книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

—■ = а + 0 (1) (я —»оо).

( 1. 12)

У, (1+

X )

(1+ X * )... (1+ х " )

{х > 0).

Здесь

п—1

л +

()

при 0 <

JC<

1, я —»оо,

0

1

ап-II

1 +

х

2

при х = \ ,

ап

х п+{

при л: >

1, я —»оо.

0 ( 1)

Следовательно, по признаку Даламбера ряд сходится.

Если в

(1.12)

а =

1,

то

для

исследования

сходимости

ряда (А) естественно

рассмотреть

следующий

член в разло­

жении

(1.12).

1.

Пусть

для

положительного

ряда

(А)

Пр и з н а к

выполняется условие

-д”-+' • = 1 +

<р(я)(1 + 0 (1 ))

(я —►оо),

где

О-п

<р(я) = 0(1),

—

------------1

—

= а

+ 0(1)

(я

►оо). 1

?(п)

?(п — 1)

Если

последовательность

ср(я) < 0,

начиная

с

я > N

и

а +

1 > 0,

то

ряд (А) сходится;

если же а + 1 < 0 и ряд

X У(а) расходится, то и ряд

(А) расходится.

п=1

Справедливость этого

утверждения следует

из признака

Куммера при

сп= ---- ^ ——, так как в этом

случае

R„ = c„ - с пЛЛ

=

1 + а + 0(1)

(я —оо)

а п

и

при

а + 1 > 0

ряд

(А)

сходится,

а

при

а + 1 < 0

и

при

1 = 0,

с„ = --------- -------,

где

Ь,

/. — постоянные

пара-

? (Я 4- О

метры, для которых

----- ^»±»------------- -----> 0

(п>т).

<? (я Н- 1 + л) ап

<f (л + I)

Пример.

Для ряда

оо

5 ( а- ) =

___________ я!__________

(А > 0)

V

1) (х +

2)... (х +

л)

(х +

находим

«-1

-ft"И-t1? х

= 1 - — (1+0(1))

( п —>оо),

?

, V

X

1

1

(л)

=

--------

9 (п)

(я — 1)

п

9

По

признак}'

1

при а >

1 ряд сходится и при

0 < а <

1 ряд

расходится.

\

х последовательность

При сп = п

Rn = сп - с,л -fl

= п

4- X — (п +

1 + а )

п +

1

= X

Я ~f* 1

X

5 (а ) =

(схаі — lim спап) = —— - (а > 1 ) .

IX

X — I

В частных случаях при

<р(п) = — —— и ? (п) =

полу­

чаем следующие признаки

сходимости.

(Л) вы­

П р и з н а к

И. Пусть для положительного ряда

полняется

1 +

Лд+L =

£± 1111

(л _ ю о).

ап

п 1л п

Если,

с < 0, а < 0,

то

ряд

(Л)

сходится-, если

же

с > 0,

а— любое

число или

а > 0,

с — любое

число,

то

ряд (Л)

расходится.

ряда

определяется

неравенствами (1.4)

Оценка

остатка

при

1 — 0,

сп = (п + а) In'1(п + Ь),

а,

Ь— некоторые

постоян­

ные

числа.

Ряд

Пример.

оо

у і

____________ п!____________

ІА

(1 -I- In 2)... (л +

ln (л +

1))

Пт\

сходится

по признаку II,

так как

ап+1

____ п + I_____ __ ] _

in п (1+0(1))

(п

со),

сіп

я -f- 1 -Ь ln (л -f- 2)

т. е.

с = а =

— 1 < 0.

положительного

ряда

Пр и з на к

III.

Пусть

для

(Л)

имеет место

M±Ll

= 1

+

С+ 0(1)

(П-> оо).

ап

па

Если а < 1, с < 0 или а =

1,

с +

1 < 0,

то ряд

(Л) сходится.

Ряд

(Л)

расходится

водном,

из

трех

случаев:

1)

с > 0,

а — любое имело,

2)

с +

1 > 0,

а = 1 ,

3) с — любое

число

a > 1.

Оценку остатка ряда можно

получить

из формулы

(1.4)

при

1 = 0, с„ — (п + X)*,

X— некоторое

постоянное

число.

Пример.

Ряд

У Г

1

сходится

по признаку III,

так как

а П 4-1

1 +

0 0 )

(п—>оо),

т. е.

а = с

2

'

йп

2 У~п

ап+1 _ 1 _ _ L + _ ! < £ ) _ ( ! + 0 ( 1 ) ) ( я - с о ) ,

ап

я

л

_1_

1

а + 0(1)

(п —>оо).

<Р(л)

у(п —1)

л

Ряд (А) сходится,

если

ф(п) < 0

начиная

с некоторого

п > N,

а + 1 > 0,

и расходится,

если а +

1 < 0 и расхо-

оо

дится

ряд ^ J

.

К

1П-И

а + 1 +0(1) (я—>оо).

С п Сп + \' а,

Следовательно

ряд

(Л)

сходится,

если

а + 1 > 0.

Ряд (Л)

оо

расходится,

если а.+ 1 < 0 и расходится ряд

Ж“1 О(fl)

V —-— .

Для оценки остатка

ряда (Л)

л - 1

следует в неравенствах (1.4)

принять 1 — 0

и сп =

f l "4"

?

Ь— некоторые посто-

------ ^

янные числа.

<?(п + Ь)

V. Пусть

П р и з н а к

ая+1 __ 1 _

к

1

+ -гѵ т(1

+ 0(1)),

ап

ІА

К (")

h («)

ѵ*=0

1

1

* ± М 1 (л —оо),

где

9 (я)

? (п — 1)

>■*(”)

>.ѵ(а) = п In п ... In ... ln н,

/0(п) =

п.

Тогда

ряд

оо

сходится,

п > /V и

51 ап

есяя

<р(/г) < 0

для

п—Х

а + 1 > 0. Ряд

51 ал

расходится,

если

а +

1 < 0

я расхо-

дится ряд

П—1

У ]

7 7 Т

( іп ... тin > о).

i d

h ( n

Признак V

л—m

: («)

помощью

признака

Куммера

доказывается с

при

^ (я —1)

с ,=

-

9

(я —

1)

В частном случае при k = 0 он

содержит признак IV.

При <$>(п) ——-— признак IV дает

Ія п

Пр и з н а к

VI. Пусть

- 2 а ± =

1

J - +

С.±-°Ш..- (д

оо).

ап

п

я In* я

Если 0 < а <

1, с < 0

или а — 1, с +

то ряд

ОО

1 < 0,

51 а п сх0_

оо

я=1

дится,

если

же а =

1, с +

1 > 0, то

ряд 51 ап расходится.

Остаток

ряда

£

ап

оценивается с

помощью (1.4) при

Я=1

X,

b — некоторые

постоянные

/ = 0 и сп= (п + X) ln“ (п + b),

числа.

1. Для

ряда

Приме р

со

^ - ^ - е х р ( — 1 Inп)

имеем

*п-н

1 +0(1)2

1

(п —►со).

2п 1/Л1п п

По признаку VI ряд сходится, так как

a = i ,

с= — .

Пр и ме р

2.

Исследуем

сходимость

ряда

со

1

VI

п=2

О

+ 1) hv' п

Используя

преобразование

ln1(п +

1) == ІПХ[д

=

[ln п + ln ^l +

ln« + -i-+ o(-^-)Jx=

lnx n+ - J (ln/i)X_1(l +0(1)) (я— со),

Находим

a,i+i

О + 1)1+ n

= Л _

1 -I 0( t ) \

л _

X+ 0 ( 1 ) \

0+2)1+ (n+1)

\

n

J

\

n Inn J

=

1

J___ X + 0(1)

(ll —>со).

n

n ln n

Е / ( я )

(1.13)

л=г/г

сходится,

сОя

некоторой отрицательной

и диффе­

ренцируемой при X >■ т функции F (х)

іп{

[п т

І 1 Ь ± &

= / ? > 0.

o<e<iL^^

/(я)

bn = F{n + \)~F (n) = F'(n + b)

(0 < Ѳ< l),

B rn= — F(m) + lim F(n) > 0.

n ~ + oo

Из общей оценки (1.2) получаем

oo

zr- (— F(m) + lim F(n)) < V] f(n) <

Rm

n~*°°

* *

n—m

<

(— F{m) +

lim F(n)),

(1.14)

fjl

tl~+-oo

где

F ' (ft + 8)

F ' (n + 6)

Rm =

sup

R n

inf

f(n)

f(n)

n^rn

o<e<i

O<0<1

у . — =

! ------------

■

У п2 + 1 In2 (п -г 1)

при F (х) = ---- -— (х >

1) условия

сходимости выполнены и,

ІП X

иметь

согласно (1.14), будем

т in т

________ J _________ <

V nF - 1 In2 (от +

1)

П= ГП V п2 + 1 In2 (я + 1)

<

те + 1

(т > 1).

У т2 + 1 in от

Пр и з на к При нс г е йма

(66]. Положительный ряд (1.13)

сходится, если для некоторого X> 0 существует предел

lim (п + l)' + xf(n) = с

(0 < с < сю).

«—►во

Для оценки остатка ряда

справедливы неравенства

оо

—Ц- inf (n +1f(n))<

V f(n) < —Ц- sup [(л + 1)Х/(л)І-

ш п> т

п=т

t.m

\пр sec —-— = — in' (1 —tr

+ 0(1)

(п~* со),

2Р (п ~ 1 ? р

п + 1

2р

\

то полагая X= 2/7—1, находим, что

т?Р

lim (п + 1)х+1/(«) =

~2Р~ '

Таким образом, при р > -j-

заданный ряд сходится.

Пр и з н а к

VIII. Пусть существует такая отрицательная

функция g{x), что при х'у>т

функция

F (х) = f (х) g (х)

дважды, дифференцируема и F" (х) = 0 (F'(х))

(х —>со). Тогда

ряд (1.13) сходится, если

lim

F' ( X )

> 0 ,

/

д » о о

f i x )

и расходится,

если

l i m - ^ i ^ -

< 0

V-+00

/ (л-)

и расходится

ряд

£

1

gin)

'

п—т

Справедливость утверждения устанавливается с помощью

обобщенного

признака

Куммера,

если заметим, что

c „ = —g(n), ап=/(п)

и F(n+ 1 ) - F[n) = F'{n){\ +0(1))

(п—>оо).

(л-) =0(1),

—Y=

а

0 ( 1),

(тЬг)'-°[(- <?(*)

(• '(•*) /

Если у (л:) < 0

для xf>,m

и а +

1

> 0, то ряд (1.13) сходит-

ся. Если же а + 1 < 0 и ряд

со

©{п) расходится, то и ряд

£

П~Ш

4 г т

= ? ( * ) ( М -0(D)

(*-»°°)>

/(•«)

с„ = ------------

(с, — постоянные), т. е.

то

можно принять

^

"

9 (л

+

л)

оо

для

положительного

ряда

^]/(я)

можно взять для сравне­

ния ряд

на

1

оо

оо

у > „ = . с у ) ( — L <JL±n

-----------1)

т - . ) .

LJ

LJ

\

? (п -г

/. +

с (п + /.) /

н = 1

л=1

/фс) = ехр(— Ух),

/' (-V

1

■=.

? (-ѵ) =

1

f ( x )

2 ]

X

• ' '

2 J ' х

Тогда в силу

признака

IX Е(х) = — 2 Ух ехр (— Ух) и для

отношения

F' (х +

6)

-

-ут+т ) ехр( Ѵ х ~

+ Ѳ)

fix)

находим

F’ (X + Ѳ)

.

. ,

sup

F ' i x + Ъ)

^ ,

------------ =

1,

wf

.*■>'»

/

(x)

.v>m

/ (л')

0 « в < 1

0 « 9 < 1

> I' 1- T h r ) ext’ f i h ,

( r a > a

1)

Т е о р е м а

Н. В.

Б у г а е в а |5—7]. Пусть /(х ) — пол

жительная, непрерывная,

монотонно убывающая функция,

а Ь (х) — некоторая

положительная,

дифференцируемая,

возрастающая функция, такая, что

1іто(х) = оо, причем

-Ѵ-+-00

убывает. Тогда ряды

£ / ( « )

(1.15)

п= 1

со

8'(

«

Ш

Э

Д

)

п=1£

(1.16)

являются сопряженными,

т. е. они одновременно сходятся

или расходятся.

Утверждение теоремы следует из интегрального признака

и сопряженности интегралов:

оо

/ (х) dx,

j o' (x)f (8 (x)) dx

(a,

? > 0).

t

Ясно, что любой

признак сходимости для одного из соп­

ряженных рядов будет признаком для другого.

На основании теоремы Н. В. Бугаева, в частности, дока­

зывается

[16].

Пр и з н а к В. П. Е р ма к о в а

возрастаю­

Пусть т (х) — некоторая

дифференцируемая

щая функция, такая, что у(х) > х

и

р

_

Т

( т) f

(т))

имеем для ряда

/ ( * ) = • л: (In д:)1+х

(ln т)1 +х

S

/г (ln n)l+l

Л=2

Отсюда, если X> 0,

то 1ітДт = 0 , т. е. ряд сходится. Если

т-¥ со