книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

/і= 1

н - 1

последовательно ѵ раз преобразование

(1.16) при о (я) = In я"

получим ряды Бертрана

со

S A р ) = Y . ---------- ----------- (ѵ — 0,

1, 2, . . . ) , .

,Ип '

{п) (ІП' ПУ

где

lnvп = In ... Inп,

1пѵ/га>0,

1п0 п — А0 (п) = п, \ (п) =

п In п 1щ п ... 1пѵп.

С помощью признака

Ермакова

можно

показать, что по­

лученные ряды сходятся

при р > 0 и

расходятся при р < 0-

Более того очевидно, что общий

член

ряда Sv(р) стремится

ряды Sv(г) и Sv (R),

что

Sv (R) < S /(я ) < 5 , (Г),

где

п~т

г= inf рл, R = sup р„,

0< r < R < со,

гі^-т

rC^rti

Рп

1ч Д (п)/ (/г)]

(п > т).

1пѵ+і 11

J

dx

к U )(ln, л:)Р

р (lnv m)p

т

R(ln4 m)R

< £ А") <

- ( І П ѵ (т + 1 ) > 0 ) . '

' L i ' ' ' '

r(lnv (/и — 1))'

v

п = т

Пример.

Рассмотрим

ряд

-----------< У}

-------- !-----гг <

------- --------- (т > е + 1).

(а— 1) (Inln т)')а 1

я ln“ я — I/ п

г [Іи (яг 1)Б

оо

«*.

(А)

k=\Е

оо

Яя = Е & *

(«>!)•■

(В)

k ~ n

ния асимптотических

равенств для

остатков

рядов, сходя­

щихся по некоторым конкретным признакам сходимости.

1) Если ряд (А) сходится

по признаку Куммера, т. е.

п->~°о

\

ап

/

где {сп\ — некоторая

последовательность

положительных чи­

сел, то получаем следующее асимптотическое равенство

V akr^ - j ( c nan

lim ckak) {/i—>oo).

k=n

k-+<x>

Пример. Для ряда

со

S (k+\)ka

> 0)

примем ck = k + 1. Тогда R = a,

lim ckak = 0

и

£

1

1

(n

со).

(k + l) ka

a~nа

k=.n

Д-198— 3

33

a k + \

= 1

1

.

С + 0 (1)

, ,

I

1

^ А \

Як

—

+

■

"■..(k-+oo,

с-т 1 <

0),

k

k ln k

то будем иметь асимптотическое равенство

U

сіи

апп ln п

(tl —> оо).

с +

1

k=n

Пример.

Для

ряда

оо

У1 — -

с =

— а и

ft=2

fein" k

^

k

1пс

1

1

а—1

( f l - * со,

а > 1 ) .

ft=n k ln“ k

(г — 1) (ln п)

4)

Если f(x) — положительная

монотонно убывающая при

00

х > \

функция,

и интеграл

\ f (х) dx

сходится,

то получаем

асимптотическое равенство

1

со

оо

]Г] /

(£) ~ - ^

j /(•*)

(я-*°°).

где

к=п

Пример. Для

функции f ( x ) - ~ -

(а >1) имеем

Л і

1 — (я — оо,

а > 1).

(1)

(а — 1) ri

3- - Л - ?

* >1)-

А—1

которую запишем в виде

оо

оо

ft=l

к=Пл+1 к*1

Но

Ü k°

= '(a)

и,

согласно

соотношения (1),

1

________1______

(n

oo).

U+ 1 k*

(a- l)(n + l)—1

Поэтому

1

►OO,

S„

C(«) +

(

a - l H /

i +

l )

<*>

1),

- 1

где

С(л:) — дзета-функция Римана

[12].

равенств будет рас­

Метод улучшения

асимптотических

смотрен

в следующем параграфе.

§ 4. УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ

При вычислениях с рядами

имеет большое

практическое

значение вопрос о быстроте сходимости ряда.

ос

Ряд

Y. bk называют сходящимся более быстро к своей сум-

ме,

чем

ряд У ак, если.

ft=1

lim - ^ = 0.

(1.17)

£ - * ОС

Я &

В случае, когда ряды У ак

и

bk положительны, из ус-

ловим (1.17)

следует

*=і

lim —

----= 0 .

(1.18)

/7-00

°°

О < — < е

а*

для всех к > Д'г

или

0 < bk < saA. Суммируя эти неравенства

по к от к = п до

к — оо,

получаем

0 0

ос

О <

У>Ьк<£ У ak (п> N)

к — п

k = n

3 *

35

0 < - ^ ---- < s (n> N ),

оо

ak

2

k^n

что равносильно равенству (1.18).

оо

оо

Любое преобразование,

сводящее ряд

ак к

ряду У] bk

A-=l

*«=1

ft-i

Пример . Рассмотрим медленно сходящийся ряд [3]

оо

и

(1.19)

*1 , 0 0 1 •

но быть

выбрано так,

оо

1. Данное условие

чтобы £ £-1'001 <

А=л+1

выполнится, как только

Г ^ к < 1 .

(1.20)

J

X

Вычисляя

интеграл (1.20), получаем - Qwi

< 1 или п > ІО3000.

оо

é - f 1

dx

CO

1000,

S

J'

1000

\

X 1,001

(*+ 1)0,001 J

ft=i

k

—1

с помощью которого ряд (1.19) можно преобразовать

к виду:

оо

юоо

+

1000

\

*0,001

(* + 1>0'001 )

‘

£=1

со

Е ак

( 1.21)

k=m

найден такой сходящийся ряд

«.= f

(В)

к^т

что существует

конечный предел

lim ^ - = R ^ 0.

k*+oo

üfo

Тогда имеет место следующее тождество

S a‘ - v

+S ( a‘' ^ ) ’

<L22)

которое называется преобразованием Куммера для ряда

(1.21).

Преобразование

(1.22) улучшает сходимость

ряда

(1.21), так

как общий член а* = ak

h

преобразованного ряда

£ Д"

R

ßV'

к = т

стремится к нулю быстрее,

чем

ak,

т. е.

Оче-

lim —-— = 0.

видно,

чем быстрее отношение —

k-t-oa Ok

будет

стремиться к

своему конечному пределу

R ^ 0,

&k

быстрее

будет схо­

тем

диться ряд в правой части (1.22),

Процесс улучшения сходимости данного ряда (1.21) мож­

но продолжить

неограниченно.

Это

осуществляется

путем

применения преобразования (1.22) последовательно

несколько

раз или

путем

изменения

вспомогательного

ряда (В) так,

чтобы члены преобразованного ряда в

правой части (1.22)

стремились к нулю быстрее.

Предположим, что ряды

В{т = Е №

(я =

0,

1 ,.-.,р)

к=т

1)

суммы В {т

(п = 0, 1

известны,

2)

существуют

конечные пределы

lim Rk ]— /?(л) ф 0

(л = 0, 1, ...,/>),

k~>oo

Тогда, полагая

М."1

1

в(«);

где

lim е<'!>=

О,

после

fit")

"

ft-oo

кратного преобразования ряда (1.21) получаем

оо

ОО

//

к=т

RVi)

£=/w

и—0

(1.23)

Иногда, начиная с некоторого

я

все

s^) = 0, н сумма

ряда

вычисляется точно.

(1.23) последний член приравнять

к ну­

Если в равенстве

лю, то получим асимптотическое равенство

для

остатка

ряда (1.21).

р ң(к)

“

к—п

(/г^ ° ° ’

n>rn)-

1________

(т - 1) !

(Р> 2).

1)... (к + р~\)

(р —1) (от + р —2)!

S2

И т.,д.,

а

2

3

4

5

6

7

8

5 ,

1,6 4 4 9 3

1 ,2 0 2 0 6

1 ,08232

1 ,0 3 6 9 3

1 ,0 1 7 3 4

1 ,0 0 8 3 5

1 ,0 0 4 0 8

а

9

10

11

12

13

14

−

15

5 ,

1,00201

1 ,0 0 0 9 9

1 ,0 0 0 4 9

1 ,0 0 0 2 5

1 ,0 0 0 1 2

1 ,0 0 0 0 6

1,0 0 0 0 3

случае

в

тождестве

(1.22)

положим bk= ckak— ck+lak+1 =

= — A (ckak), где {ck}

некоторая

положительная последова­

тельность,

для которой

lim ckak = 0, lim А{с^

= -£ > ф 0 .

fc-»-oo

£ - * о о

Ü f z

Тогда

на основании (1.22) получаем преобразованный ряд

со

оо

k = m

k=rn

(1-24)

Рассмотрим на конкретномпримере улучшение

сходимости

числового

ряда путем повторного

применения

преобразова­

ния (1.24).

Пример. Пусть дан ряд [47]

оо

5 =

/г=і

~

1)644934...),

5 = 1 + у !

----- ------- .

U

А*(* + 1)

А=1