книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

остатки интегралов

і т

т

,

\t\d\t\.

Заметим,

что остатки

Rf [x\

и R9 [л]

можно

записать в

другом виде,

например,

J

4\t\d{t\)

(4.5)

> = 1

V[.Г,

/, оо]

=

S

J cp[t\d[t\.

(4.6)

Поскольку всегда

существуют такие [х], когда из А > 0 сле­

дует inf А Щ >

0,

а из

А <

оо следует

sup A [t\ <

оо, из не-

Ѵ[х\

V І-ѵ]

равенств (4.3) в частном случае получаем следующий

Общий

п р и з н а к

с х о д и м о с т и

Если Л >

0

и R- [л:| <

оо,

то интеграл (/) сходится; если

же Л < оо и /?<р [х] = оо,

то интеграл (/) расходится.

В случае сходимости интеграла (/)

[X)

Rf \х\ <

RvМ

sup А р] <

ini А р] ’

(4.7)

V и

ѵиI

разбивая

область 1 /[х|

на области ѵ\х, і, оо] или на области

V-L. Так,

согласно равенствам (4.5),

(4.6), получаем

к

? [fl ä [fl

9 P] rf p]

V[.V, i , оо]

< /? ,H < Y i s

Vf.r, /, oo]

A p)

(4.8)

sup A p]

inf

1

V(.V, i, oo]

/ = 1

V[.Г, (,

oo]

k f

(<j>p] rf p]

k

/

J 9 P] rf p]

V.

inf A p]

(4.9)

.

. .

sup A p]

(=1

,=U

^

1. Рассмотрим

некоторые

примеры.

Пусть даны

интегралы

[ о о ]

4 М d М

- ,

п,

<х1> 0

,

і =

,

2 ,..., k

1'

- і

—

1

м

Ф\t]d[t]

,

.

А

■

.

,

=

I*

,

0

\

а ,>

0 ,

/ =

1

2

,... ,/е.

J

... г 'ft

г1

?2И

*ГХі...

Примем соответственно

Для

<Рі

И

=

(#

+

...

+

\

=

каждого

интеграла,

в силу равенства

(4.2),

А

Щ

'Ht]

н согласно

соотношению

(4.4),

И

[оо]

я-W= і 77

d [*]

d\t]

J

(fr

) 1

J,

(<г + - +<'* )*

w

«;■ + ... + Л

[оо]

[.Г)

d ffl

я „ м -

Г

d [1 ]_____ГИ

J f r . . . t xk

d

f r - . t *

/

причем,

[ « 1

1

к

lol

1

< оо,

если — + ...+ — < X

'"l

гк

=

оо,

1 .

,

1

^ .

е с л и -----Ь ... 4----->Х

Гі

rk

K A M

<

со,

если

X, >

1

і = 1 , 2,

...,/e

=

оо,

если

Хі < 1

по крайней мере для одного г.

По общему признаку сходимости получаем:

Интеграл 1Х сходится,

если

А > 0 и

—— Ь ... + — < X, и

расходится,

если

А < оо

и

1

“

1

г‘

-----(- ... 4-----!>Х.

Интеграл /

сходится,

г 1

Л > 0

rk

все

Х; > 1 , і = 1 ,

2

если

и

2, ...,&, и расходится,

если

Л < оо и, по крайней мере, одно

* / < 1 .

и /

сходятся,

во

многих конкретных

Если интегралы /[

2

случаях

удается указать

и соответствующие

оценки их ос­

татков.

Так, для остатка

интеграла

0 0

ОО

i*Аl -сихсіи,

Г

Г - M

1 і

( 6

+ У1

1 '5

согласно оценке

(4.7),

находим

min (th A‘ l 5 th x2)R,f (xu x2)< R / (xv x2) <

/?¥ (л,, л'2),

где

R;(xu x2)

1

■+

1

V л'і + <%2

В частности,

j/^l + Xj

уД + x2

5,56822 < RA7,7) < 5,56828.

Для интеграла

СО

ОО ОО

I

^ J cos«, +t2 + ta)-'r. dtxdt2dtz,

j

i

1

1

lo

io

Д ' 2

, 4 3

, 5 '4

ll

‘2

‘3

согласно неравенствам

(4.7),

_L

__ i_

_ j _

24 [1 — (Xj 2 — l)(x2

3

— lH-Vg

4 — 1)] cos (2 + x)_l ~ <

_ i

_ j_

_ j_

< Rf (*,, x2, x3) < 24 [1 — (xx 2

— 1) (x2 3

— 1) (x3 4 — l)j

В частности,

(x — min (x2, x2, x3)).

16,52 < R f (28,

28,

28) <16,61.

При тех же

функциях <р[/]

исследуется

сходимость, и в

1)

/[/] =

(# + ... +

< * Г Х(1 + 0(1)), (М -оо),

2

)

/[/] =

/ГХ , . . . ^

Х *

( 1

+

0 ( 1 )),

([<] -» оо).

Так,

для интеграла

оо сю

/ — j*

Г

dtxdt2

J)

V r ! 4

+ 1

выбирая ©(Д,

t^ — t^

3

5

, согласно оценке (4.7), находим

2

12

2

А

1

3

Л-J

1

3

± ( Xl

2

+Х 2

2

—

2 л: 2

2 ) < R f (л,, х2) <

<

+ Х2

В частности,

' •

" {

/ тАг /

т ^ Г І

0,776 < Rf (8,2) < 0,788.

2 . Если примем

а* -ФИ,

1

®Р

dp]

то интеграл от ®[/] вычислится без труда.

Выбирая же раз­

личным образом функцию

Ф [/],

получим

соответствующие

признаки сходимости несобственных

интегралов с оценками

их остатков. Рассмотрим некоторые из них.

если

Пр и з н а к 1 . Несобственный интеграл (/) сходится,

можно подобрать такую положительную в области V

функцию g[t], для которой

1) 0 < /[/]* [/]< г <оо,

\t]£V[N\,

2 ) lim

(—В

а *

■(/Ш М ) = А > о .

іа

т

d[t]

Несобственный интеграл (/) расходится, если

И

/ ( 0

д [t]

Л <0

и расходятся интегралы

dt)

і =

1 ,

2 ,...,

k,

р]£ V.

(4.10)

gP]

Пусть

®M = (-i)7 [* U M .

где функция

удовлетворяет

условиям

признака.

Тогда,

согласно

равенствам (4.2), (4.4),

=

/р]

dpJ

(/[%[*]),

(4.11)

*

w U ßl

R

[*] = lim Л

(— 1)' (5 {/[a ,

i,

«]£[«,**, a]j —

( « 1

i=l

i,

*]#[<*,

i,

л;]}).

(4.12)

— S{/[a,

Если

Ііп^Л [*] == Л > 0,

то

в области

V[je]cz V [A7] величи-

м

и при выполнении условий

1 ) признака является

на 7?f [x]>0

дится.

___

_

Если же

lim А [г1] =

А <

0, то /?»\х\ < 0 в области V[JC] CZ

[ / 1

Rv [х\ — интеграл

cl/|7V ], и главная часть

=

k

V l°ol

1 , u\g\x, 1

, «]}

lim S

(—T)'5{/fjc,

,-o

— будет отрицательной. Это означает, что,

но крайней мере,

lim f ( x u . . . ,

щ ,

. . . , x ^ g ( x u ...

, щ , . . . ,

AT*)]

ф 0.

I I . - + 0 0

Тогда для любого фиксированного

в > 0 найдется

такое М,

что при и{> М

г

f(Xi, . . . , U„

, -Ч) >

g ( X X,

Щ, ... , хк) '

Таким образом, если Л < 0

и интегралы (4.10) расходятся,

то и интеграл (/) расходится.

и /? [аг]

оценке

(4.7)

‘Если интеграл (/) сходится, A\t\

в

определяются соотношениями (4.11) и (4.12).

Пример.

Рассмотрим интеграл

[°о|

/[1 |= 1 ? ' ... 1^(1

+ 0 (1 )),

[/]-»оо,

І« 1

аг > 0 , 1 =

1 , 2 , ... , k.

Положим g-[l] = t i ... tk.

Тогда условие

сходимости

1) выпол­

няется, если все а,-+ 1

< 0 , 1 =

1

, 2 , ...,£, а условие

2 )

Л = (— l)fe(ßi +

1 ) ... (ah+

1

) > 0

доставляет at + 1 < 0,

1=1,2, ..., k.

Таким образом, интеграл

сходится, если щ +

1

< 0 , 1 = 1

, 2 ,..., k.

Признак 1 является таким же общим признаком сходимо­

сти, каким в случае кратных рядов является

первый аналог

признака Куммера. На основании настоящего

признака

при

различном выборе функции g[t]

можно

получить ряд доста­

Пр и з н а к

2. Несобственный интеграл (/) сходится, если

1)

0 < / [ 1 ] <

с < оо, {t}£V\N\

2)

lim

= А > 0.

— /М

<Ф]

ОО со

оо

1

j J

(je"

‘ 2 3 ‘',ikdtxdt2dt3

l i i

по признаку 1 сходится, так как

У 2

j _

Л— / 1

ti

/ 3

\)Q < e

2

) lim A (*,. ^2, *8)

lim {— ( — -------1 ) /

- I X

(/*1 . /2 ' ^з)

.

tit\ \

t\ t2t3

f

{

tz

1

+

+ txt\

^ t\t3t3 - 1 H -

X

6 ^ 3

1 1

t\t2tl

^ txt\t3

1

t\

1

1

12 pt2 =

1 .

t\ t\tz VOM3

l 2 J 3

dt{

dt2

dt3

inf

A (tu t2, ^3) =

1

— 3______3_

_5

V (x, X, X)

а

A 2

X 3 X*

sup

A (tu t2, t3) = 1

V (X, л, x)

и поэтому

a—2—л — —

a —1—l x ---- У

a —3x-----

< Rf (х, х, .*;)<

Зе

' — Зе

Л*

+ е

¥ )

< Зе

Л

Зе

+ е

- 2 - х

--------

а — 1— 2л ■

-L

а — З.ѵ—

П р и з н а к

3.

Несобственный интеграл (/) сходится, если

можно подобрать такую отрицательную в области V

функцию g\t\,

для которой

| 0

0 , 1 . — 1

]

!) {—

J

1

, *]£[*, 1 . « U M , —1 | <со

К 1 . - 1 ]

£ - V lt} g lt) )+ ... + - z - ( f l t ] g l t ] )

Л > 0.

2

) Um — ------------------- ^

------------- =

Несобственный интеграл (/) расходится, если.

t •

utI

_____dtk________

=

A < 0

hm —!-------------

fit]

и расходятся интегралы (4.10).

согласно

равенствам (4.2)

Положим Ф

f[t\g[t}. Тогда,

и (4.4),

А [*] =

fit]

---------—

(4.13)

[.V, 1, - Ц

/[I1, 1 , x]g\t, 1 , x}d[t,

, -

i]J +

= —5 {

J

1

Kl. -l!

+ S{

U, l. - 1 ]

1 ]} -b

j

f[t, 1 , *]£[/, 1 , *]d[t, 1 , -

I«. к -и

[U.1 . —

1 1

1 , u\d\t, 1

, — 1 | 1

—

4 -llm(S{

J

f[t, 1 , u\g[t,

,u*

[«. 1 . -Г

f\t,

1, ajfirf/,

1,

- l ] j ) .

(4.14)

К К-П

Если _1іш А [^] =

А > 0,

то величина R [л-] > 0

в области

7 7

7 - ~ ( / И £ И) <0, M$l/[,V]

J

[f]

vtf

или

_â_

dt(

| п / м > 5 г Ч ~ ÄW

Интегрируя последнее

неравенство

no t: от а; до uh получим

f

О1<•••

t Mb

»^fe)

g (?ii

г Я-h

t tk)

/(<......ah . *ft)

g(*l> - . «/..... <*)

Таким образом,

интеграл

(/)

расходится,

если А < 0

и рас­

ходятся интегралы (4.10).

Если интеграл (/)

сходится, оценка его

остатка

опреде­

ляется неравенствами

(4.7),

в которых А [х] и /? [лг] находятся

на основании соотношений (4.13), (4.14).

Пример.

Для интеграла

і‘

г

dt,dt2

J

з ln^ (еи л- eh )

находим

д .

t2)

'

dt3 fi!"

р_____

5 3

('"

/ (

>t2)

ln (ее‘ +

et})

0

Поэтому удобно принять g (tlt to) = — In (é' + e^).

Тогда рассматриваемый интеграл

сходится при р > 2, так

как

) сходятся при р > 2

интегралы

1

©•

dt,

со

ät2

Г

Г

J In-P—«(/■ + 1 )

’

л ln-P—>(<Д +

1)

ибо

при g_(t) — — ln (<?' + 1

)

lim Л (^) = lim

У (£)

=

(/? — 2 ) lim

\

—p — 2

/ “ > ■ 0 0

/ - > 0

0

t-+OQв

in! Л (^, t2) =

sup Л (7Ь t2) = p — 1

К(л..V)

K(.,г)

dt

dt

ln * -‘

+ <?Л)

lnJ“-' -b 1 )

А'____

^ f ____ dt______

_____X_____

ЫР~Ң2ех)

J ln^-i (^ + <?-v)

1пР-'(ех + 1)

о

__________1________ <

оо

<

1__________

ех + 1

С

dt

(р — 2) ln/>-2 (1 + ех)

J

ln*'-'(1 + *')

(р — 2 )Ы Р ~Ң 1 + ех) '

ех '

Окончательно

________ 2х________________________ 2_____________

■^7

(AT, X)

(р — 1) ln^—1(2ех)

+

(р — 1) (р — 2) Inр-

і (1 + ех)

2х

2

__

ех + 1

< ----------—----------- 1- -------------------------

ех)

ех

(р - 1) Inр - I (1 +

ех)

(р — 2) (р - 1 ) In/'-2 (1 -I

При / 7 = 3 вычисляем

0,187 < R f (\0,

10)<0,200.

1) { j

/[*. 1, a\d\t, 1, — 1) < ooj,

__

д

д

_

2)

“ /М + ••• + "77“/ [ 0

0,

lim

^

^

----- =

А' <

'

щ

/М

и расходится, если

lim Ёі_________ Ё*____= А > 0 .

~&Г

fit]

Если интеграл

(/)

сходится

по

этому признаку, то для

СО ОО

,

л

О

се

!nkU\ + 1 )

, ln* ( 1

t:2)

------------ dt,

------------- dt<y

I ch(f, + l )

1

,) ch ( 1

+

t2)

так как

l

lim Л (Я = lim

=

lim .

2kt

- t b ( t

+

!)} =

- !

<

f (t)

O

t - * - o o

t - * - OOt(^2_r 1 )

I n ( 1

4*tf2)

2 ) lim A(tu t2)

Я = ti,

я)

h)

=

lim

2k (t, + t2)

2ih(tl + t2)\ = -

< 0 .

2

<6- 6) \

Ui +

Ф ln (tj +

ф

Найдем оценку

остатка

интеграла

при

х х= х 2 = х.

Так

как для функции Л (Я, Я) не

выполнены необходимые

усло­

вия существования экстремума в области V(х, х)

при х > 1 ,

то

inf

А(Я, t2) =

- 2, sup Л (/,, Я )=

2k (X + 1 )

, ..

V (х, X)

V (V. X)

(х2 +

1) ІП(х2 т

1)

— 2

th (х 4 - 1 )

(2)

Далее

/??(х,

х) =

-

2

f

ln* (х2 +

г12)

d t - 2

Г

1п*(1

+

t2)

dt,

(3)

. 1

ch (х +

t)

ch (rf +

1)

1

(х-1)

In* (2х2) <

In* (х2 +

t2) dt < (х — 1

) ln* (х2 +

1)

(4)

ch (2х)

ch (х -f t)

/

ch (х +

1)

1п*(1 +

X 2)

<

ln* (1 +

t2) dt <

ch (х +

1)

ch (t+

1)

<

In* (1 +

X 2) t h

( x

+ 1 )

2kx

- 1

(5)

ch (x +

1)

(1 +

X2) ln (1

+

X2).