книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

S '' nJ 2k) = f ( 2k+

X) - f V k) + 0 ( / (р)(2&))

(Ä -oo).

(1.53)

1

Приравнивая правые части

(1.52) и (1.53), находим

f (2k) —/ (2k + 1) =

-

р - I

/ (''>(2^ + 0(/^(2£))

(A-»oo).

(1.54)

£ Л

0

Суммируем равенства

(1.54) по k от k — 0 до k — со:

OO

p — 1

со

S ( - l f / W =

S A ,/ W(0 )+ S 0(/<'>(2é)) (Ä- OO)

= 0

n= 0

= 0

или окончательно

получаем

+

2 Л ,* (Я)(2*)] ,

(1.55)

/г= 0

где

Д(п)(2k) =

/ я>(2yfe +

2) - / (,!) (2Ä).

Ап в равен­

Приведем

таблицу

значений коэффициентов

стве

(1.52) для р = 1,

2,

3, 4.

f

( - 1 )7 (£) * S

1/(2*) - Z(2é + 1)] + Y>AJ(k) (2п + 2).

*«=о

* = 0

*= 0

В

частности, при р = 4 имеем

оо

Л

£ (-!)* /(* ) ~

Е [/(2 * )-/(2 * + 1 )1 +

к=0

(2л + 2) _

k = 0

(2л

2)

f

/' (2л + 2)

Пример .

48

5

S

( - D*

k-0Ä+ l

Применяя преобразование (1.55)

при р = 4, получаем

S ( - l ) ft =

5_

,

1

ір

I2fe2 +

24fe +

11

Л +

1

8

+

2LÂ{k + 1)(2£ + 1)‘(2А+3)« '

л=0

ft=0

оо

( И < 1 ’ т > \ ) ,

(1.56)

1) Преобразуем

дробь

так

же, как в п. 4.6.

Р( п) =

у (я)

_!_______ Р\ (я)

Q(n)

Lp+v-l (п)

<?(лН/)+ѵ_і(л)

где Z./)+4_, (л) = п (п + 1)... (п + р +

V— 2), сс (я) и Р{ (п) мно­

гочлены степени

(/7— 1) и (s — 1)

соответственно. Таким

при ti

»сю. Первое

слагаемое

разложим на простые

дроби

С,У; (Я)

=

/Н-ѵ-2

«л-

у і

ѵ-1 (л)

/в Л

/і’

Определяя

ak {k = 0,

1,...,/? + ѵ— 2) методом неопределенных,

коэффициентов, получаем

( - l)fey (—О

(А’ = 0, 1, ... ,/7 + V— 2).

(1.57)

*! (р + V—k —2)!

Тогда

ОО

/ > + Ѵ — 2

ОО

ОО

S

f S

H - - , Е ‘ » Е . - £ - + Е

•

(1-58>

£=0

л=ш

где сумма

ряда S я + k вычисляется

точно.

Ряд

L p + , _ j («) =

п (п +

1)... (п + р +

V- 2).

Пример.

Пусть

дан ряд

уч

П2Хп

( М < 1),

2J

п* + 1

п—1

где оощии член имеет порядок

величины — при /г -+ о о .

Преобразуем ряд так,

чтобы общий член

нового ряда имел

порядок

величины я<

при /г—>оо.

При V=

1, р = 3, <р(«) =

= ап

Ьп + с имеем

я2

й/г2

Ь 6я 4- с

__ (1 — а) я5 + (3 — Ь) п* + (2 — с) я3—ап2—Ьп—с

л3 + 1

п(п -г 1) (л +2)

п (п +

1) (л +

2) (л3 + 1)

Отсюда

определяем

а = \ , b = 3,

с =

2, ср (гг) =

я2 + 3/г + 2 и

РI («)

3/г — 2.

Согласно (1.60), будем иметь

со

И3 + 1

=

— In (1 — х) —У ——

V

U n (п3~(л я+

1)

п= 1

я—1

Учитывая три члена преобразованного ряда, получаем

со

П2Х п

84 +

Г4>

П=1

18

причем

при I х| < 1

1

(я3+ 1)

л = 4

Для оценки суммы ряда в правой

части

этого

неравенства

для

1

ап= --------- - имеем

п (я3 + 1)

= 3 -

6л2 + 8л + 6

ап

л3 +

Зл2 +

Зл + 2

Легко убедиться,

что /?„

возрастает

при

/г!> 1. Поэтому

/?4 =

inf /?„ = /?4 =

Ц иI

I г41<

Ri « 0,008л:4.

Я3 (я) =

Р2 (я) (я + V+ 1) — caQ(я),

(1.61)

сг

Рр (я) =

(я) (я + V + / 7 - 2) — c„Q (я).]

пень многочлена

Р, (я) не выше,

чем 5 —1 . Если эта степень

в точности

равна s — 1

, то положим

сг

равным

отношению

старшего

коэффициента

Рх(я)

к старшему

коэффициенту

Q (я);

если же степень

Л (я) меньше

чем 5 —1, то

положим

с2 — 0.

Степень

определенного

теперь

многочлена

Р2 (я)

опять

не выше, чем s —1 . Если она

в точности равна s —1 ,

то положим cz

равным отношению

старшего

коэффициента

многочлена

Р2

(я)

к старшему

коэффициенту

Q (я);

если же

степень

Р2

(я)

меньше,

чем 5

— 1

, то положим с3 = 0.

Аналогичным образом определяются и все последующие

коэффициенты ck. Ясно,

что степень любого из определенных

с помощью (1.61) многочленов Pk(n) не выше, чем s — 1.

Теперь

каждое из равенств (1.61) разделим соответственно

на произведение

Q (я) Lk+4(ri)

(k = 0, 1

, — 1 ), после

чего

полученные равенства сложим. Будем иметь:

Р(п)

Ск_____[____^р (п)

п 62)

Q(n)

L i

ift+v_ x (я)

Q ( n ) L

+, ^ ( п ) '

А=1

Очевидно выражение

Л» (я)

Q (л) Lp+4_ x (л)

относительно

1

будет

порядка

не ниже, чем р + ѵ. Умно-

—

жая обе

л

от я =

яг

до

оо, по­

части (1.62) на хп и суммируя

лучаем окончательно

' оо

ОО

р

(1.63)

*—1

Q

(Л) Ѵ ѵ - 1

( " )

где

и,

(1.64)

(п +

1)...(я + S — 1)

легко

преобразуется к виду

со S— 1

( - 1 )ft хп

S— 1

( - 1

)Ä

irS

; (s— k -—1

)! (я + к)

ш

k\ (s — k

+ k

n=m A=0

— 1 )!

LJ n

ft=0

n=m

Далее, используя равенство (1.59) и соотношение

*-1

( - 1 ) *

_

!

1

Л _ І . Ѵ - 1

’

Sk— 0 k\( s - f c -xkі )

(s—

х)1 ) ' Л

находим для ряда (1.64)

j— 1

m+Ä— 1

и (т

«л

іп(і—л)

1V -1 1

(~Dfe+i

V1

і

^

^

(S— 1)! V

X /

^Jk\( s — k — 1)!

2 j

k — 0

1 = 1

(1.65)

В

частности,

полагая

в формуле

(1.65) s = l,2 , 3, 4, 5 и

т — 1

, будем иметь

« 1

(1 , х) =

— ln ( 1

— х),

м2

(1 , х) =

1 — ^ 1

----( 1 — х),

<1■•*) =

- 7 ( 1-

тУ 1" <1-

х) +

55 -

ІІГ+ - Ь ■

/ 1

4

1 Л

1 Л4, /1

4

,25

І3 .

7

I

5Ѵ

'

24 V

х )

288

72л

48л3

24л3

( 1.66)

Пример. Преобразуем ряд

пЧп

( М

< 1 ).

п= 1 л3 + 1

Д-198—5

6 3

оо

ПлХ п

In ( 1 - * ) - У — —

0

= 1

п 3+

Г

)

71—1

(п +

ІА п

®3 н

1

Получено то же самое преобразование ряда,

которое

имели

в п.

1 ).

5.2.

О б щ и й

с л у ч а й

у л у ч ш е н и я

с х о д и м о с т и с т е п е н н ы х

рядов

Рассмотрим

ряд

вида

со

ІХі*)*"

(w>i)’

(L67>

п=*т

Разложив

^ в сходящийся

ряд

а,

U2

п\

п

п-2

+ • • • +

+ • • • •

+

2

—

представим ряд (1.67) в виде

со

оо

а,ях

*+

2+ ... + ах

І К т У - І

Х п +■

П=тЩ

+

, + . . . +

-Г X

2

пх

В правой части последнего равенства

первый ряд относится

сительно — будут порядка не ниже, чем

X+ 1. Выбирая X

П

первому

ряду формулу

достаточно большим и применяя к

(1.60) или (1.63), можно достаточно

хорошо

улучшить схо­

димость ряда

(1.67).

Пример .

Пусть дан ряд [47)

оо

s “ S - '" ln( I + T ')

(И <

1

>-

п- 1

Используя разложение функции lnYl + —^

по степеням — ,

V

п J

п

+И [Ч1+ 7 ) - Т ^

----4-

1 - 1

ж*.

Зл3

4л4

п*J

/1=

1

Коэффициенты второго ряда в правой

части имеют

порядок

величины — .

л5

Улучшим сходимость первого ряда

5 ,=

(12пъ— 6 и2 + Ап — 3) 1

х п

2

л4 '

/1=1

Согласно (1.61), при р = 4,

v = l ,

P(«) =

1

2

я3 — 6

/г2

+ 4я — 3

и Q (« )= 1 2 /r4

находим

^ =

.

1

,

1

,

1

с4

=

— -

и

1 , с2

= — -

с3== — -

Я4

(/г) =

— 10/г3 — 9я2

— 18«.

С помощью (1.63) получаем

•Si =

« i ( l . * ) — І - й а О . - *) — -1«з(1.-«) — 1 « 4 (1 . х)~

(Юл2 + 9л + 18) Xя

п=1 12л4 (я + 1) (л + 2) (я + 3)

где uk{\,x)

(k — 1,2,3, 4) определяются по формулам (1.66)*

Тогда окончательно будем иметь

£ * " 1 п (і + ^ =

X) - 1

«2 (1 , X) — ІЦ 3 (1 , х ) ~

Л = 1

оо

где

Я=1

Д-

Юл2 + 9л + 18

+

ІП

Г + - К

0

12л4 (л + 1) (л + 2) (л + 3)

+т ) - л

2л2

1

1 — о Г -Ц

Зл3

+

4л4ІЯ4

\л 5

)

5*

67

5.3. С п о с о б у л у ч ш е н и я

с х о д и м о с т и т р и г о н о м е т р и ч е с к и х

р я д о в

Рассмотрим ряды вида

—

х пsin nt

(m > 1 )

(1.68)

SQ (n)

xncos nt

(m > 1 ),

(1.69)

Q(n)

х а sin nt и

Xя cos nt

n + s

n ■{■s

n=m

n=m

J ^xn+s-i enä ^

Ym+s—i emti

,

,

______

(1.71)

(|* | < 1

i ^ \ r r \ )

oo

m + s —l