книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

й(і> =

----- !-----

A (/< ))

2

к(к + 1)

(к -г 2)

*

кЦк + І)

RM =

lim---- = 2,

ВІ" =

Й-Г

пт

1

4

Ф’>

(2)

(1)

I Д

2

Clk

= (Ік

Ч ~ ---- —

к2(к + 1) (к + 2)

д(і)

менение преобразования

ряда р раз привело бы к формуле

ОО

р

ОО

S

L ^ +

S *2 (*+1) (*+2)... ( * + ’

л=1

А=1

справедливость

которой

можно доказать методом индукции.

-£ і± і- =

1 + у . А„g» +

0 (g£+2) (k — оо),

д*

ш

п=\

limg-* = 0, £ы-1= ё к + У ) 0 п8Ч+ в(ёрк+3) (Ä —oo), (1.25)

& -> с о

і м *

Л=2

— ф п («== — 1,

0,1...,(£>),

и Д, — постоянные.

Л (о- >

1)-

1

к + а

Представим сА+1 в виде

р

Nn+l 8%,

с*+і = S

я=—I

-

ük

= - ( A l + D i)N0 +

[(/>! - О3 - Л ) 'Vo -

А М \ g k +

+ [егоз DZ - Dl - D < - Az) N0 -

A2Nx+ (D2- Ax) N2] g l+ ....

Числа Nn(n = 0, 1,... ,p +

1)

подберем так,

чтобы в пра­

А'о

-----1-----,

,Ѵ = А . (Оі - D a - А2),

A X + D 2

1

Ar v

3

1

[(Dl + D, -

2D2DZ +

Л3 Wo + Л2 TV]]

и т. д.

D 2 AI

(1.26)

Очевидно,

если

неопределенные

коэффициенты

Nn(n = 0’

__ I_

2 _____ 1

ak

k 4- 1

(k + l)2

Поэтому

gk — —

но'

ëk-i =

1

,

1

,

1

,

i+o(D

(A-»oo)

Ift ft +

l

(ft +

l )2

(ft + iy»

+

(ft + i)<

и по формулам (1.26)

при

=

1 (я = 2,

3, 4), Al = — 2, Л2=1,

Л3 = 0 находим N0— 1, 7V,= — t

//2 = — .

Согласно (1.24) при

.

, 1

, 1

« + — + — получаем

2

6k

у

±

= 1

oo

l y i ----- !-----

LA ft2

з

6 LI

A3 (А +

1).

A=1

ся. Объясним это на примере ряда 5 = V1— . Преобразуем

ШШ№

ряд 5

по формуле (1.24), полагая

!г=1

и т = 1. Тогда

ck= k + l

получим:

5 = 1 + / + £

(1— 21)k+ 1— 1

(1.27)

U2{к + 1)2

Общий

член преобразованного

ряда (1.27)

имеет порядок

2

+ V —

5—

Li

2І Ц І + IV

Верхнюю оценку для 5

получаем аналогичным образом

из ряда (1.27) при

/ =

1:

5 = 2

*=1

+ l)2

5 < 2 - V

k(k + 1)

(п > 1).

U

ft=i

4.4. С п о с о б

у л у ч ш е н и я с х о д и м о с т и р я д о в ,

lim rk= г < 1

ак ) '

к-+оо

Тогда bk= ak— ak±u

/?—1 — г,

Вт = ат н

преобразование

(1.22) примет вид

со

со

( L 2 8 >

к—m

k—m

Последовательно

применяя это

преобразование р раз, полу­

чаем

„(»о

(Л!>)

■г("') 4">

У

+

к—m

k**m

/1*0

(1— /•(»>)... (1 —.-(">)

(1 —Г<°>) ... (1 -Г*/'») ’

где

«ft-н

a f)==ak,

а[п+1>= а^Цг^і — гіп)), г<°>=

(я) =

д(«)

«л

aft+l

, г('!) = lim /■<"> (я = 0,

1,...,р).

г*

к-> оо

Если

выразим //[")

через г£'),

то

будем иметь

Для того, чтобы преобразование (1.29)

давало действи­

тельное улучшение сходимости, должны

быть 0 < г(,,) < 1

</г= 0, 1, ...,/>).

Пример. Для ряда

Например,

при р =

1

^

2е - 3

2

у і

_________ 1_________

2(е — I)2 ^

( е - 1 ) 2

Z j

A ( f t + 1)(А + 2)**

ft=i

fc=i£

(

-

1

)

* +

Ч

к=

1,2,(л*...>

),0,

где

lim -а~-+1 == 1.

Подставив в тождество

(1.28) (— l)fc+1aft

k~*oo

Üfc

и т = 1, преобразуем

ряд

вместо ak при r = — 1

оо

оо

£ ( - і)'+Ч =

Y

+ Т

£

» s+1 (“ « -"» .)•

<'-30>

fe=l

A=1

Пример. Ряд Лейбница

1п2 =

1 — г

+ 4---- г + 1...

2

3

4

после преобразования

по формуле

(1.30) принимает вид

In 2 =

-J- + \

1

1

1

(1-31)

2

2 (

1-2

2-3

3-4

а этот ряд

сходится

значительно

быстрее.

Действительно

$ю =

Ж-'Ч (_ Uft+l

дает приближение суммы

ряда Лейбница с

V - ----—

Ш

к

й=1

In 2 — 510 «

0,348. Десять

членов

ряда (1.31)

погрешностью

указанное преобразование.

Вновь

полученный

ряд предста­

вится

в виде:

- Ч

- -------- ^- +

3-4-5

.

2 Ѵі-2-3

2-3-4

Десять членов нового ряда дадут

приближение суммы ряда

с погрешностью, меньше чем 0,0004.

оо

3)

Преобразование Эйлера.

Пусть

задан

ряд ^ ак я*

( — 1 <

X < 1),

k = m

где

lim -—

=

1, lim ,-^— ±L =

1 (я =

1,

2 ,...,/>),

(1.32)

k- > 0 0

k -yoo

b k d k

A4

= Д (ДЛ~Ч ).

Да* = ак+1 -

ak.

Подставив в тождество (1.29)

вместо ак при выполнении

условий (1.32),

находим

4°>

ак+\Х

Л0)

=*,

Г<«):

A"**+i

ak

Д"я*

г (а) = х

(я =

1,

2,... ,р).

+ ( j ~ : у

-J] (Др ак) хк

(т > 0).

(1.33)

k —m

Если последний член стремится к нулю при

р~* оо,

то по­

лучим

со

оо

2

дЧ

( Г£ -Г) А+1(^ > 0 ).

(1.34)

*=ги

ft=l

Преобразование (1.33) выгодно применять тогда, когда

конечные

разности

ЬРак при

А—»оо

имеют

более высокий

порядок убывания, чем коэффициенты ак.

Пример. Пусть ак= P{k) — некоторый многочлен степе­

ни V. Не

трудно проверить, что условия (1.32) для

всех я< ѵ

будут

выполнены и

Д”а* = 0

для

любого

п > ѵ.

Поэтому

из (1.34) при — 1 < л < 1

следует

оо

V

2

я (£) JC* =

+ хт~^ 2

A*P(w) ( — - ) Ä+1.

получаем

к—т£

<

-

(-1)"

Ч

+У! (-lyk гіП АV,

і

)

*=і

Пример. Применяя к ряду

и

- V- If c Vк

k~\

последнюю формулу,

находим

оо

*=1

4.5. С п о с о б

у л у ч ш е н и я

с х о д и м о с т и

р я д о в ,

с о о т в е т с т в у ю щ и й п р и з н а к у Р а а б е

Предположим, что для положительного ряда (1.21) выпол­

нено условие

аи

К

\

k J

М- 1 < 0),

т. е. ряд (1.21) сходится

по признаку Раабе. В этом случае,

принимая в преобразовании (1.24) ck= k, получаем

S

niam

t

f

k___ (k + l) flfr+i \

(1.35)

m

+

i i

(

i + *

(1 -:->■)«* )

'к

к*=т

k.=tn

Полученное преобразование для ряда

(1.21) можно и повто­

рить.

Пример. Рассмотрим гипергеометрический ряд

5=S йк

к -

1

а

=

Г 1

+ *)(и + ?)

т .

1

*

'

' ( л + 1) (я +

7) ’

т

н=0

который сходится,

если

а + ,3 < j.

Здесь

Лк+1 _ (Іг + *) (к + 3)

^

a-к

(fc + lMÄ + f)

5 =

т

я

г

Е;

аѵ\

где

к=т

= (\ +

-±--- +

Cf — «) Cr — P) gfe

(1 +

/.) ak

)

(T — “ — Э) (* + i)

\

1 + X

4+1

(k +

а) (к + 3)

а)

(А-і-1)(*н-т + 1) , /.(1) =

а +

ß — Т

2

к=тЕ а«,1»=

,0)

к—tu£

<

’ •

где

-г 1 --

а—і

m

=

(Т т 1 -

а ) ( т + 1 -

ß)

.

й (2 )

---------------------------------------------------------------------------------(7 + 1—а —f»)(А -Ь Т + 1)

k

Таким образом, для первоначального ряда получаем

S =

"Wm

-1_______ т ^ ~~ аН? ~ Э)

7 — a — ß

(у + 1 — а — ß) ( 7 — а — ß) (m + 7 )

OO

_______ Ok_______

, (7 — a) (7 — ß) (7 +

1 — a) (Y +

1 — ß)

y i

(7

-

ß) (7 + 1 -

» -

ß)

h

(k -f Y) (k + Y+ 1) ‘

k—m

Повторяя

этот

процесс (p -i- 1) раз,

для улучшения^схо-

со

/>—1

к

V а =

та'п +

та,п V

П

(Y + А- — а) (7

-!- -У— ',?)

LA 4 Y — а — 3

7 — а — 3 Zj ' * (7 + S + т) (т + 5

+ 1 — а — ß)

к=т

к=Оs=0

и s — г = ч^-2.

Для улучшения сходимости рассматриваемого

ряда преобразуем его

в

новый ряд,

общий член которого

имеет порядок малости величины ——

(/> > 0)

при

к —*оо.

Составим вспомогательный ряд

9 ( ft)

’

(1.37)

Vv-l(ft)

где cp (k) — многочлен

(p — 1)-й степени и

Ln (k) =

k(k -f 1)...

... (ft + л — 1). Общие

члены рядов (1.36)

и (1.37)

имеют

оди­

наковый порядок малости

относительно -у-

при k —>со.

Рас­

смотрим разность общих членов основного

и вспомогатель­

ного рядов

я (ft) _

у(ft)

_

p (ft) ^+v-i (ft) -

Q (ft) ? (ft)

(1.38)

<?(ft)

V v -iW

~

Q(ft)ip+,_i(ft)

Приравнивая нулю коэффициенты при

k"(n = s,

s

+ l,...,\? - j -

-f p — 1) в числителе, получаем

систему р

уравнений, из ко­

торой определяются

р неизвестных коэффициентов

много­

члена <р(£). Тогда

_ о (

т—ѵ)

P(ft)_____ 9 (ft)

Q(ft)

V - i W

S (т) = В (т) + ^

Р(ft)

9 (ft) \

(1.39)

0 (ft)

(А)/

k—

зуясь методом

неопределенных

коэффициентов, разложим

на простые дроби

9 ( А)

т-i

_ у і __________________________ Л __________________________

£‘,,+ѵ_ і (ft)

n—0 (ft + л) (ft +

л -f- 1)... (ft + л -г V — 1)

со

1

1

*1

k=m k (k +

1) ... (к + V— 1)

(у — 1) т (т + 1) ... (т + ѵ — 2)

л=0 (т + п) (т + п + 1)... (т - f п

ч — 2)

Пример.

Преобразуем ряд

к3+1

по формуле

(1.39)

при р = 3,

ѵ= 2, т = \.

Здесь ср (к)

= ак2+ bk + с и

k

ак2 + bk + с

k3+ 1

k(k+l)(k + 2)(k + 3)

= (1 — а) к3 + (6 -

Ь) к* + (П -

с) к3 + (6 - а) к2 -

bk ~ с

к________ к3+ 66+11

_____ 5fe2 —6>fe — 11______

к3+ 1

k (k + 1) (к + 2) (к + 3) ~

(к3+\)к(к+\)(к + 2) (к + 3) ‘

Полученная дробь легко преобразуется к виду

1

k'2 + 6k + 11

11

7

k(k + l ) ( k +

2)(k +

3)

6 k ( k + l )

6 (k -j- 1) (к -i- 2)

3(k +

2)(k + 3)

Поэтому

СО

ß m

V

fe2 +

6 fe + ll

_ 1 1

7

, 1

1

_1_ __ 49

’ ~~2jZk ik + \){k + 2)(k + 3)

6

6

’ 2

+

3 " 3

36

Д-198.-4

49