книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов
.pdfДля остатка |
ряда {/м |
получаем |
оценку |
|
|||
• hm] ____ _ |
< г ^ _______ Ц|т]_______ |
(3.44) |
|||||
0 ,T ( - l) fe |
d*F[n) |
" |
W"* |
(-p * |
_a»F[n+ Ц |
||
|
|||||||
<2 I">] /[n] |
d \t\ |
|
Щт] |
/['*! |
d[f) |
|
|
где ${ml находится согласно равенству (3.43).
Как и признаки п. 3.1., настоящий признак при различном выборе функции F[t\ можно рассматривать как общую схему для получения конкретных достаточных признаков сходимости с соответствующими оценками для остатков рядов. При этом для некоторых из ранее рассмотренных признаков можно сформулировать соответствующие приз
наки. Так, при F[t\ =/[*]g[/], |
где g{t) — произвольная поло |
|||
жительная функция, такая, что F[t\ удовлетворяет |
условиям |
|||
признака, получаем признак, |
сходный с аналогами |
признака |
||
Куммера. Положив же F\t\ = /(<pj (*,),..., |
?*(/*)), где *,(/,)££. |
|||
' = 1, 2,,,. |
k (см. п. 3.7), а |
функция |
F[t\ удовлетворяет |
|
условиям |
признака, получаем |
признак, |
сходный с аналогами |
|
признака |
Ермакова, |
|
|
|
Пример. Пусть дан ряд
Для функции F(tv t2) = (t\ 4-1\ -f l)“1. tj. |
t2> 0 выполнены |
||
все условия |
признака и |
|
|
|
lim --------- |
d2F(«! ■+■i, п2-t- i) |
|
|
dtfdt? |
|
|
|
<>rt. пг) 1 ('>!• п з) |
|
|
Следовательно, ряд сходится |
оценкѵ остатка |
||
Согласно |
неравенствам |
(3.44), находим |
|
ряда |
|
|
|
В частности,
0,0037 < гЬ7< 0.0082
140
3.6. А н а л о г п р и з н а к а П р и н с г е й м а
Знакоположительный, ряд
1°°]
2 т
IлЫ
сходится, если существуют такие 0 < X. < со, і= \, 2, кто
|
Нш («1+ 1)*‘И |
... (n k + l) Xft+1 f\n\ = |
с, 0 < |
с < оо. |
||||
|
І" 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Если ряд (Fx) сходится, для оценки его остатка |
имеем |
|||||||
|
|
Р[Ш] |
inf «^l+ 1 ... n\k+l f[n\ < |
r(m| < |
|
|||
|
|
|
S(ml |
|
|
|
|
|
< |
P|m| |
|
L іЧХ, + |
1 |
|
V 1 |
/■[«], |
|
X, ... >./, |
sup(«! + l ) ‘ |
|
...(«* + 1 )* |
|
||||
|
Slm |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'[m] |
Wi |
|
-f ...+ /л** — ... |
|
||
|
+ ( - 1 |
)W 1‘ ... mk^ - 1+ ... + ( - |
l)kmTXl...mkh + |
|||||
4- (-1)*+W |
‘ - n C k . |
|
|
|
|
|
||
Этот признак является следствием признака 3.5 при |
||||||||
|
/Д*] = |
^ >ч ... tk k, |
0 < X,. < со, |
і = |
1, 2,..., к. |
|||
Пример. |
Дан ряд |
|
|
|
|
|
||
(/Y>
■, k,
(3.45)
|
|
|
О О , |
О О , |
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
^ |
|
|
|
л |
|
|
|
|
|
„ |
|
2 »*з= |
, |
пі п2 пз |
g |
( л , |
+ |
1 ) Ѵ ( п 2 + |
1) («3 |
+ |
1) |
||||
|
|
П |
П |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj = |
/?, |
|
Х2 = |
s |
|
— , |
х з = |
t |
— |
|
|
|||
Шп |
(л, + |
1 ) р + 1 |
(л2 |
+ |
1 |
) |
2 |
(«з + 1 ) + 2 /(л „ |
п2, Лз) = |
||||||||
(я„ ns, п3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ 1)Х |
||
|
|
|
|
|
|
↔ 1 |
|
/ |
\ |
л2 |
/ |
\ |
«з |
/ |
|
|
|
X |
К |
( « |
2 |
+ |
1 |
) ( |
Я |
3 + |
1 ) |
t g |
--------------------------------- |
|
----------- |
|
-------------- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(И1+ І)V |
(П2+ 1)(Л3+ 1) |
|||||
141
Таким |
образом, при р > 0, |
s> - j , t > -і- |
данный ряд схо |
||
дится. |
|
|
|
|
|
Последовательность |
чисел |
|
|
|
|
|
/ я, +1 у / п2+ 1 у / я, + і у х |
|
|||
|
\ пх |
J \ п2 |
/ \ п3 |
J |
|
X ["(«, |
+ 1 )К (« 2 + |
1)(Я3 + |
1) tg ------------- ■— |
.......................' |
|
t- |
|
|
(пІ + 1 ) |
(П2+ И (п3+ 1 ) - |
|
не возрастает при изменении каждого из пи пъ п3, так как последовательности, стоящие в скобках, монотонно убы вают.
С другой стороны, последовательность чисел
п{ Ѵ^ЧЧ tg ---------- -------------------
|
|
|
|
(Л[ + |
1) |
(п2 + |
1) («3 + |
1) |
|
|
не убывает при изменении каждого |
из пи |
п2, п3. Поэтому |
||||||||
наибольшее значение первая |
последовательность и наимень |
|||||||||
шее значение вторая последовательность принимают |
на гра |
|||||||||
нице области |
2 |
(/ц,, т2, т3). |
|
Согласно сделанным |
замеча |
|||||
ниям, для |
конкретных |
значений / J > 0 |
, s > - j , |
теперь |
||||||
нетрудно |
найти |
оценку остатка |
рассматриваемого |
ряда. |
||||||
В самом |
деле, |
если, |
например, р — 2, s = / = -j; /я, = т 2 = |
|||||||
= т3 = т, |
то |
согласно |
оценке |
(3.45), |
|
|
|
|||
\ |
т tg |
|
(3т~2- |
3/и~ 4 |
+ т~6) < |
гда> т< |
|
|||
< - -Л г tg — z= = .(3пГ2- 3т -4 + т~6).
8У т 2 У2(те + 1 )
Вчастности,
0,0059 < г5і5>5 |
< 0,0096. |
3.7. П р и з н а к и с х о д и м о с т и , |
о с н о в а н н ы е н а т е о р и и |
с о п р я ж е н и я р я д о в
Функцию q(t) назовем функцией класса L{q(t)(^L), если она положительна, непрерывно дифференцируема и возра стает к бесконечности при zf—>со.
Функцию рЩ |
назовем функцией |
класса К (p[t]^K ), |
|
если она положительна, непрерывна |
в некоторой |
области |
|
2 [у] и убывает к |
нулю при возрастании каждой из |
перемен |
|
ных [*] в отдельности. |
|
|
|
142
Т е о р е м а . |
Пусть F\t\ = 8І (^ ) |
... о* (tk) }(8j ( / , ) , . . . , ok(tk)) и |
№ £ K , F\t\ |
K. «,•(*,■) ££, i = 1, |
2 ,..., k. |
Тогда ряды- |
|
|
|
S/l«J. |
(3.46) |
являются сопряженными, m. e. они одновременно сходятся или расходятся.
Справедливость теоремы немедленно следует из интег рального признака 3 и сопряженности интегралов
\ m d [ t \ , \F{t}d\t}.
Таким образом, любой признак сходимости, примененный ко второму ряду (3.46), является признаком сходимости для первого, исходного ряда. Например, выбрав функции ЗД^)^/.,
(è == 1 , 2 ,..., ft) так, что 8 ,(л, + 1) = тД З Д л «)), 3Дчг) =/?,., и
применяя аналоги признака Даламбера ко второму сопря женному ряду, получим соответствующие аналоги признаков Ермакова.
Сформулируем, в частности,
Пр и з н а к |
Е2. |
Пусть |
|
F[t\£K тДЪ)£Ь, |
||
1= 1 , 2,..., |
к. |
Тогда |
ряд (F) |
с положительными членами |
||
сходится, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
[ Е / [ я , 1, |
о] < |
оо} |
|
2) |
Ііш |
r'i(/M--TfeOPft)/(Yi(/,i)> |
Vt(Pk)) |
< 1, |
||
|
ІРІ |
|
* f[p] |
|
|
|
и расходится, |
если |
|
|
|
|
|
Ііш |
TI (Pi) - |
l'k (Pb) f (Ti (Pi)’ - |
> 1к (Pk)) |
> 1 . |
||
Т |
р Г |
|
fip] |
|
|
|
Частный |
признак |
получаем, |
полагая ’іі(рі) = еРі, і — 1, |
|||
2 ,...,k . Как и в случае одинарных рядов, в соответствии с различным выбором функций 8 Дл:г), г = 1 , 2 ,...,к с помощью
общих оценок, найденных в п. 3.4., можно получить оценки остатков рядов, если примем
і«і
( - 1 )' } F[t\d{t\
' [ « 1
и, как в п. 3.4., соответствующим образом определим /?(п)
и•
Другой аналог признака Ермакова приводится в работе [1].
143
§ 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСТАТКОВ А-КРАТНЫХ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Функцию |
Л(ш, |
назовем |
асимптотическим выражением |
|
остатка ряда |
(Л), |
если |
|
|
|
! m I a \ m |
|
( % і ~ л ні> N - » 00)- |
|
|
) |
|
|
|
Теорема |
1. Если знакоположительный ряд (Л) сходится |
|||
по общему признаку сходимости и существует предел |
||||
|
lim—1— = /?, |
R -£0,'R= £oo, |
||
то |
И a [ n \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
%] |
Tw] |
[m] —> со. |
|
|
R |
||
|
|
|
’ |
|
Доказательство проводится как в одномерном случае. Из |
||||
этой теоремы при |
различных |
предположениях относительно |
||
ряда (Л) получаем соответствующие следствия. |
В частности, |
|
в |
соответствии с конкретными достаточными |
признаками |
§ |
3, получаем асимптотические выражения остатков рядов. |
|
Покажем это на примере признака 1 п. 3.4.
Теорема 2. Если для ряда (Л) с положительными клена
ми можно подобрать |
такую |
последовательность положи |
|||||
тельных чисел с[л), для которой |
|
|
|||||
1 |
) |
lim с, , |
а,п] — 0 , |
і = 1 , 2 , . . . ,k\ |
[я]£2 |
[то] |
|
|
|
tlf+oО 11 |
11 |
|
|
|
|
2 |
) |
1 ,ш |
---- f > 0 , |
|
|
|
|
|
|
["] |
а [п\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
l)i+1^ Цо, и т] а \0, і, mi |
\ т ] - * 0 0 . |
||
Пример . Для ряда |
|
|
|
||||
|
|
|
оо,оо, со |
|
|
|
|
|
|
|
£ |
arc sin (2- "1-"23~я>) |
|
||
при |
|
|
п„ л2, / ? 8 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
/*!♦«2t |
|
|
|
|
<хm v m2,тъ |
6 [arc sin3 m> + arc sin2 |
' ” 2 + arc sin2 |
||||
144
- |
arc sin (2~щ 3~Шз) - arc sin (2-m'3~"h ) - |
- |
arc sin ,—/7І!’—/7*2 + arc sin (2~m‘- nh 3"”3)] |
\m ] — >oo.
§5. УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ А-КРАТНЫХ РЯДОВ
СПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Пусть даны сходящиеся ряды
Если
lim - ^ 1- = О, і«і| » 1 ит
то второй из этих рядов, очевидно сходится к своей сумме быстрее, чем первый. При этом будем полагать, что сходи мость первого ряда улучшена, если с помощью какого-либо преобразования этот ряд будет выражен через второй ряд.
Рассмотрим знакоположительный ряд (Л) и некоторый ряд (В), который сходится и сумма которого может быть вычислена. Пусть а(ш) и ß[OT] — соответственно остатки рядов
(Л) и (В). Пусть, далее, существует предел
lim -^Ü- = # , ( R ^ O , R ф oo). |
(3.47) |
Как следует из общего признака сходимости, ряд (Л) схо дится, если сходится ряд (В) и выполняются условия (3.47). При этих предположениях справедливо очевидное тождество
(3.48)
или в другом виде
|
|
|
(3.49) |
|
|
\ т , і, оо] |
|
Это — /fe-мерный аналог преобразования |
Куммера для остатка |
||
ряда |
(Л). |
0, і= |
1, 2 ,...,k |
В |
частном случае, когда |
||
|
|
|
(3.50) |
Д-198.—Ю |
145 |
Выбирая ряд (В), как и при доказательстве достаточных признаков сходимости, соответствующим образом определяя R, , £ Ь[п[ из тождеств (3.50), (3.48), (3.49), получаем пре
образования для улучшения сходимости ряда (Л) и его остат ка в соответствии с каждым достаточным признаком схо димости.
Пример. Пусть для степенного ряда
|
|
|
уа |
tn' |
fnk |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ и \ п \ Ч |
|
|
|
|
|
||
выполняется условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
|
a[n+l\ |
= |
1 . |
|
|
|
|
Применим к этому |
ряду |
преобразование, |
соответствующее |
|||||||
признаку 3 п. 3.2. Имеем, |
согласно |
тождеству (3.50), |
||||||||
|
|
Г|0 |
| |
|
+ |
|
tk |
ЕйП) tn' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
> 1 |
|
1 — <! ... tk |
|
|
4 |
|л| 4 |
|
|||
|
|
1 |
- 6 |
|
|
|
||||
где |
|
Q(D =J n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u{» |
|
a \n |
'(Л + Н |
|
|
|
||
|
|
k— 1 |
(oo, (. —1| |
аIП, i, 0 1 |
t”' |
tnk-l t° |
t° \ |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
-b- |
% S { |
|
S |
1 |
4-1 4-1+ 1 |
"• 1kf * |
|||
P( | = a[0J ^ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
/ - 1 |
1 n,i, |
- 1 „ - 1 |
|
|
|
|
|
|
Полученное преобразование представляет ^-мерный ана лог преобразования Эйлера степенных рядов. Очевидно, пре образование следует рассматривать в области сходимости заданного ряда, т. е. в области, в которой сходятся ряды
|
|
|
|
<£а;1 «. 1 |
Л», |
|
/«*_, |
/0 |
I |
|
|
|
|
|
|
, оі 4 |
■■■4 -і |
4 |
< |
|
|||
и tv ..., tk < 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так, |
в частности, |
|
|
/Лі |
|
|
|
||||
оо, оо |
|
с Ф |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
Е |
|
|
|
|
|
Ч |
|
+ |
^ 1 |
Г |
|
V |
"і + |
|
|
2 І'Оі, + 1 |
6 6 ' |
|
|||||
« 2 |
6 6 |
|
|
||||||||
|
|
х = = 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
г,, //у |
|
|
|
|
л |
6 6 ___ |_ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 6 — |
1 |
|
|
|
||
266 |
О С , о о |
|
|
|
|
tn' |
|
|
|
||
Л |.Sл . = 1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||
1 - 6 |
6 |
/!( + Лг |
+ л2 + 2 |
((4 Яі + л2 |
+ |4пі -t- л2 + 2 ) |
||||||
|
|
|
(0 |
< ^ < 1 , |
0 < * 2 |
< |
1 |
, |
tr t2< 1 |
). |
|
146
Пример. Для ряда
|
|
|
|
|
5 = |
S |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
(я, + п2 + I)3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
«I, И2 = 0 |
|
|
|
|
в соответствии с интегральным признаком 2 |
|||||||||||
^ |
П,+1 |
«2 |
+ 1 |
dt^dt‘2 |
|
|
|
|
|||
_ I |
I |
|
|
|
|
1 |
|||||
|
J |
J |
(О + |
|
+ |
|
R = |
1 |
|||
п"Пі |
|
l)3 |
л2 -f 2) (я, + я2 + 3) |
||||||||
«, |
|
|
|
t2 |
(пі + |
n2 + 1) (я, + |
|||||
|
« 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и преобразование |
(3.50) дает |
|
|
|
|||||||
|
|
__j_ |
оо, со |
_______. |
3 (я] + я2 + 1) + |
2_____ _____ |
|||||
|
|
ѴЧ |
|||||||||
|
|
2 |
|
ьЛ |
(Л, + |
я2 + |
I)3 (пг + я2 + 2) (я, + я2 + 3) |
||||
|
|
|
«I, «2 = |
0 |
|
|
|
|
|
||
10*
ГЛАВА IV
В Ы Ч И С Л Е Н И Е К Р А Т Н Ы Х Н Е С О Б С Т В Е Н Н Ы Х И Н Т Е Г Р А Л О В О Т О Г Р А Н И Ч Е Н Н Ы Х
П О Л О Ж И Т Е Л Ь Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й *
§ 1. ОБЩИЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ 6-КРАТНЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ И ОЦЕНКА ИХ ОСТАТКОВ
Пусть f[t\ — положительная ограниченная в области^ 7 интегрируемая в любой ее конечной части функция, и опре
делена такая бесконечная |
последовательность |
ограниченных; |
||
6 -мерных областей ѵга Ѵ , |
г = 0, 1 |
, 2,..., для |
которой |
|
(K \l» r)Z D (K \^ +1) |
|
|||
оо |
|
|
|
(4 .1 ) |
п ( Ѵ \ ѵ г) = 0. |
|
|||
г—О |
|
|
|
|
Рассмотрим последовательность |
интегралов |
|
||
^f\t]d[t], |
r = 0 , |
1 , |
2 , ... . |
|
ѵг |
|
|
|
|
Бесконечный процесс составления |
такой последователь |
|||
ности обозначим символом |
|
|
|
|
^f[t\d \t\ |
|
|
(1 ) |
|
V |
|
|
|
|
и назовем 6 -кратным несобственным интегралом. |
||||
Такое определение 6 -кратного |
несобственного интеграла |
|||
не отличается по существу от определения 6 -кратного поло жительного числового ряда в § 1 главы 111. Естественно поэтому, что основные понятия, определения и утверждения для 6 -кратных, рядов с положительными членами без труда переносятся на 6 -кратные несобственные интегралы от огра
ниченных |
положительных функций. В |
частности, |
значение |
* В этой |
главе используются обозначения, |
приведенные |
в начале |
главы III. |
|
|
|
148
несобственного интеграла (/) ограниченной положительной функции /[У] не зависит от выбранной последовательности \ѵг), удовлетворяющей условиям (4.1). Рассмотренная в гла ве II общая схема вычисления несобственных интегралов от ограниченных положительных функций обобщается на £-мер- ный случай, если в-качестве областей vr, г = О, 1 , 2 ,... бу дут выбраны ß-мерные параллелепипеды
|
о>г< У г <«)'), |
і = 1 , 2 , . . . , /г, |
|
|
||||
где п!г) — некоторые |
положительные |
действительные числа, |
||||||
причем |
—*оо при г —>со. Такой выбор |
областей vr, г = О, |
||||||
1 , 2 ,..., |
как и в случае кратных рядов, |
определяет |
предель |
|||||
ный переход. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим ^-кратный несобственный интеграл от ограни |
||||||||
ченной положительной в области V функции |
f[t\, |
интегри |
||||||
руемой |
в любой конечной области -и [и] с; К, |
как предел |
||||||
|
lim |
Г |
f\t]d\t\ = [f\i\d\t}. |
|
(О |
|||
|
Iul |
v{it\ |
|
V |
|
|
|
|
Этот предел либо |
имеет |
конечное |
значение, либо равен |
|||||
бесконечности. В первом случае несобственный интеграл назовем сходящимся, во втором — расходящимся.
Выберем ограниченную положительную в области |
V функ |
|||
цию <р[У], |
интегрируемую |
в |
любой ее конечной |
области |
V [и] er V, |
и для функции |
|
|
|
|
A [У] = |
-llÈL |
(4.2) |
|
рассмотрим |
1 1 |
/ т |
к ' |
|
|
|
|
||
|
lim А [у1] = |
А, |
Um А [У] — А. |
|
~— \п
Вчастном случае, если предел существует А = А — А.
Интегрируя по области |
1/ [лс] |
неравенства |
|
|||||
f\t\ |
inf А [ У ] < |
<р[У] < / [ У ] |
sup А |У|, |
|
||||
получим |
Ѵ\х] |
|
|
|
|
V [-vj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R f [je] inf |
A [<] < |
R 9[ X |
] < |
R f [л] |
sup |
А [У], |
(4.3) |
|
к И |
|
|
|
|
|
V [л| |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
/?,[*] = Um ( |
J f\t\ |
d\t) — |
j |
/ [ W |
l ) |
= f |
j\t\d\t) |
|
,Н1 v\u\ |
|
|
ои |
|
|
l/’ij |
||
149