Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

7.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

где введено обозначение:

и' (t)f[u(t) 1

		£ ( 0		=			fit)
							fit)
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Действительно,								полагая < р ( ( ) = / ( 0 —
— «'(/)/[«(/)], имеем
У (0		„	!	_		а' б ) f { u			(<)]
/	( 0						/ (О
и при Е < 1
Я =		lim					=	1 -	£ >	О,
-		^	/	(	0
со			со						оо
Д ( а ) = \| <р(Odt — j					/(/)dt — I /[«(<)]и'(0 dt =•
а			а						а
	=		и (а)				dt < оо.
	=		J	/	(	0	dt < оо.
			а
По общему признаку интеграл сходится.										противного. Пусть
Вторую часть признака докажем									от	противного. Пусть
Д > 1. Тогда при достаточно						большом т
							оо
< 0		(t >		т)			и j	cp(t) dt < 0 .
							т
Если предположим, что интеграл (2.10) сходится, то
оо					и	( т	)

J ? ( 0 d t = j / ( 0 dt > О,

тт

т.е. приходим к противоречию.

§3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСТАТКОВ

НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Будем говорить, что интеграл

J / ( 0 dt

асимптотически равняется функции F(x) при х —*Ь, если отношение

J/ ( f ) dt

F{x)

.90

стремится к единице при х —*Ь. Обозначим это формулой

f/(0 d t~ .F (* ) ( х- Ь) .

Теорема. Если несобственный интеграл (2.1) сходится па общему признаку § 1 , причем

R (О < R <оо), В(х) = j ср (/) dt,

/-+»/ (О

где <р(t) — вспомогательная функция, то имеет место асимп тотическое равенство

	ь
j	/ ( 0 dt ~	(-»).		(2.19)
X
Справедливость этой		теоремы	устанавливается	так же,
как и теоремы в § 3 главы 1 .			равенств тесно	связано
Улучшение	асимптотических

с улучшением сходимости несобственных интегралов, поэтому этот вопрос отдельно рассматривать не будем.

На основании сформулированной выше теоремы для кон кретных признаков сходимости, рассмотренных в § 2 , получаем

соответствующие асимптотические							представления		остатков
несобственных интегралов.						Рассмотрим		некоторые	из	них.
1.	Если интеграл (2.1) сходится						по признаку К и
		^ ( C M			e{l)Jrg' (t)y		R > o,
где g(t) — отрицательная						функция	при	x K t < . b ,	то	со
гласно	(2.19)
j'	т dt	1	\imf(t)g(t) - f(x)g(x)					(х Ь).	(2.20)
X		R л-*ь
X
Пр и ме р		1. Для интеграла
		/ ( * ) =		оо		dt
						dt
				J	Г------- ----------( * > 1 ),
				J	Mna<+ sini
выбирая g(t) — — t\n t,					находим
		1{х)				X ln X	( л —* со).
		1{х)	(а —				( л —* со).
			(а —		1) {х 1па X + sin х)

Пример 2. При g(t) = f ~ 1 (<х>0) получаем

—У 1 — ха(х —>1 ).

IV l - t a

2.При g(t) = — 1, согласно (2.20), в соответствии с пр знаком D получаем

оо

Г f{t) d t ~ ^ ( * - > o o ) ,				/ ? = _ l imm .
J	R				t-*°c	/ ( 0
ЛГ
Пример.
Л*
-где
F(t, к) =	J ( 1 — h? sin2 s)			2	ds ( 0 < k < 1		).
3. Если интеграл (2.10) сходится по признаку							С, то
оо			—a* w
I	т dt		—a* w		(х->оо),
I	т dt		R ІП а		(х->оо),
еде
R = 11т	/	—	(* < 1	),	Нт <\|>( 0	• ОО.
оо	/				/-►оо

Пример.

оо1

	J *	“dt	ln t		(.х—>оо, 0 < t < 1 , ф( 0		=	t).
			ln t
4.	Если f{t) = /а(1 + 0(1)) (t—*co,					а < — 1 ),	то,	согласно
•<2.19),	при	cp (t) = (/? +	/)“	находим
		J / ( 0 d	t ~		- ^ ± ^	(^->оо),
где
		/	=	-	- 1 іт*2 (Г ‘/ ( 0 )'.
					Я /—^оо

9 2

Пример.

	оо		о —
	Г		у t2dt _		6		(х —MX)).
	j v F M ?				j / ( , + 15)5		(х —MX)).
	j v F M ?			5	j / ( , + 15)5
5.	Если для некоторого а > О
			lim а/ а	~ 2 (t)f' (t) = — R <С0,
			t - + оо
то
			оо		/ “(•*) (х-^оо).
			J /(0dt.		/ “(•*) (х-^оо).
			J /(0dt.		R
Пример.		При а = —
	оо		dt				(х —>оо).
			dt
	I, + V t + у t)
	I, + V t + у t)				X	X + у *
6 . Если для интеграла (2.10)
	f' ( 0	-	n		«(0		)) (^ >оо),
	f' ( 0	-	У	1	«(0	( 1 + 0 0	)) (^ >оо),
	•/«)		U x*(0			Хд (О
			ft= 0
	1 V	-	я + 0 (1)	(І-+ ОО, а + 1 >0),				Х0(/) = *,
	a (t)j		xn( 0			fe
	hit) == ( ln t\n ln t					fe
	hit) == ( ln t\n ln t
то
		оо	f(t) d t--------f- x) }'n(x) ■
		Г	f(t) d t--------f- x) }'n(x) ■				(* -+00 ).
		J			(a + 1)«(Je)		V	1
П p и Me D.
oo		dt			In X ln ln X
J'		dt			In X ln ln X			(x —oo),
	t \ n t (ln ln t ) x + 1			(X — 1) [ x		ln X (ln ln x)x +		(x —oo),
	t \ n t (ln ln t ) x + 1			(X — 1) [ x		ln X (ln ln x)x +		1]
здесь	X> 1, n — l,a(t)				X
здесь	X> 1, n — l,a(t)

ln ln t

§ 4. УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

4.1. А н а л о г		п р е о б р а з о в а н и я					К у м м е р а
Пусть даны сходящиеся несобственные интегралы
		ь								(2 .2 1 )
		J /	( 0	dt,						(2 .2 1 )
		.гг
		/ /і ( 0		dt						(2 .2 2 )
		X
от положительных функций f ( t ),					f 1( t ) ( a <t <b )					ограничен
ных, если b = со и неограниченных при							t =	b,	если b < оо.
Если	Ц	т ^ - = 0,								(2,23)
	Ц	т ^ - = 0,								(2,23)
	м	/ (О
то интеграл (2 .2 2 ), очевидно,				сходится			к	своему значению
быстрее, чем интеграл (2.21). Если же
lim		=	с ( 0 < с < оо),
і-+ь	/ (t)
то интегралы сходятся		с	одинаковой			скоростью.				Поэтому
любое преобразование, сводящее интеграл (2								.2 1 ) к интегралу
(2.22) при условии (2.23), можно					назвать		улучшением сходи
мости интеграла (2.21). Ясно,				что такое			преобразование тем
эффективнее, чем	быстрее стремится					к нулю			отношение

іьШ- при t —>b. т F

Для улучшения сходимости интеграла (2.21) используем преобразование, аналогичное преобразованию Куммера для

рядов.					•»
Пусть
	11т 7 7		Д —	( 0	< / ? 0 < оо).
	/	(О
Тогда справедливо следующее тождество
ь	ь				ь
J / ( 0	dt = ^-J ?о(') d t+				J ( / ( * ) - ^	) dt,	(2.24)
X	X			X
b	полагаем известным. Очевидно,					интеграл
где J <Po (0 dt	полагаем известным. Очевидно,					интеграл
X
	\| / , W < l t - \| ( / W - ^ ) d t						(2.25)
	X		X
сходится быстрее, чем интеграл (2 .2 1 ).

Применяя преобразование (2.24) к интегралу (2.25) и пов торяя такую процедуру п раз, получаем

	Ь				п	Ъ		b
	J	/ W d t =			^ ] ^ j ‘ cpft(0		dt + j‘/„+i(0 cl(,				(2.26)
где	х				ц— о	X		X
где
	Л + 1 <	0 =	/	*	( *	) =	о, 1	, ...,	п, /о(0 “ / ( 0 ).
					Kk
При этом		функции			yk(t){k = 0,		1,	, п)		подбираются	сле
дующим образом:						ь
	) значения					ь			, 1	, ... , п) известны,
1	) значения		интеграловJ yk{t) dt (k = 0						, 1	, ... , п) известны,
						X
2	) существуют пределы
	1 і	т	^	=	/?*(0	< /?А<оз,		£ = 0	, 1	,.... л).
	t-ft> fk (0

Выбирая функции cpk(t) в соответствии с конкретными признаками сходимости § 2 , получаем различные способы улучшения сходимости интегралов.

Равенство (2.26) без последнего члена представляет собой улучшенное асимптотическое равенство

	Ь .	п	Ь
	]* / ( O	d t - J ^ j ^ O d t (x-^b),
	X	k=0	X
где <рk(t) и	Rk (k = 0 , 1 , ... , ѣ) определяются так же, как
и в формуле (2.26).			сходимости несобственных ин
Заметим,	что улучшение		сходимости несобственных ин

тегралов от неограниченных функций позволяет выделить особенность, а рассматриваемые преобразования, как частные случаи, содержат приближенные способы вычисления несоб ственных интегралов, предложенные Л. В. Канторовичем [23] и А. Н. Крыловым [24].

4.2. С п о с о б	у л у ч ш е н и я		с х о д и м о с т и , с о о т в е т с т в у ю щ и й
	а н а л о г у п р и з н а к а К у м м е р а
В тождестве (2.26) примем, что
Тогда		?() =	(/* ()&())'•
Тогда
О	п		Р
J /(0dt =		J]^A(0^(o[ + j / n+i(0 dt,		(2.27)
X	£	* = 0	X

/о ( 0 = / ( 0	, Л + 1	( 0 = / ( 0 -	J] “	(ft ( 0	ft (0 )',
			/ = 0 ‘
где gÄ(/) подбираются так, чтобы
lim	( Л	( 0 f t ( 0 )' =	R k (0 <	R k <	сю).

Пример. Рассмотрим интеграл

Примем g(*) = tg*, тогда

7 ^ 7 ( f i O g i O Y « -	ß + - 7 - - а tg2 * = 1 - ß + 0 (1) ( t - 0 )
/ (О	cos2 £

и /? = 1— ß.	Применяя преобразование (2.27) при п = О,
получим
д1				X
I* cosg t	^ __	cosg~ 1^ ______а — 1		I'	cosg~ 2 t	^
30 sinß t	(1 —	p) Sinß IJC	1 —	ß 30	sin^- '2	t
	'

где последний интеграл сходится быстрее, чем первоначаль ный. Последнее тождество представляет собой рекуррентную формулу; применяя ее последовательно п раз, находим

г cosg t	d t =	cos“- 1 X	/ J ___ ,	(a	1) (a 3) ... (a		2k + 1) Ip .2 ^ 4 ,
J sinß t		sinP-1^	VI —P	ZJ ( 1	— P)(3— P)... (2 A+ 1 — P) ё J
о				*=i
		(a — 1) (a — 3) ... (a— 2n — 1) Г cosg t				fo2n+ 2 td i
		( 1 —P)(3 —p)... (2		я+ 1 — p) J sinßf		ё
Ту же формулу можно				получить, применяя			преобразова
ние (2.27) для ѣ > 0.
4.3.	О б	о д н о м о б о б щ е н и и			ф о р м у л ы	и н т е г р и р о в а н и я
			п о ч а с т я м

Как показал А. Н. Крылов [24], путем интегрирования по частям некоторые несобственные интегралы могут быть све дены к собственным. Пользуясь методом улучшения сходи мости, рассмотренным выше, можно расширить класс задач подобного типа.

Из формулы (2.27) при

f(t) dt = adv, g (t) = —и n = 0

получаем обобщение формулы интегрирования по частям:

b			І>	ь		(/ (ии)
	и dV		І>	1' /		(/ (ии)
где	и dV	R	,+	]и dv		R			(2.28)
где			R =		lim d (uv)
			R =		lim d (uv)
					t.-+b Кdv
В частном	случае,		когда		R = 1	формула		(2.28)	превра
щается в обычную формулу интегрирования по частям.
Пример.	Рассмотрим			несобственный			интеграл
/ = J H ( 1		— f f dt (— 1 < ß < 0 , 0 < x < 1 ).
Принимая	Л
Принимая	u=sp~a+\ dv = ta 1 (1 —
	u=sp~a+\ dv = ta 1 (1 —						dt,
произведем интегрирование по частям и получим:
■П- « + 1		О.\ Л-f- 1 .		т —*_+ 1		f - a(\ 0		?+1 dt.
а(Р + И О		X)'	+	т —*_+ 1		f - a(\ 0		?+1 dt.	( )
а(Р + И О				«(Р + 1 ).					1

Теперь подынтегральная функция в последнем интеграле не имеет особых точек и интеграл является собственным.

Используя формулу (1) как рекуррентную формулу п раз, находим

j_ . р - а + 1 ( 1 - А Л) 3+1 +		у ( T - а	+	I ) -	(Г j - ( f e - l ) a		+ l ] ( l - A - ) 3+fe
						1
I	<7— я +	1)...(т —	Па +	1)	і* fg -іш / J __ taf +n (it
	«"(? + 1)0 + 2) ...0 4-л)				J	*	;

Следует отметить, что применение интегрирования по частям дает возможность освободиться от особенности только при указанных выше предположениях относительно а и dv, тогда как формула (2.28) может привести к соотно шению (1 ) и при других предположениях. Например, если предположим

и = (1 — О *т~ в+1, dv = (1 - f f ~ l f ~ l dt,

то интегрирование по частям не освобождает от особенности, а применение формулы (2.28) приводит к выражению (1 ).

Д-198—7

4.4. Улучшение сходимости путем выделения особенностей

Сходимость некоторых		типов		несобственных интегралов,
для вычисления	которых	Л.	В.	Канторович [23] применяет
метод выделения	особенностей, может быть улучшена также
с помощью аналога преобразования Куммера.
Рассмотрим указанные классы несобственных интегралов.
ь			(— 1 < а < О, -X < X, < Ь), где
1 ) А (х) = j (t — Xjf'MO dt
Л'

<]>(t) п раз дифференцируемая функция, 'M-'q) О, подынте гральная функция обращается в бесконечность при t = хх.

В формуле (2.26) положим <pé (t) — (t — х х)а+к (k — 0, 1, ... , п), тогда находим

А (х) = J]	f (t -	x .r - d t + j
k~0	X	X
где функция

/ я + 1 (t) dt,

f n+i у ) = Ф(o V - *1? - j ]					(t - * .r+*=
			* = 0
		= 0	[ ( t - x xr n\ ( i ^ x x)
уже не имеет особенности в точке t = х х.
	Ь	(t — лГі)“l n " —JCj)dt,			где	<z£(— 1 , 0 ),
2 ) І2(х) = J ^ ( 0
	Л‘
b\,	n — целое положительное			число, ф (t) — дифферен
цируемая	функция.		Подынтегральная		функция	обращается
в бесконечность		при t = х х.
За вспомогательную функцию возьмем
		т ( 0	= (^ —	(/ — *,).
Тогда, на основании			(2.25), получаем

А (х) = <!»(лгі) f (t — JCJ)“ln" (t — xx) dt +

+ f [Ф(0 — ф (^)] (t — -Xi)a 1 1 1 ” (t —X,) dt,

где первый интеграл вычисляется легко, а второй интеграл является собственным.

Заметим, что если в подынтегральные функции входят

несколько	множителей	вида (t — xk) k		(k =	1 , 2	, ... ,	s), то
особенности выделяются			последовательно		в	точках	t = xx,
t = Х2, ... ,	t = xs.
4.5.	Улучшение	сходимости интегралов 5 (де)
Рассмотрим интегралы вида
		оо		(х > 0
	5(аг) =	Г	/(О dt	(х > 0	),
		J	V \Z)
		X

где P(i), Q(t) — многочлены степени

г и s соответственно,

s — r = v > l ;

Q(0

не имеет положительных

нулей,

а в ка

честве функции

(t)

можно

брать

одну

из

следующих

функций:

, sin*/

cos*/

e~at

{k — целое, а > 0 ).

Пусть справедливо разложение (см. 5.1 гл. 1)

Я (0 =

ГЧ

а,

Я„ (О

(2.29)

Q(t)

е +і-

Q(t)tѵ-рл— 1

где неопределенные

коэффициенты at определяются из усло

вия равенства

нулю коэффициентов при ts+n~l (t =

1 , 2

, ... , п)

в числителе дроби

P(t)

ѴЧ

•

я PHѵ +

я - 1

r = l

Q(t)

Q (

tѴ+ Л — 1

Тогда

1 = 1

я„ (0

’Oft'

V")

((-+CO).

Q(t)

+ n _

f (t)

Умножая равенство

(2.29)

на

интегрируя,

получаем

■ / ( о d t

) d t

(2.30)

i=1

Q ( 0 f'V + fl — 1

где первые интегралы в правой части вычисляются с по мощью известных соотношений и таблиц для специальных функций [12, 51]: si(x), сі (х), Еі(х), Для последнего инте грала имеет место оценка

Рп(0f(t) dt < sup 1 / ( 0		1 Г	Pn (0	dt (x > 1 ).
Q(t) е +п' 1	t> x	J	0 ( 0 ^
	t> x	J	Э + П -1

7 *

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1810 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ