книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

#(a,. > 0, хг > a., Z= 0, 1,..., £),

иIV сокращенные обозначения объясняться не будут.

§1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И УТВЕРЖДЕНИЯ

Рассмотрим бесконечную последовательность непустых конечных подмножеств ы0, их, щ ,... множества 2 для которой выполняются условия

(2 \ м г):э ( 2 \ к , + 1), г = 0 , 1 , 2 ,...

110

может соответствовать один и тот же определенный гео­ метрический образ A-мерного пространства, например,

который назовем бесконечным А-кратным числовым рядом или просто А-кратным рядом, а числа а^п]— членами ряда.

Каждую из конечных сумм Аиг назовем частной суммой А-кратного ряда (А).

Итак, все множество чисел а[Гі] разбивается на непересекающиеся классы. При этом каждое число а[п] соотносится

бам (3.3), параллелепипедам (3.4), отношение порядка между классами определяется значениями г = 0, 1 , 2,.... В послед­ нем случае отношение порядка между классами может быть

Совершенно ясно, что отношение порядка между классами чисел а(п! является основополагающим в определении пре­

дельного перехода. Принятый предельный переход для чис­ ловой последовательности { AUr } является конкретной реали­

зацией предельного перехода по фильтру [9] и, в частности,

111

по направлению [50], которое определяется последователь­ ностью непустых множеств

( 2 \ « , ) с : 2 , г = 0, 1, 2 , . , .

Бесконечный ^-кратный ряд (Л) назовем сходящимся, если последовательность {Ааг} имеет один и тот же конечный

предел при г —*оо независимо от выбранной последователь­ ности {«,}, и расходящимся во всех других случаях. Число Л, являющееся пределом последовательности {AUf. } при г —►

—»оо, назовем суммой ^-кратного ряда (Л).

Теорема 1. Пусть задан k-кратный ряд (Л) с положи­ тельными кленами. Если для некоторой последовательности {иг\, удовлетворяющей условиям (3.1), AU/, —*Л при г —*оо,

то и для другой последовательности {u's }, удовлетворяющей тем же условиям, Аи>—>А при s —*оо.

ных рядов с положительными членами для конкретного спо­ соба построения частных сумм АиГ, т. е. для определенной

выбранной последовательности {иг\, не теряет своей общности в целом. Это позволяет обобщить рассмотренную в первой главе схему вычисления знакоположительных рядов на k- мерный случай, если воспользуемся суммированием чисел а(п) по ^-мерным точечным параллелепипедам и, в частности,

по ^-мерным точечным кубам.

Пусть числа а[п] положительны. Определим ^-кратный знакоположительный ряд (Л) последовательностью конечных

Назовем ^-кратный ряд (Л) с положительными членами сходящимся, если существует конечный предел

Л = Й? Лі«-ч (l"*l °°’ Н £ °[*і)

и расходящимся, если этот предел равен + оо.

112

Ясно, что предельный переход здесь понимается в соот­ ветствии с введенным отношением порядка между классами чисел а[п] при суммировании их по Ä-мерным точечным па­

раллелепипедам.

Если в 6 -кратном ряде (Л) отбросим числа, входящие в частную сумму (3.5), то получим остаток ряда:

нулю, причем стремятся к нулю и все его части, и обратно. Представление остатка ряда равенством (3.7) не един­

Для общего члена ряда (Л) можно указать аналитическое выражение

« w - S H l 'M A , , , . . - , , ! .

1=0

Нетрудно убедиться, что' необходимыми условиями сходи­ мости 6 -кратного знакоположительного ряда являются

Можно показать, что справедливы следующие утвержде­ ния.

Теорема 2. Для того, чтобы ряд (Л) с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы все его частные суммы были ограничены.

Теорема 3. Пусть заданы k-кратные ряды

с положительными членами и существуют такие [/V], что.

сходится, если сходится ряд (В), и ряд (В) расходится, ес­ ли расходится ряд (Л).

Тогда ряд (Л) сходится, если сходится ряд (В), и ряд {В} расходится, если расходится ряд (Л).

§ 2. ОБЩИЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ й-КРАТНЫХ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ И ОЦЕНКА ИХ ОСТАТКОВ

Пусть задан ^-кратный знакоположительный ряд (Л). Вы­ берем знакоположительный ряд (В) и для последовательности

Из неравенств (3.12), в частности, получаем следующий

114

Общий при з на к с ходимости:

Если R > 0 и ß[m] < оо, то ряд (Л) сходится, если же R < оо и ß[m| = сю, то ряд (Л) расходится.

В случае, если ряд (Л) сходится, неравенства (3.12) мож­ но использовать для оценки остатка ряда:

Оценку (ЗЛЗ) можно улучшить, разбивая область 2 [/га] на области (о[/га, і, сю] или 2,.. Действительно, исходя из очевид­ ных неравенств

Согласно теореме 1, нахождение пределов R и R при ус­

тановлении условий сходимости ряда (Л) может происходить при стремлении [га] к бесконечности по любому закону, не только при условии, что [ra]^2 [„j, а, например, при условии

га, + ... + raft—>оо и т. д. Однако для получения оценки ос­

татка ряда (Л) в нашем случае существенным является спо­ соб суммирования чисел а[п] по параллелепипедам, когда

[ra]£2[„j. Этот факт позволяет на практике в некоторых слу­ чаях облегчить задачу вычисления ^-кратных рядов.

Выбирая конкретным образом ряд (В) на основании об­ щего признака сходимости, можно получить различные до­

115

чтобы сумма его вычислялась. Такой ряд можно построить, например, следующим образом: задаемся числами z(n) и опре­

деляем общий член ряда (В) равенством

Тогда

(3.17)

и для остатка ряда (В), имеем

В заключение заметим, что при установлении достаточных условий сходимости знакоположительных рядов всюду будет предполагаться выполнимость необходимых условий сходи­ мости (3.9) и (3.10).

§3. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ А-КРАТНЫХ РЯДОВ

СПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ. ОЦЕНКА ИХ ОСТАТКОВ

3.1.Аналоги признака Куммера

1*. Кратный ряд (А) с положительными членами схо­ дится,, если можно подобрать такую последовательность положительных чисел с{п], для которой

1) 0 < Cjnjßjnj <С.с <[ оо, [/г]

и расходятся ряды

с\ " \

*См. также [49].

116

\ п \

>0 и при выполнении условий 1 ) признака является ко­

нечной. В этом случае по общему признаку сходимости ряд

(Л) сходится.

ß[m] < 0. а следовательно, и главная часть остатка ряда (В)

' t l <

ГМ = lim (— 1 ) S{cim,i,p]aim,i,p]\-

р* <==о

Отсюда получаем, что выполняется, по крайней мере, одно из неравенств

так как в противном случае = £[m] а[т] > 0. Тогда для лю­

На основании теоремы 3 из § ^окончательно устанавливаем, что ряд (Л) расходится, если R < 0 и расходятся ряды (3.19).

Если ряд (Л) сходится, то, согласно оценке (3.13),

где ß[mJ определяется соотношением (3.20).

Для оценки остатка ряда (Л) можно также воспользо­ ваться неравенствами (3.14) и (3.15), используя соответствую­ щим образом соотношение (3.17).

117

в силу выпуклости вниз функции f(t) = t2 для ^ > 0. Итак, условие 2 ) признака также выполнено и, следовательно, дан­ ный ряд сходится.

118

\

иоценка остатка ряда определяется неравенствами (3.21).

Вчастном случае,

0,0027 < ос6 6 6 < 0,0860.

Полагая же сЩп2п3 (ді + п\ + п1)2>на основании оценки (3.21), получаем

где т — шіп {тл, т2, т3) и

0 < аб, 6 , 6 < 0,018.

Таким образом,

0,0027 < « 6 6>6< 0,0180.

2. Кратный ряд (А) с положительными членами схо дится, если можно подобрать такую последовательность положительных чисел с. ., для которой

119