Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

где

R m — SUP				(Ck+\a k+l	C*+Z+la A+/+l)
И	fc>mö/f

/?,„= inf		öft	(ck+iak+i		ck+i+iak+i+i) ^ 0.
—	k>m
Из общего	признака			Куммера при частных предположе
ниях относительно		последовательности {сп} получаются раз

личные достаточные признаки сходимости. Некоторые из этих признаков будут рассмотрены ниже.

Если положить I = 0, то из		вышеуказанных		заключений
получается следующий	в п р е д е л ь н о й		форме. Поло
Пр и з н а к Ку мме р а
жительный ряд (Л) сходится,		если можно	подобрать та
кую последовательность	положительных чисел			с,, с2, с3, ...,
для которой
R = Um Rn= lim (ся —сп+х 2O±L \ > о,
П-+00	П-+&0 \	/

и ряд (Л) расходится, если R < 0 и расходится ряд

В этом	случае		остаток	ряда (Л) вычисляется	но фор
муле (1.4)	при	/ =	0.
Пример.		Пусть дан ряд
			со
		5 ( a ) = y j _		^ ------- .	(1>

ЦП«(п + \)

Следует заметить, что сумма этого ряда не может быть непосредственно вычислена на любой современной ЭВМ, если только а взять достаточно близким к нулю.

Сходимость ряда (1) можно установить с помощью приз нака Куммера при сп = п+ 1. Имеем

П _г		_ г		“я-И
^ п	С / с п+\			"	>
				а п		— V*1 == а.
R = limRn=	lim\п +		1	—	п(\ +	— V*1 == а.
Г2->00	П-ЮОL				\	tl J	J
Ряд сходится при а > 0 и расходится						при а < 0.
Рассмотрим Rn = R(n)		как		функцию		непрерывного аргу
мента X. Тогда
R' (х) = (х+	Ip . {(X +			1)" -	хя-	а*'“1] =

1 V

1 -

= ( 1 + т П ( 1 + т ; ■

■2)

+ т

я (а -

З'.х*

2х2

Отсюда ясно, что в области

хУ>т> 1 R' (л*) > О

при а > 1

и /?'(х )< 0

при

0 < а < 1 ,

т. е.

функция

R(x)

области

х > т монотонно возрастает при а >

и монотонно

убывает

при 0 < я < L Поэтому

Rm= R (т) =

т + 1 — та(т + 1 )1_®,

Rm=

lim R (и) = а

—

Я-*» со

при я > 1

Rm=

а,

Ä>,„ =

/» -И -д а " (т -f 1 f ~я

при 0 < а <

при

1 = 0 и

« 5

получим следующую

Согласно

(1.4),

оценку для

остатка

ряда

{т г I)*"1

(т

!)■

( 2)

ят

па (/I -f- 1)

[(т +

1)а —

т а] та

п—т

Очевидно, оценка (2) при я = 0 не имеет смысла. Непосред ственная проверка показывает, что в этом случае ряд (1) расходится. При я = 1 и т — 1 из оценки (2) получим точное значение суммы ряда (1), 5(1)== 1.

С помощью двусторонних оценок остатка можно вычис лить сумму ряда с любой точностью. Вычислим, например,

сумму ряда для « = “ с точностью до ІО-4. Для этого

найдем наименьшее значение т, для которого разность между правой и левой частями неравенств (2) при я = —

была меньше —-— . Таким будет т = 9, следовательно,

2.1Q4

0,00166 < У!	----- < 0,00177
U V nHn + l)
и окончательно 0,58895 < 5	< 0,58907.

2.2. Признак Даламбера

Положительный ряд (Л) сходится, дели

lim - — -- == г < 1, л~>оо ап

В соотношении (2) берутся верхние знаки неравенства при к > 1, нижние при я < 1 и знаки равенства при я = 1.

и расходится, если

Um -gg±i- = г > 1.

1 1 —ю о

^ Л

Этот признак получается из обобщенного признака Куммера при сп=1 и 1 = 0. Из неравенств (1.4) при сп = 1 и 1 = 0 получим оценку остатка ряда

	,	. г	- < У, <			1 — sup
	,	. г	ak+l	11=111		1 — sup
где			hl	Ляі
где	1— inf -------						£>m
		ft>m	fl*				£>m
				sup —^4-L <			1.
	При ме р	1.			Я/;
	При ме р	1.
				2"/i*
Здесь				11= 1	1 /	и	V
Здесь
		lim		= lim
		lim		= lim		1*fп
		1 1 - > о о	Л »	n-*-oo 2 \		1*fп

(1.5)

ak м

и ряд сходится по предельному признаку Даламбера при любом фиксированном а. Согласно (1.5) имеем

2i-mm-g (1 + mf _	2 1 —т
2(1 + mf —та ^	(т > 1)
2(1 + mf —та ^	2ппа

в зависимости от того а SO.

В частном случае при а = —, т == ^ будем иметь

0,0119 < V] ——~— < 0,0128

Lâ Ѵ п 2п

п=б г

ис точностью до 10 3 находим значение суммы ряда

оо5

— =	~ У! — = — + 0,012 « 0,807.
У „ 2"	У п 2п
П= 1	л—1

Пр и ме р 2. Определение времени обводнения нефтяных скважин в пластах с подошвенной водой сводится к вычис лению рядов вида

пг"

(1>

(4л2Л2 — г2)2

1 1 = 1

	оо	г	(2)
		г	(2)
	(4n2h2— z2)2
	л - 1
где 0 < г <	1, 0 < г < Л. Ряды (1) и (2) по предельному приз
наку Даламбера сходятся.		Легко проверить,	что последо-
вательности	-?^±L. (п > 1)	для. рядов (1) и	(2) монотонно
возрастают	и

Ііш tl—^oo Hfl

Поэтому, согласно (1.5), получим оценку остатка рядов

	а		<		> х <	(Хп	(т > 1),
		-	<		> х <	,	(т > 1),
		«яі+1			U	1 —Г
				п—т
где ап — общий	член		соответственно				ряда (1) или ряда (2).
2.3.	Обобщенный признак Даламбера
Положительный ряд (А) сходится,							если
				а“ — а“ ,,			(а > 0),
	Я = lim— ----- 2±L > 0						(а > 0),
		Л -> о о			а П
и расходится, если
R		Um				< 0 (а > 0).
		П - + оо
Доказательство. Пусть				Ьп = ап—а„+\.			Тогда
		Вт=		оо	bn = dm— lim .
		Вт=		£	bn = dm— lim .
				/z—m		П-+ЭО
				/z—m
Если Я > 0,	то Вт> 0 и конечна для т > N. По общему
признаку ряд_(Л) сходится.
Если же Ж	0, то аЛт — алп < 0, т. е. ат < ап для «> т> N
и ряд (Л) расходится,			так как не выполняется необходимое
условие сходимости ряда,					1 і т а п = £ 0 .
В этом случае		для		оценки остатка ряда можно приме
нить соотношения		(1.2) при
	Я*				l k+ 1	В.,
	Я*				ап	В.,
					ап
Признак Даламбера				является		частным случаем рассмот
ренного признака		при	<х=		1.

Пример.

Рассмотрим ряд вида

ая, «„ =

«”(1 + 0(1))

(я- -О).

_1_

л=і

При а = 1

R = R — lim

Й„ — а,'fl-hl

3 - 1

и ряд сходится,

если ß < — 1, и

расходится,

если

? > — 1.

оо

В частности для ряда

У ]—

ß = —2,

а = —, Rk — —-— .

п2

k + 1

л = 1

По формуле (1.2) будем иметь

п2

т2

2.4.

Признак Раабе

Положительный ряд (Л) сходится, если

lim п ( 1 ---- ) > 1,

и расходится,

П - М so

а п

если

lim п{ 1

аПА-1

П-* оо

Признак следует из обобщенного признака Куммера при

сп— п — 1, / = 0.

Пример. Ряд

4п +

(-•!)»

4л3

по признаку

Раабе

я=і

как имеем

сходится, так

lim п ( \ ---- =

\п --------------—-4-?1-

+ 4 - ( - ] ) » ]1 _ 1

+ (— I)"]

- 4 > 1 .

П-*со С

а п

)

(и +

1)3[4л]

Используя

признак

Куммера

при

сп = п,

нетрудно до

казать

2.5.

Признак

Гаусса

Если

ап.\-\

лл +

рпх 1 Q + б (В)

(II

со),

ап

n^ +

q n ^ i 1 + 0 (1 ))

/яо положительный ряд (А) сходится при q — р > 1 и рас ходится при q — р < \.

Замечание. Если ряд	(Л)	сходится по признаку Раабе
или ГауЬса, то	т.	е. \Шпап — 0.

Пусть, например, ряд (Л) сходится по признаку Раабе.

Тогда для k > N k(ah~ aÄ+1)> ak или (k —1 )ak— kak+l= bk > 0

(&>.V) i i ö < £ bk= {N— \)aN— nan+l < (N — \)aN. Возра-

ft=/V

стающая и ограниченная последовательность частных сумм

bk имеет предел

*=/Ѵ

		S	bk = (W -- 1) aN- lim пап+и
	k—N						lim пап+1 — с,
следовательно,		существует предел					lim пап+1 — с,			где	необ
ходимо	с — 0.	Действительно,				иначе —ввиду			расходимости
			со
гармонического		ряда ^		—----и		ряд	(Л)	был	бы	расходя-
			п—І
щимся. Итак lim tian+] = Um пап= 0.
Пример . Гипергеометрический ряд
Е			а (е + 1)	... (а- + я — 1) Р (Р +				1) ... (ft + Я -		1)
Е				и! Г(Г+ В - (Т + Я —1)
п=т			(а >	0,	ß >	0, 7>	0)
			(а >	0,	ß >	0, 7>	0)
сходится	при	а + ß < 7		и	согласно		(1.4) при		сп — п,		0
имеем оценку			оо
			оо	________ (т + т) «Дщ_________
				________ (т + т) «Дщ_________
		п—т		(т	+ г) (7		— (7 ~ «) (т — Р)
		п—т
	2.6.		Алгебраический признак Коши
Положительный ряд				(Л) сходится, если для некоторого
фиксированного		р < 1

Пт ІИ > о,

Я —> о о

и расходится, если при р > 1

0 < lim — < со.

п-кк ап

Этот признак является следствием общего признака схо димости при Ьа — рп. Если сходимость ряда (Л) установлена,

.15

то,

согласно (1.2),

будем

иметь следую щ ую

оценку

остатка

ряда:

(1 -

р)Rn

а„ <

( 1.6)

О -

Р) Rn

где

#m = SUp-

ак

-- ini ^

fe>m

k _m

Л*

Пр и ме р

1. Рассмотрим

ряд в^ида

оо

S ?(«)(* +

сп*т,

где

lim cp(п) =

b > 0,

а > 0,

? <

—1

и с — постоянное.

По-

Л*-Ѵсо

Тогда по

алгебраическому

признаку

ряд

схо

ложим

р = а.

дится

при а <

и расходится

при а ^ І .

Пр и ме р 2.

Ряд

(О < a < 1)

сходится, так

как

р =

а < 1

lim

lim '■)/п =

1 > 0.

ІРРРі

а п

п-*с°

П/--

для

убывает. Поэтому,

Последовательность \\ п )

согласно (1.6),

имеем

а m

со

а m

(1 — а) у m

1 —а (m >

3).

2.7.Интегральный признак

1.Пусть функция f (х) положительна и монотонно

убывает для всех х > т — 1. Тогда ряд

оо
S /(«)	(1-7)
п —т

сходится или расходится, смотря по тому, будет ли схо дящимся или расходящимся несобственный интеграл

оо

J f(x)dx.

При э\о м имеет место

простая оценка

для

остатка

ряда:

оо

J f ( x ) d x <

f ( n) <

f(x)dx

(rn> 1).

(1.8)

TU—1

Докажем

неравенства

(1.8).

Справедливость

признака из

них следует

немедленно.

полагая

Воспользуемся

неравенствами (1.2),

п+ 1

Тогда

Ьп =

Пj

f(x)dx.

я+1

ѣ о

]

dx,j

Rn/=(■*)

f(x)dx <

n=m

■)

Полагая

f{K)dx<n*=m£ f(n

аналогично получаем

K = n—1iu)dx,J

/ (

dx. j

/(■*)

rn—« )l <

(1.9)

Из полученных неравенств следует оценка (1.8).

(1.8),

если

Будем

иметь

некоторое

улучшение

оценки

в неравенстве

(1.9) заменим

на т + 1

и к

обеим частям

неравенства прибавим

f (т).

Тогда

j f ( x ) d x < Y i f {ti )< ^

f(x)dx + f(ni).

(1.10)

п— т

Пример .

Ряд

(а >

Е-11In* п

и=2

сходится,

так

как сходится

интеграл

оо

Гdx

X ln“ X

Д-198.—2	ГОП,	17
	НАУЧУ'

U . БИБУ.!

при а > 1. Согласно (1.10) будем иметь

оо

				__ і_	<
				п !па п	<
			п**т	п !па п
	< ------- -----;-----1------ -----			(а>1,	т>2).
	(а — 1) 1па хт		т In" т
2.	Пусть	F (х) — положительная			интегрируемая фун
ция в	области	х > т.	Ряд (1.7) сходится, если сходится
интеграл
			оо	(т > 1)
		ß ,„ = J F{x)dx		(т > 1)

я+1

Ііш —?— Г F(x) dx = R > 0.

^ /(я) J —

Ряд (1.7) расходится, если расходится интеграл Вт и

л+1

Нт —?— Г F(x) dx = R < оо.

n-t-ao f (П) J

	Л
Доказательство. Определим			ряд (В), полагая
	я + 1
	bn=	J	F(x)dx.
Тогда		П
Тогда
	/ І + 1			оо
Rn = j j - f J F(x) dx,				B,n = j‘ F(x) dx
	n			m
и справедливость признака			устанавливается с		помощью об
щего признака	сходимости.	то, согласно (1.2), находим
Если ряд (1.7) сходится,		то, согласно (1.2), находим
	/(»)<			J F{x)dx,	( 1. 11)
	л—т			т
где	л+1			я+1
Rm= sup	л+1			я+1
Rm= sup	SFMdx’ 2-=£l7k i Fix)dx-
л>лг	SFMdx’ 2-=£l7k i Fix)dx-
	п			п

Пример. Рассмотрим ряд

©о

Уп4+ !л п

л - 1

Положим F(x) = — Тогда интеграл

Вт=

СХОДИТСЯ,

lim

П - * о о /( « )

j F{x) d x = \ ~ Г = ' ^ (т ■>

шт

Лѵ = lim У п4 +	ІПп = 1 > 0
n-*-oo п (п +	1)

и данный ряд сходится.
Согласно (1.11),		находим оценку остатка ряда
	оо					(от > 1).
	_1_ <	1	С	т +	1	(от > 1).
	т	У п* -1-	In п	У т* +	ln т
	п=т	У п* -1-	In п	У т* +	ln т
В	частности, при от — 5 имеем
	0,20 < У!		- 1------< 0,24.
		“	V п * +	In п
		П=5
Выбирая в признаке и. 2 функцию					F (х)	различным обра
зом,	получаем ряд признаков			сходимости.		В каждом случае

неравенства (1.11) опеспечивают оценку остатка ряда. Точ ность оценки (1.11) очевидно зависит от того, насколько удачно выбрана функция F(x). В качестве функции F(x) можно, например, принять производную некоторой функции, которая удовлетворяет условиям признака. В частности,

полагая F(x) —-^—(f(x)g(x)), g(x)< 0 для х > т можно

доказать признак, сходный с признаком Куммера. Можно также принять F (х) = f (х) g (х) и т. и. Наиболее простому случаю соответствует F{x) = f(x).

2.8. Другие признаки

Признак Куммера весьма общ ввиду довольно свободной возможности выбора последовательности {сп}. Рассмотрение

отношения последующего члена ряда к предыдущему во многих случаях дает возможность выбрать нужную после-

<<< < Предыдущая 12 / 182 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ