книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

со

1

сю

Г

ІІ ( 0 dt,

Г

У( 0

И (/) dt, і‘

У (О

Si (о dt,

J (МО

J

J

С Р іо

ci ( 0

dt,

Г

(0

Ei( - Odt,

Я( 0

/?(Odt,

,1 У (О

W

JУ

.f У (О

J

У (О

(О dt,

Ja(at)I p(W)dt,

Г

£ (

0

о

где si ( 0 ,

ci (/),

E t (О, /я(0

, /Са ( 0 — специальные функции

плит [42] (т (t) — заданный на

границе ^изгибающий

момент

или сила).

Пример. Улучшим сходимость интеграла

/ W _ j

t sin2 t

-V

Р +

по формуле (2,30) при п — 4.

Используя разложение

дроби

І(х)

(4.Ѵ 3 — 1) sin2

х

(2x2• ■ 1) sin 2x

cos 2x

4x4

12x3

12л'2

Sl(2x) — j

Ci (2x) + /„

где

si (2x) = — J

dt,

ci (2x) = — j

dt,

'lx

2x

/ _

Г

sinli 1 di

' ~ J

tHt* + l)

можно оценить методами,

изложенными в 2

i‘ /(/»di.

где / ( ^ — положительная функция

для t > а.

Пусть известна положительная

вспомогательная функция

? (/) (t > а), для которой существуют конечные пределы

1ітг*(г, JC|)“

fj(Xjf ( 6

— 0.

I .... .

n:,

i — k,

k + 1. ... , n), (2.31)

где

»о(/. ■*/»“

* О + Xj — а)

'ѴмР. •*,) =

1 k (6 Xi)

1 к (Xj)

f(t)

t'h(t, Xk) —

rk (*/,)

a<.JC0 <A: 1 < 4

... <^xn и n — некоторое целое число. Построим

новую вспомогательную функцию

П

■}(*) =

£ ѵ-рр т- Xj —ц),

і - 0

где коэффициенты к,(і*=0.

1 ......

определим

из системы

я

I

£

Л / 0 (X,) «

1.

.'—О

П

Н + £

Ѵі (*/) = О.

п

(2.32)

' І ' ( 0 - / ( 0 = / ( 0

[ £

Ѵо(*.

=

/ =

0

=

f i t )

п

X,) -

r0 U,.)] =

I

M T

( = 0

= f(t)\r0(t, x0) -

r0(*„)] [x0+

2

Vi(<. xi)1

/=i

=

••• =

h f ( t )

П

\ n(f

x f

- П (•*,)]•

f= 0

J / ( 0

dt =

У I ß

(X,.) -

л„ j

f(t)

П [г,(t, X,) -

г.(л:,)]dt

;=о

U

/еяО

ИЛИ

\ f{t) dt =- V

А, В ( Х і ) + j

[/(0 -

I

k#it +

Х , -

a)] dt. (2.33)

1 = 0

а

І—О

Пример.

Пусть дан интеграл

/ (а) -=

Г -

dt

(а > 2).

• '

1 /

? + \

2

V

y{t) = t

а

= 3, x t = 4,

Принимая

2, /г =

1, х0

имеем

У( t) =

(t

_ iL

a

+

1)

2 +

А, (^ + 2)

2 ,

Xi

a

2 —а

2

ß(x) — Г t

‘2 dt = — — (a > 2)

.)

2

— я

s'(у ) - 5 Х

/

(у=?(Л).

(2.35)

* =

0

ѵдовлетворяюіций дифференциальному уравнению

+

J

1 = 0

( y

= <p(Oh

(2.36)

fly V / (t)

Если

ряд (2.35) сходится

при

д | < / ? ,

т 0

несобственный

интеграл

(2.34) представляет

собой

сумму

ряда

Ь

оо

ос

Ihn [/(Ой (0

£

- ffxfgix} £

1

0

!?(*)!<

А».

(2.37)

Действительно, иутем

замены

y = <pU)

уравнение

(2,36)

можно привести к виду

Л -|/(Л й(Л б’(9(0)| = fit).

(it

откуда следует соотношение

(2.37).

lim

g( t) + g' (t) I — с Ф 0 .

t->b I / (и

J

6

В данном

случае

/(О

-------2 ---- = 0

(

(*-* 0 )

t ( t +

1)

V

и для функций

выполняются условия а), в) в области [0, оо). Имеем

^

^

g (t) +

g ' (0

=

1 ~ ----- —

=

1 — а -+

«У,

/(f)

* ѵ'

s w

f + 1

и

оо

S O ) - 2

«,У

(■>>=

,- f r ) -

Ä = 0

Подставив полученные значения

f f /f\

t)

для ~ ^ ~ g{t)+g'(t),

и S(.y) в уравнение (2.36), получим

оо

оо

(У-У*) S

ka*yk~l + ( 1

- а + <*у) Е Л*У — 1

—0 ,

k-l

*=.<)

из которого находим коэффициенты ak (£!> 0 )

а0 ■

(ft — а) (А +

( k > 1).

1 — а)

Ряд сходится

при М < 1 ,

т. е.

для

х > 0.

Окончательно,

согласно

(2.37), получим

X

О О

I' ft+ÄYні_____«-*

(* +

n

(0 < а < 1, jf > 0).

J W

/

2 J

(A -

a){k +

1

- <*)

0

k=0

Пример

2

. Для интеграла

f* cos* t

< 1

,

0 < x < j )

имеем g ( 0

= tg(,

<p. ( 0

= tg2* и

\™ £ ± dt =

•J sin^ t

(cos жx)1 “

oo

2fe x

X

' _ J _ .

V

(a — 1) (я —

3)... (а —

2fe + 1)

.

J - ß

Z j

(1 — P) (3 — p)... (2* +

1 - P )

ë

<6= 1

Пр и ме р 3.

Рассмотрим интеграл вида

1 Лг+(/)Л = -

*

+1 e*w S «/6 ^"ß.

(2-38)

/6=0

где

а0 = -----

и остальные

коэффициенты определяются из

а + 1

рекуррентной формулы

а„= - -ß(Ь-‘д*- ‘— ■^ -g-*- »-±--^ +.*£*ao)

( Ä > i t ^, =

0 , і>л) .

1 + a+ k$

Так для интеграла

о о ___^

^

І ( х )

=

у

2 е 21Ъ dt

( х

> 0)

на основании (2.38)

при

3

ß =

— 3,

1

bk = 0

< * = - - ,

= —,

(& >

1 ) получаем

1

1

оо

(_ 1)62-3*

І ( х ) =

х

2е 2х‘ S.,::(66 + 1) х зк '

6

= 0

В частности,

при д; = 2 имеем

1

1

1(2) = 2

2

е 1 6

( 2

- ^ 3- +

9

-

...) «,1,4271.

4

7-13-32

Ограничиваясь

записанными

членами,

находим

значение ин­

теграла с четырьмя верными знаками после запятой.

[x +

s]

Xi 4- su x2+ s2...... xk + sk,

[x ± 1

]

X1 +

1 , x2± 1

,...,

xk ± 1

,

\x,

i,

ct]

X

j , ,

X/_iy

1!.■. I

(i

0, 1,..., k),

причем,

[x, k,

a] =

[a],

[x,

0 ,

a] =

[x],

[m,

i,

0 ]

mi, -

■mk-i, 0 ^

© II

Ä),

11 Г:

[m,

i,

со]

i -

8

о

ft),

l

II

[ x ,

i, — 1

]

X|,

,

Xk_i,

(i = 0

,

1

,...,

k — 1 ),

причем,

[x, 0

, -

1 ] =

И ,

aw

"s....."ft «

Eain, и л!

2 J

1

a n„ <nk —i' р к — і + і ' " •Pft>

fr 1

о

а

[pi

P '... р к

S

а п и ,.

191

ч .... **

d\t\

dtxdt2... dtk,

OO

oo

lf\t\d [ t\

j

... [ f ( t x, ..., tk)dtx...dtk,

0

k

0

j‘/K i, x\d\t, i,

oo

oo

хк_п ѵ ...,

xk)X

— 1]

j ...

0

0

k—i

1 , ...,

k 1

X dti ... dtk_h

(i = 0 ,

),

[ » 1

-*■ xk

£ / И Д < 1

“i

I 1 ^ 1’... , tk) dtx.

1 ®]

-*

1

.... 1

" +"к а

Ai ^j

«HI

S

(-- I ) "' 4 '

U[m+n\'

'1Г’

tn] = 0

До... oio ... ad.

«"*■....

—

... ,

ml—\'

m.

°a|ml

д Ч

It]

a*/(f,.....tu)

d[*]

dtx ... dtk

\ \ n i /»]} конечное

множество

элементов

А или

соотно­

/=о

Д и с к р е т н ы е

(точечные)

о б л а с т и ^-мерного

п р о с т р а н с т в а :

<о[/ге,

0

< пх< тх— 1

,..., 0

<

< mk_ i~ 1 ,

і, оо]:

< %_m

< oo,...,

mk< n k< оо,

{rtit > 0 ; і = 0 ,

1 , . . . ,

k),