

Г2 (t +

1)

Окончательно

имеем

1

1

( . 0

2).

Г 0 *Ж* + 1 ) < І(х) <

Г(дс)Ф(л)

’ —аф(лг)

№ ) = |ф (/)Л =

--------- < оо При а < 1 ,

ІП а

х

оо

при а > 1

dt <

R (X ) In а

R (X ) In а

где

R{x) = sup Y (О аФ( 0

R(x) = inf ¥ М ^ 2 _ > 0

1>х

/(О

-

1>х f i t )

Пример. Для

интеграла

JV<

(JC> 0 )

а = т < 1

, оценим интеграл. Функция

Ф' и) я'*' w

4"

— =

t

монотонно

убывает

при t y j / e .

Поэтому

будем

иметь

следующую

оценку интеграла

•ft

‘‘dt < —2 2

- (x>Ve, 0 < г < 1 ).

ѵ2

ln X

X ln X

2.5.

П р и з н а к и с х о д и м о с т и ,

в ы т е к а ю щ и е и з

^

= « ( 0 0 + 0 ( 1 ) ) ,( - ^ у

= а + 0(1) (* —оо),

(2.12)

a(t) < 0 (t > х). Тогда справедлив следующий признак

схо­

Пр и з н а к 1. Если а + 1 > 0,

то интеграл

(2.10)

дится; если же а И- 1 < 0 , то интеграл

(2 .1 0 )

расходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В признаке К примем

g(t)

1

Тогда

« ( 0

в силу (2

.1 2 )

(/ (0 g(0

)' = а + 1 + 0

(1 ) (t

оо),

f i t )

и при а + 1 > 0

интеграл (2.10) сходится. Если же а 4- 1 < О,

то интеграл (2 .

1 0 ) расходится,

так как расходится интеграл

оо

оо

х

т

- f i x )

<

j

/(/)d t <

- f i x )

(2.13)

а ( х ) R (Х)

а (Х) R

ІХ)

где

■ 5 w - g ä Ь і з е т л >

Здесь имеет место

lim

= 0 .

/ - + • 0 0

а (t)

Пр и м е р

1. Интеграл

Je

е

dt (у > 0 )

сходится в соответствии с признаком 1 , так как

Г it)

*

/ н і У — в-* 0

(1 ) (t—*оо)

J L ( / i £ ) V =

1

+

,-

R (л:) = sup ( 1 + е~т<) =

1 + е~тх R (х) = inf ( 1 + е-1') = 1

/>*

и, согласно (2.13), получаем

-Лх

Лх

е______

,т<dt < -— (х ;> О, т > 0 ).

функциями можно выбрать ctx,

c\nt,

—у — , ce^

, c f e?i, для

которых выполняются условия (2 .1 2 ).

Например,

при а (t) = ctx получаем

• ^ = ^

ха

+ о(і)) (/-> ~ )

и интеграл (2

.1 0 ) сходится, если с < 0

, X+

1

> 0

или с + 1

< 0 ,

Xч- 1

===0 , и расходится в одном из трех случаев:

с > 0, X— любое;

Xч-1 < 0, с — любое-,

с + 1

> О, X-j- 1

= 0 .

Пр и ме р

2. Рассмотрим интеграл

/ W - J

dt

Здесь

KFTT

/' (О

- J -

(1+0(1))

(/- со ),

/(О

Х+ 1=

0,

с +

1= _1 <

о,

условия сходимости выполнены и, согласно (2.13),

2х

^

л ^

2 х ( х 2 + 1)

<

/ (л;) <

( ^ - 1 )>AX (X2 +

) (*>

1

).

Ѵ х ( х 2 + 1)

1

Например, имеем

0,877 < /(5 ) <0,950,

0,6294 </(10) < 0,6421,

0,2828 </(50) <0,2830.

Пр и з н а к

2. Если в

интеграле

(2.10)

подынтегральная

функция f{t) удовлетворяет условиям

( 1

+ o(D),

( - ^ - Y = f

(i + o(i))

(^ o o ),

/ (0

*

<

V“ ( 0 /

t

а ( 0 < 0 ( / > * ) ,

то интеграл

сходится

при

а + 1 > 0

и

расходится

при

а + 1

< 0 .

Доказательство признака проводится с помощью при-

знака

К при g(t) =

~ ~ .