Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Итак, оценка (4.7) остатка интеграла (1) вполне опреде ляется соотношениями (2) — (5) для всех х, удовлетворяющих одному из неравенств

(X2 +	1 ) 1 Ь(л + 1 ) In (х2+		1	) — k (л' + 1 ) > 0 (k > 0 )
(1 + X 2) ln (1		+ X2) th ( Л - +	1 ) -		2kx > 0 (k < 0).
В частном	случае,	при £ =		JC= 5
4. Примем		0,009 </?, (5,5) <0,047.
4. Примем
	<Н*] = П ^ (//)д			а	(9/>0),
		1

где tyiitj), i — \, 2 , ... , k — положительные возрастающие диф ференцируемые функции, такие, что

Ііш фг- (/,-) =

оо,

0 <

lim 6 ’.(t{) < оо.

(4.15)

t ,~УОО

1 ОО

Тогда,

согласно равенствам

(4.2), (4.4),

г к ѵ//)ш

(4-16)

4\- (“<)

І = 1

чу

если

q{<

I-«] =

п(—lnЯі)

П ln<7 |

1 — 1

оо, если, по крайней мере, одно qt >

і = 1, 2 , ...

, k .

Таким образом, получаем следующий

(4.17)

положительные

воз

П р и з н а к 5.

Пусть

существуют

растающие дифференцируемые функции Ф/(^-), 7=1,

2 ,...

, k,

удовлетворяющие

условиям.

(4.15).

Тогда

несобственный

интеграл (/) сходится, если

f[t)

№)=л>о

И Г

П ^

lim

Чі< 1 ,

і =

, 2 , ... ,

и расходится, если

Нт" 7

Ui)^ (*і) =

Л"< 00

П чѴ

/ 1

i=i

1 1

и, по крайней мере,

1 , / = 1 ,

2 , ... ,

к.

160

Оценка остатка сходящегося интеграла (/) определяется неравенствами (4.7), в которых Л[Д и /?¥[х] находятся со

гласно соотношениям (4.16), (4.17). Пример. Для интеграла

ос со

аы Ь[п !~- dt,dt2 {а, b> 0 )

V i +

при qx = а, q2 — b, 6 ,(Д) = 1 пД, ф2 (t2) = ln t2 находим

A{tv /2) =	1 -f /2 f 2 ’ -	Л = Л = 1.
	fl £ 2

Таким образом, интеграл сходится, если а < 1, 6 < 1, и расхо дится, если либо а > 1, либо b> 1.

При а < 1, />< 1 получаем следующую оценку остатка интеграла

а \п .V, + h \n ,х2 __ а \п .V, ь \п Х2		а \п X, + ь \п х2 _ й 1п .V, ь \п х2
-----------------	------ < Rf (хх, х2) < -------
l n « ln ь л / 1 +		ІП а ln b
l n « ln ь л / 1 +	—-
	(x =	min(x1, x2)).
При а = b = e 1	имеем
	0,353 < Rf (5,5) < 0,360.

§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСТАТКОВ СХОДЯЩИХСЯ А-КРАТНЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Функцию /Дх] назовем асимптотическим выражением остатка несобственного интеграла (/), если

Rf \х] ~ /Дх], [х] —со, Нш	t	[*]	= 1 .
1 ^ 1

Теорема. Если несобственный интеграл (I) сходится по общему признаку сходимости и существует предел

Нт 2-Ш- = Л, Л Ф 0, Л ф оо,

м п п	.	^
то
Rf[x\		, ([х] -*оо).

Справедливость теоремы устанавливается как и в одно мерном случае, и при различных предположениях относи тельно функции <р[Д получаются соответствующие следствия. В частности, в соответствии с конкретными достаточными

Д-198,—11

161

признаками сходимости из § 2 можно получить асимптоти ческие выражения для остатков интегралов. Так, в соот ветствии с признаками 3 и 5 из § 2 для интегралов, рассмо тренных в примерах к этим признакам, находим

Rf {xu Xo) ■

дг

	dt		+	іі	dt
	ln^ — 1 (// + e')				ln/"-' (é + 1	)
				p—1 J
				.V
	(X,	x) —>oo
1	(a,n v‘ +	bxn-r*-	a'n-r' b'n Xt)		(Xj, x2)	oo.

ln а ln b

§ 4. УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ Лг-КРАТНЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Пусть даны сходящиеся интегралы

y<s)[t]d\t\, j *»,[/]</[*].

Очевидно второй из этих интегралов сходится быстрее, чем первый, если

lim	=
m	wp]

При этом сходимость первого интеграла называют улучшен ной, если с помощью какого-либо преобразования этот инте грал выражается через второй интеграл.

Рассмотрим улучшение сходимости интеграла (/). Пусть существует предел

Нт	= Л , А =£0, Л =^со.	(4.18)
М /М

Тогда на основании общего признака сходимости инте грал (/) сходится, если сходится интеграл от tp[f] и выпол няются условия (4.18).

В этих предположениях

J ( / м - j ?(*])</[*].

(4.19)

Это тождество во многих случаях улучшает сходимость остатка заданного интеграла.

Если функцию ср[/] выберем так, как это делалось при доказательстве признаков 1—5, то получим тождества, улуч шающие сходимость остатка интеграла (/) в соответствии с каждым из признаков сходимости.

162

Преобразование (4.19) можно применять последовательно несколько раз. Применим это преобразование п + 1 раз, получим

		П
№ 1 = У І7				-Яо		[xl,	(4.20)
		Ѣяі Ac			ls	- s -\-1
		5=0
ui	: г #	= Л ,			<Л^	° ’ Л^ ° ° >
ui	/ s И
	\ W =				f 4s\t\d\t 1,
					v'u\
	R f		M	=	f f s +A t \ d [ t \
	■S-fl				J
					V И
	f s + A n - f s W - ^ b i n -
В каждом случае	остатки				интегралов R ^ [.ѵ] и R f		[а*] нахо

дятся так же, как и при доказательстве признаков.

В том случае, когда лу —аг, г = 1 , 2,..., /г, тождество

(4.19) и его обобщение (4.20) упрощаются, и тогда их можно использовать для улучшения сходимости самого интеграла (/).

Рассмотренные способы улучшения сходимости интегра лов могут свести задачу вычисления интеграла к вычислению суммы ряда.

Пример. Рассмотрим интеграл

/ = J I \ t\ + t{e at' W2dt, dt2 (<xb a2, a, b > 0).

a, a2

Преобразование, улучшающее сходимость этого интеграла,

соответствующее		признаку	3, приводит к следующему
результату
V	„2 ,„2	-aa^—ba-i +	oo со
/ = г	otj -+* a.,	-aa^—ba-i +	-a tl—bi2dti dt2 +
	ab		t \ + t\

oo oo

btj -Г at2 ^ , - ^ dtldt2.

a, a2

Ясно, что каждый из интегралов в полученном тождестве сходится быстрее, чем заданный интеграл. Этот способ улуч шения сходимости можно продолжить дальше, применяя преобразование к каждому из полученных интегралов.

П *

163

)

Покажем, как может быть улучшена сходимость интеграла в соответствии с признаком 5. В этом случае

оо

1		2	p - a t t - b « !	dt!
а + Ь к	t\ +	2	p - a t t - b « !
	t\ +	ао	е

	2 ,	/2	— aa.—bti а ,
—— г V t*i + t-2 е				dt, +
а + Ь J
® 2
оо оо
+ і _ Г Г <1+ *2			^ '"•-Widt,dt2.

+bl l v j T Ä

Применяя к однократным интегралам это же преобразование, окончательно получим

^ “ і I я2

—а»,—*а2

1 I

/ =

-----------

+ -

t*+ а2

а (а +Ь) J у

со

Ь(а +

Ь)

іг

- а«,~ й /2 1 ,

/ а2 +

Г л

сю со

& 2

б + ^ 2

+ а

С (*

^ ‘^ d tjd t,.

ft .) J

в, a ,

‘ 1

»2

И в этом случае преобразование, улучшающее сходимость, можно продолжить.

ЛИТЕРАТУРА

А с а д у л л и н

Э.

А.

признаках

сходимости

кратных

рядов

с положительными

членами.— ДАН СССР,

1961, т. 136, № 3.

числовых

Б а р о н

С.

А.

Вывод

признаков

сходимости

двойных

рядов. — Учен. зап. Тартуского

ун-та, 1953, вып. 55.

Б е з и к о в ич

Я- С. Приближенные вычисления. М. — Л., ГИТТЛ,

1949.

Б о н д а р ь

В.

П.

Об

одном классе признаков сходимости для

рядов с положительными и монотонно

убывающими членами. — Учен. зап.

Гродненского гос. пед. ин-та, 1955, вып. 1.

15,

Б у г а е в

Н.

В.

К теории

сходимости рядов.-— Математ. сборник,

1888.

Н.

В.

Сходимость

бесконечных

рядов

по их

внешнему

Б у г а е в

виду. Диссертация,

М„

1863.

С.

В.

Кратные

интегралы

ряды. М.,

Бу д а к

Б.

М.,

Фо м и н

..Наука*,

1967.

Б.

Я.

Введение

теорию

рядов.

Киев,

вып. 1,

1906.

Б у к р е е в

Б у р б а к и

Н.

Общая

топология.

М.,

Физматгиз,

1958.

анализе. М.

10.

Г е л б а у м

Б.,

О л м с т е д

Д.

Контрпримеры

„Мир*,

1967.

А.

О.

Исчисление

конечных

разностей. М., Гостех-

И. Г е л ь ф о н д

нздат, 1952.

И.

С.,

Р ыж и к

И.

М.

Таблицы интегралов, сумм

12.

Г р а д шт е й н

рядов и произведений. М-, Физматгиз, 1963.

Функции,

пре

13.

Д а н и л о в

В.

Л. и др. Математический анализ.

делы, ряды, цепные дроби. М.,

ГИФМЛ,

1961.

анализе.

М.,

ИЛ,

1961.

14.

Д е Брё йн .

Асимптотические

методы

15. Д е м и д о в и ч

Б.

П.,

Ма р о н

И.

А.

Основы

вычислительной

математики. М.,

ИФМЛ,

1963.

бесконечных строк и опре

16.

Е р м а к о в

В. П.

Теория сходимости

деленных

интегралов. — Математ. сборник. IV,

вып. 1,

1872.

17.

3 а е з д н ы й

А.

М.

Гармонический

синтез

радиотехнике

и электросвязи. М. — Л.,

Госэнергоиздат,

1961.

18.

З м о р о в и ч

В.

А.

О признаке

Н. И. Лобачевского для сходи

мости знакоположительных рядов

обобщение

этого

признака. — УМН,

1952, т. 7, вып. 1 (47).

В.

А.

О признаках

Н. И. Лобачевского

и В. П. Ер

19.

З м о р о в и ч

макова.— Изв. Киевск.

политехи,

ин-та,

1956,

вып.

19.

теории

сходимости

20.

3 м о р о в и ч

В.

А.

некоторых

вопросах

знакоположительных рядов. — Изв. вузов, Математ., № 1, 1958.

21. 3 м о р о в и ч

В.

А.

некоторых

признаках сходимости и расхо

димости

знакоположительных

числовых

рядов. ■— Изв.

вузов,

Математ.,

№ 2, 1958.

В.

А.

теории

сходимости

знакоположительных

22.

3 м о р о в и ч

числовых рядов.— ДАН УССР, 1958, № 8.

вычислении

некоторых

23.

К а н т о р о в и ч

Л.

В.

приближенном

типов определенных

интегралов и другие

применения

метода

выделения

особенностей, — Математ.

сборник,

1934, т. 41, вып.

165


24	К р ы л о в	А.	Н. Лекции		о приближенных вычислениях. Изд. 5-е,
М. — Л., ГИТТЛ, 1950.				И. И.	Алгебра		и исчисление конечных.			Поли,
25. Л о б а ч е в с к и й
собр. соч. т. IV, Гостехиздат, 1948.						работы 11. И. Лобачевского. — УАШ,
26.	Л у и ц Г.	Л.	Аналитические
1950, т. 5, вып. 1 (35).			Л.	А., Д нт кин			В. А.	Построение	приближен
27.	Л ю с т е р н п к
ных формул вычисления кратных					интегралов.— ДАН СССР,				1948, т., № 3.
28.	М у р а т о в	Л.	М. О приближенном интегрировании некоторых
сингулярных дифференциальных уравнений							первого порядка. Диссертация.
Казань,	1955.	Л.	М.	Признаки		сходимости		и расходимости		несоб
29.	М у р а т о в

ственных интегралов с переменным пределом и соответствующие им

оценки.-— Учен. зан. Удмуртского			гос. иед. ип-та, 1956, вып. 8.
30. М у р а т о в	Л. М.	Улучшение сходимости несобственных интегра
лов. Вычисление некоторых		интегралов разложением в			ряд. — Учен. зан.
Удмуртского гос. пед. ин-та, 1956, вып. 8.				приближенного	интегрирования
31. М у р а т о в	Л. М.	Одни	способ
некоторых сингулярных дифференциальных				уравнений первого порядка.—
Учен. зап. Удмуртского гос. пед. ин-та, 1957, вып. 11.

32.Н а з м е е в X. С. К теории вычисления двойных числовых рядов. Диссертация. Казань, 1950.

33.Н у т ф у л л и и Ш. Н. К теории сходимости и оценки несобствен ных интегралов. — Учен. зап. Кемеровского гос. пед. ин-та, 1963, вып. VII.

34. Н у т ф у л л и н

Ш.

Н.

Некоторые достаточные

признаки сходи

мости кратных интегралов. Учен. зап.

Кемеровского

гос. пед. ин-та, 1967,

вып. IX.

П.

Я- Теория

движения

грунтовых

35. П о л у б а р и н о в а-К о ч и и а

вод. М., ГИТТЛ, 1952.

Е. О некоторых вопросах теории ^-кратных ря

36. П о с п е е в

В.

дов.— Учен. зап. Ташкентского веч. пед. ин-та, 1960, вып. X.

знакополо

37. П о с п е е в

В.

Е.

теории

о сходимости

й-кратных

жительных рядов. — Труды

ин-та математики

им.

В.

И.

Романовского

АН УзССР, 1962, вып. 26.

Об улучшении сходимости

^-кратных

знакопо

38. П о с п е е в

В.

Е.

ложительных рядов.— Исследования

по

дифференциальным

уравнениям.

Ташкент, АН УзССР,

1963.

вычисления

двойных

несобственных

39. П о с п е е в

В.

Е.

К теории

интегралов. — Изв.

Казанского

филиала АН СССР,

1962,

т.

15.

40. П о с п е е в

В.

Е.

К вычислению

двойных

сумм и

интегралов. —

Изв. АН УзССР, 1963, сер. физ.-мат., № 4.

приближенном

решении

41. П о с п е е в

В.

Е.,

Л о г и н о в

Б. В.

некоторых интегральных уравнений Вольтерра с разрывным ядром. Краевые

задачи для дифференциальных			уравнений с частными производными. Таш
кент, „Фан“, 1970.				т. 2,	вып. 2.
42.	Прикладная математика и механика, 1938/1939,
43.	Р о м а н о в с к и й	В.	И. Введение в анализ.	Ташкент, Госучпед-
гиз, 1939.		Применение критерия Бертрана			к оценке оста
44.	Р я б ц е в И. И.

точного члена бесконечного числового ряда.— Труды Пензенского индустр. ин-та, 1955, вып. 3.

45. С а л е Xо в Г. С. Новый способ определения области сходимости, суммирования, а также улучшение сходимости некоторых рядов, разложен ных по тригонометрическим функциям, по полиномам Лежандра, Чебышева,

по	функциям Бесселя			и другим. — Учен. зап.		Казанского ун-та,	1936,
т.	96, кн. 4—5.		Г.	С.	К теории вычисления рядов. — УМН,		1949,
	46.	С а л е X о в
т. 4, вып.			Г.	С.	Вычисление рядов. М., ГИТТЛ., 1955.
	47.	С а л е X о в
	48.	Х е м м и н г	Р.	В.	Числовые методы. М.,	1968.
166

49.

Ц х а д а я

Т. О сходимости

двойных

числовых

рядов

положи

тельными членами. — Труды Сухумского

гос. пед. ин-та,

1958,

10—11.

50.

Ши л о в

Г.

Е.

Математический анализ. М.,

„Наука“,

1969.

51.

Ямке

Е.

и др. Специальные функции. Изд. 2-е. М., „Наука", 1968.

52.

А n (1 г u s k i w

note

multiple

series

positive

terms.

Amer. Math. Monthly, 68. N 3, 1961.

11. P.

method

for

the

evaluation

53.

B e n s o n

C„

S h r e i b e r

of some

lattice sums occuring in calculation

phisical

properties of

crystals.

Canad. I. Phys, 33, N 9, 1955.

Dynamical

theory

crystal

lattices,

Oxford,

54.

Bo r n

M.,

H u a n g

Univ, Press, London, Chapter 3 and Appenix 111, 1954.

55.

C a t a l a n

Ё. Mémoire sur la transformation des séries et sur quelque

integrales définies.

Mémoire

couronnés

memoires

des

savants

étrangers

publics

par I’Acadèmie

Royale

des

Sciences,

des

lettres

des

beaux-arts

Belgique 33, 1865—1867.

Analyse

Algebrique. Paris, 1821.

56.

С а u s h у

А.

Bombay,

24,

N 3,

57.

С 1 u n i e

Series

positive

terms.

Univ.

AIO—A12, 1955.

M.,

B e n s o n

method

fos the evaluation

some

58.

Ha f f

lattice sums occurring in calculation of physical

properties

crystals. Canad.

O. Phys., 31, N 7, 1953, 1087—1094.

Anwendungen

der

unendlichen

Reihen.

59.

K n o p p

К.

Theorie

und

Berlin,

1924.

Eine

neue

Methode,

die

numerische Summer

langsam

60.

Ku mme r

convergierenden

Reihen

berechnen.

Journal

für die

reine

und angewandte

Mathematik, 16, 206—214.

1837.

J e o r g e

H. A method for evaluating

61.

Mа г а d u d i n

A. A.,

W e i s s

lattice sums. Canad J. Phys, 37. N 2, 1959,

170—173.

factors.

Amer.

62.

Mo o r e

Summable

series

and

convergence

Math. Soc. Cailoguum Publication vol. 22, N-Y., 1938.

63.

N ey

О formula

asimptotica

generaba

pentru

evalvarea

reslului

seriilor

convergente cu termeni positivi. Studii

Cercet

matem.

(Cluj),

XII, 2, 1961 (Roumanie).

64.

N ey

A. Un

procedeu

Imbunatative a convergentei seriilor si a con-

vergentei integralelor

improprii.

Studii

cercet

matem.

(Cluj),

XIII, 2,

1962 (Roumanie).

Contribution

â 1

étude

rapiditc

convergence

des

65.

N ey

scries a termes positifs. Mathematica, (Cluj),

4(27), 1, 1962, (Roumanie).

III,

66.

P r i n g s h e i m

A. Vorlesungen

über Zahlenund

Funktionenlehre,

Leipzig,

1923.

Ober

gleichzeitige

Convergent

oder

Divergent

67.

S c h 1о m i 1 c h

zweier Reihen. Zeitshrift für Math, und

Fhysik,

Bd. 18,

1873.

		О Г Л А В Л К Н И Е
Предисловие ..........................................................................................................								3
Г л а в а	J. Вычисление рядов с положительными членами................							5
§ 1.	Основные понятия.		Общий		признак		сходимости и оценка	5
осіатка ряда ..............................................................................................
§ 2.	Достаточные признаки сходимости. Оценки остатков . . . .							8
2.1. Признак Куммера..............................................................................				.	•			. 9
2.2. Признак Даламбера .								11
Д.З. Обобщенный признак Даламбера...............................................								13
2.4. Признак Раабе..................................................................................							. .	14
2.5. Признак Гаусса......................................................................								14
2.6. Алгебраический признак Коши...................................................								15
2.7. Интегральный признак...................................................................								16
2.8. Другие		признаки	..........................................................................					19
2.9. Дифференциальные признаки.......................................................								24
2.10. Признаки сходимости,				вытекающие из теории сопряже				28
ния рядов		..............................................................................................
§ 3. Асимптотическое представление остатков рядов ....................								31
§ 4. Улучшение сходимости р я д о в .......................................................								35
4.1. Преобразование Куммера...............................................................								37
4.2. Некоторые специальные				р я д ы ...................................................				38
4.3. Способ улучшения сходимости рядов, сходящихся по при								39
знаку Куммера ....................					...........................................................
4.4. Способ улучшения сходимости рядов, соответствующий								42
признаку Даламбера ..............................................................................
4.5. Способ улучшения сходимости рядов, соответствующий								46
признаку		Р а а б е ..................................................................		рядов S (т)			.... . . .
4.6. Улучшение сходимости							.......................................	48
4.7. Обобщение метода..........................................................................								51
4.8. Способ улучшения сходимости, основанный на применении								55
формул приближенного интегрирования							...................................
4.9. Применение формулы Эйлера—М аклорена...........................								57
4.10. Знакочередующиеся р я д ы					...........................................................			58
§ 5. Улучшение сходимости функциональных рядов........................								61
5.1. Способы улучшения сходимости степенных рядов................								61
5.2. Общий случай улучшения сходимости							степенных рядов . .	66
5.3. Способ		улучшения	сходимости тригонометрических рядов					68
Г л а в а	II. Вычисление несобственных интегралов от положитель							70
ных функций		.................................................................................................					несобственных инте
§ 1. Общий признак сходимости и оценка								70
гралов ........................................................................................................						и	соответствующие нм
§ 2. Достаточные признаки сходимости								72
оценки...................................................						...............................................
2.1	Аналог признака Куммера ...........................................................							72
2.2. Аналог признака Раабе..................................................................								73
2.3. Аналог признака Даламбера ...................................................						К ош и		74
2.4. Аналог алгебраического				признака				76

168

2.5. Признаки сходимости, вытекающие из рассмотрения лога							77
	рифмической производной подынтегральной функции					. . . .
2.6. Другие признаки		сходимости.......................................................			остатков	несобственных	85
§ 3.	Асимптотическое	представление					90
интегралов..................................................................................................
§ 4. Улучшение сходимости несобственных интегралов................						. . .	94
4.1. Аналог преобразования			Куммера . . ........................				94
4.2. Способ улучшения сходимости,					соответствующий аналогу		95
	признака Куммера . .			..........................................................
4.3. Об одном обобщении формулы интегрирования по частям							96
4.4. Улучшение сходимости			путем выделения особенностей . .				98
4.5. Улучшение сходимости			интегралов S ( х )			. . . .	99
4.6. Другой метод..................................................................							101
4.7. Вычисление несобственных				интегралов с помощью рядов			103
Г л а в а	III. Вычисление кратных рядов с положительными членами						108
Сокращенные обозначения к главам III и IV ...................................							108
§ 1. Основные понятия и утверждения..............................................							110
§ 2. Общий признак сходимости А-кратных знакоположительных							114
рядов и оценка их остатков..............................................................						с поло
§ 3. Достаточные признаки сходимости /г-кратных рядов							116
жительными членами. Оценка их о с т а т к о в ...............................
3.1. Аналоги признака Куммера...........................................................							116
3.2. Аналоги признака Даламбера.......................................................							126
3.3. Аналог алгебраического признака К ош и ...............................							131
3.4. Интегральные признаки ...............................................................							133
3.5. Дифференциальный признак.......................................................							139
3.6. Аналог признака		Приисгейма.......................................................					141
3.7. Признаки сходимости,			основанные на теории сопряжения				142
§ 4.	р я д о в ......................................................................................................	представление остатков ^-кратных сходя
	Асимптотическое						144
щихся рядов с положительными членами........................						. . .
§ 5. Улучшение сходимости й-кратных рядов с положительными							145
членами.................................................................................................		кратных		несобственных		интегралов от
Г л а в а	IV. Вычисление						148
ограниченных положительных функций...............................................
§ 1. Общий признак сходимости А-кратных несобственных инте							148
гралов и оценка их остатков				...........................................................
§ 2. Достаточные признаки сходимости /г-кратных несобственных							150
интегралов. Оценка остатков интегралов.......................................
§ 3. Асимптотическое представление остатков сходящихся £-крат-							161
ных несобственных интегралов..................................................
§ 4. Улучшение сходимости ß-кратных несобственных интегралов							162
Литература..............................................................................................................							165

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 1817 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ