книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

В частности, при 8 = 0

вычисляем *

0.133 < а 6,6,6< 0,155.

3. Кратный ряд (А) с положительными членами схо­

дится, если

!)

{ S V i,o ]< °°}

lim

f l -

- л'+і Л =

і , lim f\ l -

“ л, /

= i .

Л.-^оо

(_

« я , /

4

3

Найдем оценку

остатка ряда

(1), полагая тх = т2 — т.

Находим

— а7 !,, /?2+ 1

sup

[ 2

аП1+ 1, Пъ

2 (ОТ, ОТ)

а,ПХП2

аn,n2

Итак, соотношения

(3.13),

(3.29), (3.30) и (3) —(7) реали­

зуют оценку остатка

ряда (1 ).

В частности,

6 < 6,357.

6,324 < а6

3.3. А н а л о г

а л г е б р а и ч е с к о г о п р и з н а к а

К о ш и

Кратный ряд (А) с положительными членами сходится,

если существуют такие о <

q-t <

1 , і = 1

,

2 ,..., k, что

Иш

<?l‘-

Чь

R> о,

и расходится, если по крайней мере для одного q, > 1

__

п'

nk

_

Qi

■■■я *

lim ------------ *=R < °°-

i«i

a,,

ряда (В):

Определим

общий член

> 1 '

q"‘ ... qnk ,

(qt >

0

, 7 = 1 ,

2

,... ,

k).

Тогда

n x

nk

R\n\

Ч* -

qk

a \ n

\

См. также

[32],

[2].

9*

131

( l - < 7.) ...(1 -

9 Ä)

^ > 1 , і = 1 , 2

,..., k.

оо,

если хотя

бы одно

Если

теперь

lim_/?!n, =

R > 0,

то ß[m] > 0 в области

ü(m, cz

сг^д,) и

при 0

I« 1

г = 1 , 2 ,..., k

является конечной

<<7 ( < 1 ,

смотренного

признака,

то

<7? •••<?£[1

- ( ! - < ■ ) •••(!-<"*)]

< а,тI

П.

'*

(1 — <7і) - О

— Як)

sup-

Ѵ "‘ дь

я

9|т]

<

«? - 9®fi-

а

а

- ? ”*)]

(3.31)

(1 —9і) ... ( 1

—9Л inf

In]

* S[m]

В частном

случае, если

qt = q,

і = 1, 2,...,

k, убеждаемся

в справедливости следующего

признака:

Кратный ряд (Л) с положительными

членами сходится,

если

lim

V а[п] =

q < 1 ,

(я = я, +

. . . +

/ift),

І«і

и расходится,

если

оо, оо

___ Ьпх

\ п‘+"’

/

h tu

\/*i+/*2

(

-------,

(*,

С, r f

> l .

\

сп

J

S V

сл, + dn2

п „ яг=1

Здесь

lim я‘+Y ая -

=

lim

bn.

СП 1 + rf/Jj

(n„ ns)

1 s

(п„ я,)

О <

Ьпл

<

b_

спх+ dn2

с

Таким образом, ряд

сходится, если

b < с.

Найдем оценку остатка

ряда при т1= т2 — т. Последо­

вательность

р

_

(

сп>+ rfna

\ Пі+Пг

к,г^

V

Ьпх

)

£ f\n]

(F)

еходится, если сходится

интеграл

IP= lF \t\d \t]

и выполняется одно из условий

[«+и

—

7 7

Т

f

=

(3-32)

I« 1

/

[я]

J

["1

lim -Iя - -11- = R' > 0.

(3.33)

1ST

f W

“

Ряд (F) расходится, если расходится интеграл IF и

__

[«+11

_

lim - f -

Г Flt]d[t] = R < со

(3.34)

[«1

/ [ л]

J

[«1

lim

f

= R' <

oo.

(3.35)

M

[n]

Определим ряд (В)

соотношением (3.16), полагая

і« і

] F\t)d\t\,

ІТ

где [Y] — некоторые неотрицательные числа.

найдем

Тогда, в соответствии с равенствами (3.6), (3.11),

Ш+ 1 1

л - і - 7 5 Г І '

W

[m]

(Pi

(3.36)

ß|,n| = h m ( j F H ^ [ ^ ] -

j F\t\d\t})

[ p]

fO]

№1

[л+ 11

~ 7 ”

< тут

Г

F\t\<1[t\ < -£ & -.

(3.37)

f { n )

f i n ] J

f [ n ]

расходится,

и обратно

[1 0 ],

[2 0 ].

признаку ряда (F)

Для оценки остатка

сходящегося

по

в соответствии с неравенствами (3.13)

получаем

іѴ і

<

<

?[т]

(3.38)

|л + 1)

Ш+Ц

SUP , ,1 1

F [ t\ d \t}

inf , r1

,

J

F[t)d \t]

Цті / [л]

(«1

aim] f[n)

\n\

[3[о т ]

< rm <

hm)

(3.39)

F[n]

inf

F [ n + 1]

’

su p *

f [ n ]

2[m]

f [ n ]

2[m]

где ß[OTj определяется соотношением (3.36).

Пример. Рассмотрим ряд

1

L i

(іі\

+ n \ f 2

Л „ « 2 = 1

Положим

F(tx, t2) = (tx + t2)~3.

Тогда

интеграл

IF схо­

дится и

Ит

—-

f

t

F(tu t2)dtxdt2 =

(n

Я 2)

f)

n,

J

Л ,, Пч) f

« 2

+ nip3'2

=

lim

( >

* 1

(nl +

n2) (nl +

n2 +

1) (Я1+ n2 +

2)

(Я,, п2)

>

lim

(” l +

«г)3_________________ „ 1

> 0 .

2 V

2 (л„ л2)

(n t +

л г) (л і +

л 2 +

1) ( « 1

+

«2 +

2)

2 К 2*

Следовательно, данный ряд сходится. Найдем оценку

остатка

ряда:

р

=

±

(

------—

+ ■

1

« і

1

— ) .

2

V

rrii + 1

т2+ 1

т * 22

», + 1 п2+\

+■Я /

i n f

_

J

—

-

I

Г

/ ? ( / „

t2) d t xdt2 >

2(/л„ /л2)

/ ( П ц П 2)

J

J

Л2

^ inf

_________ (яI + Я2

) 2 __________

1

_____ (*” + І) 2

2 Ѵ ‘2 (пі + л3 + 1 ) ( л, + л2 + 2)

2 У Т

(ш + 2) ( т + 3)

(.т = тіп(ті, т2)).

Лі+1 /І2 +1

sup

1

-

I

і

F{tu

t2)dtxdt2<

в(т„ тг) f (П„

П2)

J

J

л,

л2

<

sup

(Я! + « 2 ) 2

П 2 +

2)

= 1

2 (л;,, яг2) (Wi

+ Я2 +

1) ( « 1

+

и неравенства (3.39) принимают вид

+-

1

- i — )

2 \

Ш\ +

т2+

1

1

«гЧ

+

m 2 J

j/2 " ( «

+ 2) (m +

3)/

/И,и,

1I

+

ш2

I

(/И + l) 2

\

+ 1

+ 1

mt + m2 .

(/« =

m i« (mx,2)

1 ' v

' д [<]

[«ч-il

lim —

- I' f\t\d \t\ — R > 0,

(3.40)

-ВТ Я » 1

,J

(3,37) при F [t\= f[t\, так как при этом

0 < /? < R < 1 < оо.

Пример.

Рассмотрим ряд

Е

_______1 _______

{а, b,

с, s > 0 ).

(ал, + Ьп2 4- л3 + c)s

jjm

/ (Яі + 1

>Лг + 1

. пг + 1 )

(я„лг, л,)

/(Пц л2,

л3)

lim

алі 4- ftna + п3 + с______

1 > 0,

(л, +

1) 4- Ь (лз + 1) +

л3 -[-1 + с •)'

( Л и

Яг. Л ,) ь

и условие

(3.40)

выполнено.

Следовательно, ряд сходится

при 0 3

и расходится при s < 3.

Используя

неравенства

(3.39)

при

—

найдем

оценку остатка ряда при s > 3.

Имеем

'ä.

1 _

1

1

. — {(«ОТ, 4- Ьгщ + от, 4- с)®”*

т,. »л,, ///

і — 1

s — 2

s— 3

аб

(дот, -+ /ш2

4 - с)3"'

-

{атх + т3 + с)3 9

(Ьт2 + щ +

с)3 9

і (дот, 4- с)

3

- 9 4 - (іот2

4- c)3~s 4- (от3

4- с)3-9}.

int

/(я, 4-1.

я2 4- 1>

яз 4-1)

_

-

■2 (//1 „/Л,. Ч1 8)

-

/(я,,

я2. «з)

ЬМ2 + С

—min

апі\

ami 4" с

) ’

(

'

& / / ? 2

{ (•:

5'

(

pmз 4- с

ч Шо “Ь а + Л+ с + г)}

и оценка остатка данного ряда найдена.

При а — 0,5: b = 0,75; с =

1,25; s — 4

0,0068 <

rI5i і5( 1 5

< 0,0083.

3

Пусть положительная функция /

[fj убывает к нулю

при

возрастании

каждого

из

[*)

(<, > 0

,

/ == 1 ,

2 ......, k)

в отдельности-

и интеграл if являются

сопряженными,

Тогда ряд

(F)

из

переменных

[(]

в отдельности

положительной

функции

f\t\

необходимо

требует

сходимости

интегралов

||

/|л

1 ,

.с| й\т,

1 .

- 1 1

при любых фиксированных

х, > 0,

і — 1 , 2...... к.

А

это озна­

чает. что

сходятся

ряды

!£ /!«•

I.

0 1

J

Поэтому

из неравенств

(3.4-1 >,

(3.42)

получаем

справедли­

вость утверждения.

( 1)

Очевидно интеграл

сходится при 8 > 3 и

расходится

при ? < 3.

Следовательно,

и ряд сходится при

8 > 3 и рас­

ходится при 8

< 3.

Найдем

оценку

остатка

ряда в предположении 8 > 3 и

щ = тч=- т%=

т. В

силу равнозначности пи /г2.

mmm == з

V

■)

(п\ +

<>

п\ + m2)'

(2)

г’

<1

1

1

1

/

2

5)5 - 2

1

1)6 - 2

4-

т 4-

4

ь_ ]

$

(m^ +

(2m 3 +

m—1

! ___ «

ѴЧ

____«і

+ 1 )°

(2

w2

+ l) 5

-i- 2

1

(3)

Z J

(n'l +

m2

(nf +

5)*

я,=з

nt—m

f

^

—

■- .

-

■■ |_ -■-

J- 2

(4)

s

m

2

? — 1

(w* + 2 )

6 — 1

(m2

) 5

nx

^

j_

1

_____1 _____

m

(5)

(n\ +

5)5 ^

7 '

Я— 1

'

(m- -

5>5 1

^

(m3 +

5)5 '

(i,=m

Соотношения

(2) —(5)

определяют

(оценку

(3.42)

остатки

ряда (1 ).

при 0 = 3,5

В частности,

0,022 <

г4

4і 4

< 0,038.

Если же

воспользуемся

оценкой

(3,39)

при

F \t\~ f\t], го

найдем

0,022 <

r4

( t < 0,030.

3.5. Дифференциальный признак

Пусть

P\t\ — положительная

функция

для

t, > О,

і = 1 , 2 ,...,

k,

и функции

Р[(] и

— з_.—:_і непрерывны и убы­

вают к нулю но каждому из [(] в отдельности.

Тогда ряд

(F) с положительными кленами сходится, если

Um

( - 1

)*

dkF jn +

11

О <

С <

OG.

f[n]

a L/]

[И]

Выберем

ряд

(В)

согласно

равенству

(3.16),

положив

г[л] = /?[«],

где

F[t\ — функция с требуемыми

по признаку

свойствами.

На

основании

соотношений (3.11),

(3.18) полу­

чаем