книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

Я (ft)

_

Аі

,

А2

,

А,

+ a^(k),

Q (ft)

ft (ft +

1) + ft (ft

+ 1) (ft +2)

.. + ft (ft 4- 1)... (ft + p)

где

An(n =

1, 2,...,p) — неопределенные

коэффициенты и

a ( k )

— остаточный

член.

Коэффициенты Ап(п = 1, 2,... .р)

подберем так, чтобы a(ß)(k) = 0(k~p~l) (ß—>оо) и за

вспомо­

гательный ряд примем

В„

А,

ft (ft+ 1 ) (ft +2) + . . . + ft(ft + 1)... (ft

p) _

к~т

ft (ft 4 1) +

Ap

A l

+ '

+

...+

p-m (m +

1 -m

' 2 -w (m

+ 1)

\ ) ... (m + p — \)

CM.

n.

4.2). Тогда согласно (1.22)

оо

оо

r W )

к—тQ (ft) 1 -m

2 -да (m + 1)

p-m. (m + 1)... (m + p — 1)

где коэффициенты Ap можно определить

последовательно

по формулам

1 ) ... (k -г р)

п= 1

1,2,...).

(1.40)

(Р =

Пример.

Для ряда

вычисляя

Ар(р ==-- 1, 2, 3, 4, о)

по формулам

(1.40),

получаем

пять членов разложения Стирлинга

V£3+ 1 = 1 + 2−2! +

3-3! + 4-4! +

14

+ . . .

5-5!

•

*=і

4.7. Обобщение метода

Метод,

примененный в

п. 1 (4.6), можно

использовать

также для улучшения сходимости рядов более общего

вида

оо

ак сходится. Вы-

[64]. Пусть заданный положительный ряд

*=і

берем вспомогательный положительный ряд

s = I> *

(1.41)

*=1

где

r0 (k, i) = -^ 4

rn+I (Ä, *) =

r„(k, i) — rn(/•)

(i = n -!- 1...... p),

rn(*> n) —rn(n)

a>,

p —некоторое

положительное число.

Построим ряд с общим членом

р

Ч/е ~

о

где параметры Х(.(і = 0, 1, ...,р) определим

из системы

— 1 + 1] Ѵо(0 = 0,

1=0

+ L

\ r\ (*) — о.

(1.43)

i—1

4*

51

S =

(*-*;)>

ü-44)

s0— 0, st =

Yibn (t = 1, 2,... ,p).

n = \

Тогда преобразование

оо

оо

Е я * = 5 - Е ( и * - а * )

О -45)

ft=i

*=-і

р

р

ч - ч = S хА+і- ч = ч [£ Ѵо(л, і)—і] =

і=0

(=0

=

х/[го (А, і) - г0 (')] = «ft [г0 (А, 0) - г0 (0)] [Х0 + £ \ r x(k, i)J=

i=0

м=1

= «ft (г0(А, 0) -

r0(0)J 2 X, [гг(£, г) - Tj (i)j = ... =

/=1

СЮ

ОО

р

2 «ft = 5 -

2

«Ä П[Г/ (А, І) - Г, (г)].

ft=l

ft=l

/=о

_ //,

_ _

bk +l

і

а ( а —

г

.

ч2

;2|

г0(к,і) =

-----— а

1

2! ft

№ + і)2- і 2

аь

+ (а — 1) а (я 4- 1) [(і+

1)3- г 3

(а 1)— 1) а (а + 1) (а - f

2) X

3! ft2

1'

'

7

J

4! Ä S

Х[(*+1)4- г 4] + о ( ^ )

ос),

г0(і) =

lim r0(&, /) =

а —

1,

гI (k,

(6—>Д0 (ft, О

k-+<X>

І)

A t (fc,

0)

(А0 (k, і) = r0 (k,

i) ~

r0 (i)),

(k , i) = 2 i+

1,

гI (i) =

lim

k~*oc

r 2 (Ä, o =

Их (*. *) = Л

i.k,

i) -

r, (0 A0 (k, 0)),

Д, (ft, 1)

ra (i) =

lim Г2 (Л,

г)== ^ І І І ,

k-*-oo

4

r3 (*, 0 =

Л

(A2\k,

i) =

Д

(A, i) -

r2 (i) Д

(к, 1)),

(ft, 2)

4;3 -

3/8 — i

r3 (i) = lim r3 (A,

i)

£-*co

18

Используя найденные значения

r„ (i)

(1 = 0,

1,2,3),

согласно

(1.43) составим систему:

+ И +

X2 "Ь

------- 7 ’

^'o"Ь

+ 5Х2 + 7Х3 — 0,

а — 1

2>ч -{- 7Х2 -f- 15Х3 =

0,

ЗХ2 -j- 13Х3 — 0,

25

>ч =

-

23

,

*2

13

' >

"

■,

12 (я — 1)

12 ( а - 1 )

4 (а — 1)

12 (я — 1)

1

-

Согласно (1.44),

5 = А0 (s — s0) + 1 - 1

(s — S]) -Ь л, (s — s2) + l3 (s — s3),

где

частные суммы ряда

со

равны

ft-1

5 0 = 0 , « , =

1 -

2 1 - " , s 2 =

1 -

З 1- “, s 3 =

l -

4 1-~а

1

23

13

12 (а — 1 ) ( 25

2“—‘

Э“"

4'

Окончательно,

по формуле (1.45), получим

Y - 1= s

со

шЛ\к'S(:

(1.46)

ІЛ

k*

где

*=-1

ft^l

W

,

1

/

2 5

48

+

і—о

В-1

36

іб

<* + іу

(А +

(6 + 4)*—1

Л

2)“—1

(А + 3)а_1

/

и —---- ик= о ( —-—V

Следовательно, преобразованный

ряд

ка

VАя М /

СО

(1.46)

сходится быстрее

чем

ряд

.

В частности,

при

а = — согласно (1.46) имеем

*=і

5 ] - р г

=

2,45701 + V

(л*-«*),

*

(1.47)

где

ft-i* '^

*=і

8

1

25

k У k

6 V а

Ѵ'А - ы

V к

і- 2

3 V k + 3

1

/~ \/ 1 — 5,5 ,

2 V k + 4

0(/Гэ’°).

чем —

, и чтобы получить

сумму

с

точностью

до

0,001,

Ѵп

надо взять около 4000000 членов!

В преобразованном

ряде

(1.47) уже

первые

три

члена

дают . приближенное

значение

искомой суммы с точностью

до 0,001.

Проводя

вычисления

с верными 4-мя знаками после запятой,

имеем

y ~ L =

2,4570

з

2,4570 -

- +

13

+

£

<а*'

ih)

ЗѴ

LA kV k

6

/?=1 г

*=1

11________23_л

13

- 2,611.

6Jr'6

6 V5

6 У6

2

7

4.8.

Способ улучшения

сходимости, основанный

на применении формул приближенного интегрирования

Складывая тождества

ОО

со

со

к-ті

V/(/г) = | / ( л-)й,л' -|-£

[/(* )—

\

f(x)dx]

(і =

1, 2,... ,m),

ft= l

i

*= 1

k + i—1

имеем

oo

m

tx

\ f ( x ) d x y

oo

k-, TU

tn У r (h) = X

S

[m/(Ä) — j

f ( x) dxj ,

Ä=I

/'=1 i

k=\

k

или

со

tn

oo

П

V

r (A’) = — V; I f (x) dx 4- У

f (k) -f

mW

m іи У

LJ'

й=і

(=1/

*=i

oc

ÄH-m

—

è ) -----j- j

/ ( x ) ö ' ^ J

ft-lu

ft

(условимся

n

если n = СГ) .

Умножая

обе

считать YJ/(&) = 0,

части

последнего

ft= 1

на

некоторые

постоянные pnt

равенства

такие,

что

m

рп =

1

и

затем

суммируя по

и

от

0 до tn,

£

/1=0

оо

т о о

т

п

S І(Ä) =

J/(*)^ + У] Pn^f{b)-

fr—1

/= 1 і

п= 1

fe= L

CO

rn

fr -t- /Я

+

Pnf(tl +

— — j

(1-48)

*«1

П- 0

*

оо

т

fe-fm

S

п=0

^ j /(■«)^ j>

*=*1

к

А

Т а б л и ц а 2

т

A

j

В0

В, j

В3

Вв

В4

Bs

1 Во

В:

1 Дв

1

2

1

•

1

1

2

6

1

4

1

3

8

1

3

3

1

4

90

7

32

12

32

7

5

288

19

75

50

50

75

19

1

I

6

840

41

216

27

272

27

216

41 .

7

17280

751

3577

1323

2989

2989

1323

3577

751

8

j 28350

j 989

5888

-928

10496

—4540

10496

—928 J 5888

989'

1) значения

т = 1, pQ= pl = ~

соответствуют

формуле

трапеций;

2) значения т — 2, р0= -і-,

/?,== —,

р2 = - —

формуле

Симпсона;

6

'3

6

1

3

1

3) значения т = 3, =—, р1= р2 = —,

Рз = — — форму-

ле трех восьмых.

8

8

8

ряд [47]

Пример.

Рассмотрим

ос

* = 1

Применяя

преобразование

(1.48),

соответствующее

формуле

трапеций,

получаем

ос

5 = І

+ ± Ѵ ------ !----- .

5 = -8

іг2 ч- 3fe + 3________

l)*(ft + 2)*(ft + 3)s

4.9. П р и м е н е н и е

ф о р м у л ы Э й л е р а - М а к л о р е н а

п

+ (- ~ f / <2m_1)( * + D - / (2т“1) (Ä)] + (*},

(1 -49)

m—I

де

п > 1 — целое

число,

Rn {k) — остаточный

член,

В2т—

числа Бернулли,

которые

определяются равенством

оо

ez — 1

Y , ^ z ' 1

( |г|

<

2")

^

п\

и равны:

п = 0

•

B. ~ S

-

в >~Г2 ' В‘ = ~ І , ’ В^ Г б

В\2

—

691

о

_ 7

о

_,

3617

и т. д.

2730’

" 14“

6 ’

^ 16~

510

Суммируя

равенства

(1.49) по /г от

k = 1 до k = со,

полу­

чаем преобразование, улучшающее сходимость ряда

оо

оо

П

У] r n = JV w си -г -ш - 2]

ш +

&

(1.50)

(2/га)!

*=і

где

т = 1

ft+i

f(k) — f {k+ l)

Rn(b) = / (^) —

2

- V

l - ^ !- [ / l2ra- 1)(Ä+ l ) - / (2m- 1, (Ä)].

/72—1(2m)!

V

1

Уn

OO

Пример .

S =

fe-i

•

Согласно (1.50) при n = 3 имеем

58

OO

5

63£* + 126/fe3 + 98*2 + 35fe +

’ 35

äbS-

W(k + l)7

210 ,

k=i

Учитывая лишь два члена

полученного

ряда,^2будем

иметь

S ~

1,644936,

тогда

как точное

значение

S - - —ж 1,644934.

6

4.10.

Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим

задачу

об

улучшении

сходимости

рядов

вида

[14]

где функция /(х)

положительна

при х > 0 ,

дифференцируема

до ( р + 1)-го порядка

и производные от функции /(х)

явля*

ются бесконечно

малыми при х —<■оо, причем

порядок

мало­

сти увеличивается с ростом порядка производной.

По формуле Тейлора имеем

f (m}(2k + 2 ) = f m)(2k) -f 2 / {m+l)(2k) + ... +

+ _ 2 ^ п /{р)т

+ о

ір)

(А_

m = 0, 1,...

—1).

( Р

— /и)!

Отсюда

/ (я,+1>(2/е) =

1

д(«) (2/с)

(2Ä)

где ( р - т ) \

(2k) -f 0 ( / (/,) (2&))

( А - о о , /я =

0 , 1 , -

1

) ,

д('">

(2 /г )

=

/

(“ ) (2/5: +

2 ) - J

( т ) (2/5:).

Последовательно,

полагая

т — р — 1, т = р — 2 , , т — 0, из

последней системы находим:

/

(/’>(2/5:)

=

Д (р _ 1 ) (2/5:)

+

0

(

/ ( р ) (2/5:)),

/

(/' -

х) (2/5:)

= -j Д(/,_ 2 )

(2/5:)

-

I

Д

^ “

‘ ) ( 2 k ) +

0 (

/

( 2 k ) ) ,

f

p ~ 2 (2/5:)

=

—

Д №~ 3) (2/5:)

-

-

Д (/,_2> (2/5:)

+

2

2

}

(1.51)

-f ~ ^ {p~l)(2k) + Q(f^(2k)),

6

f^~^(2k) =

i

Д(р- 4>(2/5>) -

~ ^ p~Z)(2k) +

+

— \(P~2) (2k) + 0 ( /'(p) (2k))

6

И

T. Д.

Складываем полученные равенства, предварительно умно-

жая

соответственно на

1

1

1

~

— , --------- ,..., — . Тогда

р\

(р — 1)!

’ 1!

Р

(п

Р~1

(k-*oo),

(1.52)

^

^ ~ f k) = y i AnA(,,)(2k) + 0 ( f {p) (2k))

«=1

n=0