книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

Согласно (2 .8 ), при

выполнении

условий сходимости

получаем

— X f(x )

09

-

x f (х)

< J ДО dt

<

(2.14)

а (х) R (Х)

а (х) R (х)

где

R {X) = sup Г- L ( Ш \ 1 R (Х) =

inf Г -і- ( Ш VI > 0 .

-

; > * L / ( o w o / J

В этом случае функцию а(/) так

же

можно конкретизи­

ровать, приняв, например,

равной

c\nt,

се11аК(,

с (ln ln /)\

Пример.

Для интеграла

оо

1{х,

X, &)= Г

**

b

■(jclnxx + é > 0 , х > 1 )

находим

«1 t

+

/ДО

1 + o(i)) (/—*oo),

/(О

t

t ln t

(

a (/) = -

— , ( -i-V =

- —

ln t

\a (t) J

ЛІ

и при X> 1 интеграл сходится. На основании (2.14) при 6

< О

будем иметь

--------------------------< Ңх ,

X, 6 ) <

---------------------.

(X — 1) X InOc — b ln X —b

(X — 1) (x InOc + b)

П р и з н а к

3. Пусть в интеграле (2.10) относительно

функции /(/)

выполняются условия

/

«

* = 0 —

É

s

k

+

^

(-ТгѴ =

хл(О

(* —°°), а ( 0

< о (* >

•*).

где

(ОJ

Х0(/) =

t, \k(t) =

/ ln / ln ln /... ln ... ln /.

Тогда интеграл (2.10) сходится,

если

а +

1 > 0 и расхо~

дится, если а + 1 < 0 .

К

g(t) =

Доказательство.

Полагая

в

признаке

,

находим

ууу- g(t) +g'(t) = a + 1

+ 0

(1 ) (t — оо)

и при а + 1

>

0

интеграл

(2 .1 0 )

сходится,

а

при а +

1

< 0

расходится,

так

как расходится интеграл

оо

'■ а

п

( 0 dt (ln ... ln л: > 0

).

X

I К ( 0

Для оценки интеграла

(2.10)

можно воспользоваться

не­

равенствами

(2 .8

), приняв g(t) — ЬиШ .

a{t)

а(і)

И здесь возможности выбораПфункции

безграничны.

Так можно

принять

а(t) = с (In ... ln t) .

Пример.

Для интеграла

оо

Г______ dt

(x ln X (ln ln x)1+

b > 0)

J

f ln t (ln ln t

b

O L = _ _ l ___ L_

-■ i± -0(1>

, а (/) _____—

f (t)

t

t\nt

t ln t ln In t

iln<

1

_

I

------------------ a

—

_ _

i-tlnt

I

По признаку 3 интеграл сходится

при X> 1

и расходится

при X< 1.

интеграла

при Х= 2 и 6

Рассмотрим частный случай

=

1

dt

(х > 4).

П п t\n

ln21 + 1

Д-198—6

81

X ln X In ln X

<I{X).

X ln X

ln l n 2 x

+

1

Оценку сверху найдем из неравенства

оо

1

w < j 7

d t

ln t ln In2 1

ln ln X

Итак,

ХІПХІПІПХ

.

V

^

1

/ .

X ln X ln ln2 Л' + 1

< I(x)

< ——

( x> 4).

ln ln л:

I f{t) dt,

(2.15)

X

где fit)

> 0

при л: < / < b и lim f(t) = оо.

Для

м

интеграла (2.15)

установления сходимости и оценки

так же,

как это было сделано для интеграла (2

.1 0 ), можно

получить соответствующие утверждения.

Пр и з н а к 4. Если в интеграле (2.15) для функции / (і)

выполняются условия

Ä

= а (0 ( 1 + 0 (1)), ( - М ' = а + 0 (1

) (/ -

Ь),

f(t)

\а (/)/

а (і) > 0 (х < t < Ь),

то при а + 1 < 0 интеграл (2.15) сходится,

а при а + 1 > О

ются на основании признака К

и неравенств (2 .8 ) при

Пример. Для интеграла

/(*, *)=

J ü _

< 0 < je < 1 )

xV \ - t x

а (t) = — 1 jr • Согласно (2.8) при

g(/) = /X—1 будем иметь

2 Ѵ і - х х

</(х. Х)<-

1 - X х

XXх - 1

.

х

1,235 </(0,5;

1,443.

1,273 <7(0,5;

/Ң 5 )< 1,310.

Полагая вместо а(і) определенные функции,

удовлетво­

ряющие условиям признака

4, можно получить

различные

а (і) = с (Ь — i f

получим

П р и з н а к

5.

Пусть

m

. = c{b - t f ( і + о(і)) (/- * ) .

/ \})

Здесь

/ ' (

0 __

с

t

+

1

/

( 0

1

-

и по”признаку 5

интеграл

сходится

при

с < 1 ,

расходится

при с >1 . В

случае сходимости

интеграла, согласно (2.8)

при g(i) — i — 1 имеем

ех (1 - х у ~ с <І(х,

с)< ех (1 — х у ~ с

( с < х <

1 ).

1 — с

X — с

П р и з н а к

6 .

Пусть

относительно

подынтегральной

функции f(t)

интеграла (2.15)

выполнены условия:

O l = _L_ + У й -

(1+0(1)) (і -+Ь)

f ( t )

ь - Г ь - t

и

( 1 у _

д -Ю(і)

b),

\a(t)J

Ь— t

(

6 *

83

—/(x)g(x)

R ( x )

J

где

R( x) = sup S i m

M

L ,

R(x)= Inf

(/<t!* (t))- > 0 ,

/

( 0

-

X<l<b

f (t)

g ( t ) = ± ^ 7 7 7

< 0

( x < t < b ) .

“

( 0

Г --------- ^

--------(0 < X <

1, k — целое)

J (1 — 0 ln2* (1 — 0

/ ( 0

= _ ! _ +

2k

—0

I

1

1 —

( 1

- о ln ( 1

^ t ’

в(о = — —

< 0

(0

< * < i ) ,

( — Y = — -— .

e(*—fJ2 1)

W

ln(1—

0-

W

O

/

По признаку 6

при

4k > 1

интеграл

сходится. Полагая

g (t) = ( 1 — t) ln ( 1

— t), получаем

1

t dt

< J (1 —

<

(1 —2

£) ln2ft-i ( 1 - X)

0 In2* (1 —0

< (1 —2k) X ln2*—*(1 — X )

+ (X — 1) In** (1 -

X )

( £ > 1 ,

0 < x < 1 ).

X

dt (llm/ ( 0 = oo, b<x).

(2.16)

f / ( 0

J

t-+b

Интеграл

(2.16)

сходится,

если

X=

— 1,

с > —-1 или

—1 < X< 0, с < 0.

Интеграл (2.16)

расходится в одном из

двух случаев:

1) X== -—1, с < — 1, 2) X<

— 1, с < 0.

Имеет место следующая оценка

f i x )

<

dt <

/

(X)

(2.17)

где

R (X) (X -

Ь)х

R (X) (л — fc)x

sup л

ж

г і г ,

RW _

> 0 .

b<t*Cx

f

(t)

—

/ ( 0

Пример.

Для интеграла

X

J / e ( - l n / ) * d t (0 < je < 1)

имеем

о

/ДО ^

С

а

/ (0

t

tint

По признаку

7 интеграл

сходится

при с У — 1. Полагая*

£ + 1 > 0, £ + 1 + — > 0, Ь = 0 и X= — 1,

In X

согласно

(2.17), получаем

х с± Ч — in jc)a

ln 0

“d t^

— х с+ ' ( - l n

x)a+1

с + 1

(с + 1) ln X

+ а

j / ( 0 dt ( / ( 0 = *“+ 0 (O,

о)

X

сходится при а < — 1 и расходится при а

— 1 .

оо

m d t <

z ^ ± £ £ l

(а +

1 ) R (X )

J

(<* +

(Х)

где

R(x) =

sup £ ± j f - ,

R ( X ) =

inf

> 0.

t>x

f ( t )

—

t> x

J ( t)

/(/) = /“ ^ 1 + -у + 0

^ (/ —»со).

(/ + /)а = f ^ 1 + —+ о

O' °°)>

I — — —Ііш/г

Я /->со

Пример. Для оценки интеграла

У7 dt

(х > 0

)

V (t + 1 ) 5

и_

15

/

15\

в

0

, получаем

яаходим / = —•

Полагая ?(/) = ( / +

—)

ь

= (Ь- / ) “(! + 0

J / ( 0

dt (/(О

(1 )), /->/>)

сходится при а > — 1

и расходится при а < — 1 .

При а > — 1

будем иметь

( Ь ~ х) а+ 1

1

,

ЦЬ-х)

dt <

Я(х)

а -f

1

а + 2

< (b - X)а+1

1

+ J ( b - x )

R i x )

а + 1

а -|- 2

где

R (л:) =

sup

(b — t)a +

i(b — o a f l

x< t< b

fit)

R (л) = inf

(b— t)tt + ljb — t)a+1 >0

—

■*<<<&

fit)

и / —постоянный параметр.

утверждения и оценки инте­

Справедливость

сделанного

грала устанавливается

с помощью

общего

признака сходи­

мости и соответствующей

ему

оценки

интеграла при

Пример.

Рассмотрим

интеграл

Кристоффеля—Шварца

/

_____dt____

(О < X <

1 ).

VI/ 4(

і -

о

3

?(0 '

1

j

з Ѵ і

Функция

V I

4

9(0

( 1

з*

+

(1

t f

fit)/«> \V-

•

4' У

монотонно убывает в интервале (0, х). Поэтому

# ( x ) = s u p ^ = l ,

R (х) =

inf

^ J = ( 1

+ 3f ) v A Q - х ) *

0</<х / (0

—

О<1<х f

it)

\

4 J

и по формуле (2.4) находим

2 V x

+ 0 , 5 V x 3

(О < X < 1).

2 Vr~x~f_+L LV,± < / ( х ) <

-

* )

3

(1 + 0,75*) у'(l

В

частном

случае

1,591 </(0,5) <

1,945,

0,6482 </(0,1) <0,6528.

П р и з н а к

10. Пусть для некоторого а > 0

существует

предел

lim [a f - 2{t)f{t))=^- Ri= 0 .

/ —►со

Тогда интеграл (2.10)

сходится, если R > 0

и

расходится,

если R < 0.

самом деле,

если R > 0,

то, начиная

с

Доказательство. В

некоторого х,

В(х)=

— а Гf ~ l (t)f' ( t ) d t = f l (x)— lim f

(t) > 0

,

J

/-*©o

X

T . e. 0 < B(x) < o o .

Тогда

по общему признаку интеграл (2.10) сходится.

Если же /?< 0, то для достаточно больших х

-

« /

(ОГ (0 dt = f

(X) -

f (t) < 0, T.

e. / (X) < f(t)

{X < t)

X

и интеграл

(2

.1 0 ) расходится.

Для сходящегося интеграла имеем

— ~ГГТ <

f / ( 0

dt < —

R (х)

,

(2.18)

где

R{x)

д

R (X) = inf (a/ * " 2 (t)f' (t)),

R (X) =

sup «

~ 2 {t)f (0) <

0.

Пример.

Интеграл вида

j

f{t) dt( / ( 0

= ^ 0

+0(1)), /■

оо,

ß <

— 1 )

X

очевидно

сходится,

так

как

при

а =

1 4 ----получаем

/ ? = - р - ь

Так, для интеграла

------------1-----------=

1 ± M

I

—* оо,

Р =

— 2)

(,+ Ѵ Т Т ѵ Ѵ

'•

и согласно

(2.18)

R (X) \х + V х + У х)

< Ң х ) <

Y x + V x

где

1 + з 3/Â

R(x) = 1 +

УУХ > / X + У '

Например,

при х — 10 0,064 < /(10) < 0,075.

существует ко­

Пр и з н а к

11. Пусть для некоторого

а

нечный предел

Нт /

“ _ 2

(

0 f

ІФ)= ЯФ 0 .

t - * b

Тогда интеграл (2.15) сходится, если

а < 0

и

расходится,

если а > 0 .

этого

признака анало­

Доказательство справедливости

гично

доказательству признака

1 0 .

воспользоваться не­

Для оценки интеграла

(2.15) можно

равенствами (2.18), приняв

верхний

предел

интегрирования

равным Ь, вместо бесконечности.

Пример. Интеграл

/ W

dt

j( 0 < х < 1 )

у т_

^

по признаку 11

сходится. Так как при а = —2 имеем

lim /“ 2

(0

/

( 0

= Hm Y = T

/-eft

M

О

d

и на основании

(2.18)

4 '

О -

-

* 2 ) 2 < Пх) < J-

^ ( 1

- X2)2

( 0 < х < 1 ).

4х

Пусть

u(t) — неко­

Аналог

приз на ка

Ерма к ов а .

торая

дифференцируемая

возрастающая

в

промежутке

\а, оо)

функция,

такая,

чт,о а < t < и (t).

Тогда интеграл (2.10) сходится, если

lim E{t) = £ <

1,

/—►сю