Эта кривая изображена штриховой линией на рис.4.1, такая же зависимость имеет место и для Q0 . Представленная модель весьма грубо описывают
реальное явление, однако она очень проста и верно отражает процесс к концу диастолы. В начале диастолы зависимость давления от времени более сложная.
На основе механической модели может быть построена эквивалентная электрическая модель (рис.4.1б). Источник напряжения U служит аналогом сердца, выпрямитель B – сердечного клапана. Конденсатор C в течение полупериода накапливает заряд, а затем разряжается на резистор R , в результате чего происходит сглаживание силы тока, протекающего через резистор. Действие конденсатора аналогично действию упругого резервуара, который сглаживает колебания давления крови в артериолах и капиллярах. Резистор R является аналогом периферической сосудистой системы.
В более точных моделях сосудистого русла используется большее количество эластичных резервуаров для учета того факта, что сосудистое русло является системой, распределенной в пространстве. Для учета инерционных свойств крови при построении модели предполагается, что эластичные резервуары, моделирующие восходящую и нисходящую ветви аорты, обладают различной упругостью. На рис.4.2 приведено изображение модели Ростона, состоящей из двух различных резервуаров и с неупругими звеньями разного гидравлического сопротивления между резервуарами. Этой модели соответствует электрическая схема с двумя емкостями, которая описывается системой двух дифференциальных уравнений первого порядка. Такая модель лучше описывает процессы, происходящие в сосудистом русле.
4.3 Аппарат искусственного кровообращения
Достаточно просто рассчитать работу, совершаемую против сил вязкого трения при однократном сокращении левого желудочка. В соответствии с (4.7) при проталкивании крови в аорту за время dt совершается работа
dA = ∆PQdt .
Разность давлений и расход крови в этом выражении непостоянны. Однако обе величины зависят от времени как от параметра, поэтому имеется неявная зависимость разности давлений от величины объема крови, выдавленной в аорту. Тогда сокращающийся желудочек за время систолы tc совершает работу
Рис.4.2 Гидравлическая модель Ростона сосудистого русла и эквивалентная электрическая схема
Vу
A = ∫∆P(V )dV = ∆PVу ,
0
где ∆P - средняя разность давлений в процессе увеличения объема крови, выдавливаемого в аорту.
Кровь приобретает также кинетическую энергию, поэтому полную работу при сокращении левого желудочка можно записать в виде суммы
A =Wtc + EK = ∆PVу + ρVу v2 
2.
Работа правого желудочка принимается равной 0,2 от левого, так что полная работа
A =Wtc + EK =1,2Vу ( |
|
+ ρVу v2 2) . |
(4.8) |
∆P |
Формула (4.8) лежит в основе работы аппаратов искусственного кровообращения и справедлива как для покоя, так и для активного состояния организма. Они отличаются разной средней скоростью потока крови. Полагая
∆P = 13кПа, Vу = 6·10-5м3, ρ = 1,05 103 кг/м3, v = 0,5 м/с, получим работу
разового сокращения сердца в состоянии покоя 1Дж. Считая, что в среднем сердце совершает одно сокращение в секунду, найдем работу сердца за сутки – 86400Дж. При активной мышечной деятельности работа сердца может возрасти в несколько раз. Наконец, если учесть, что продолжительность систолы около 0,3с, то средняя мощность сердца за время одного сокращения равна 3,3Вт.
4.4 Вискозиметрия
Формула (4.6) описывает работу очень простого вискозиметра Гесса, который используется для клинического определения вязкости крови. Из (4.6) следует, что при протекании по капилляру жидкостей с разной вязкостью расход тем больше, чем меньше вязкость. В соответствии с этим при протекании воды и крови по двум идентичным капиллярам известная вязкость воды ηв =1мПа·с и вязкость крови связаны через отношение расходов
ηk =ηв Qв ,
Qk
что позволяет установить вязкость крови относительно вязкости воды.
Более точный метод измерения вязкости жидкостей в биомедицинских исследованиях основан на применении ротационных вискозиметров, в которых жидкость находится в зазоре между двумя соосными цилиндрами. Один из цилиндров (ротор) вращается, а другой неподвижен. Вязкость измеряется по угловой скорости ротора, создающего определенный момент силы на неподвижном цилиндре, или по моменту силы, действующему на неподвижный цилиндр при заданной угловой скорости вращения. Рассмотрим движение жидкости, заключенной между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися вокруг своей оси с разными в общем случае угловыми скоростями Ω1 и Ω2 . Если ось z направлена по оси цилиндров, то из
соображений симметрии вытекают равенства
vz = vr = 0, |
vϕ = v(r), |
P = P(r) . |
|||
Уравнение Навье-Стокса дает в рассматриваемом случае два уравнения |
|||||
|
dP = |
ρ v2 |
, |
(4.9) |
|
|
dr |
|
r |
|
|
d 2v |
+ 1 dv |
− |
v |
|
= 0. |
dr2 |
r2 |
|
|||
r dr |
|
с n = ±1, поэтому |
|||
Последнее уравнение имеет решения вида rn |
|||||
v = ar + br .
Постоянные a и b находятся из предельных условий, согласно которым скорость жидкости на внутренней и внешней цилиндрических поверхностях должна быть равной скорости соответствующего цилиндра. Если радиусы
цилиндров R1 и R2 ( R1 < R2 ), то v = R1Ω1 |
при r = R1 и v = R2Ω2 |
при r = R2 . Тогда |
|||||||||||
распределение скоростей имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
v = |
Ω |
R |
2 −Ω R |
2 |
r |
+ |
(Ω −Ω |
)R |
2 R 2 |
1 |
, |
(4.10) |
|
2 |
2 |
1 1 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|||||
|
R |
2 − R 2 |
|
R |
2 − R 2 |
r |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
а распределение давления получается путем интегрирования уравнения (4.9). При равенстве угловых скоростей вращения Ω1 = Ω2 = Ω из (4.10) следует,
что заключенная между ними жидкость будет вращаться с той же угловой скоростью, так что линейная скорость v = Ωr . При отсутствии внешнего цилиндра следует положить Ω2 = 0 и перейти к пределу R2 → ∞. Тогда
v = Ω1rR12 .
Используя (4.10), несложно определить моменты сил вязкого трения, действующих на цилиндры. Заметим, что сила, действующая на некоторый элемент поверхности ds , есть ни что иное, как поток импульса через эту поверхность. В соответствии с (4.4) поток импульса через эту поверхность есть
Пik dsk = (−σik + ρvivk )dsk = (−σik + ρvivk )nk ds .
На твердой поверхности скорость жидкости равна нулю, поэтому сила F , действующая на единицу площади поверхности, равна
F = −σ |
ik |
n |
k |
= Pn |
−σ (v)n |
. |
(4.11) |
i |
|
i |
ik k |
|
|
Первый член есть обычное давление жидкости, а второй представляет собой действующую на поверхность силу трения, обусловленную вязкостью. Вектор
nв (4.11) есть единичный вектор нормали, внешний по отношению к жидкости
ивнутренний по отношению к твердой поверхности.
Таким образом, на единицу поверхности внутреннего цилиндра действует сила трения, которая в соответствии с (4.11) направлена по касательной к
поверхности и равна компоненте σr(ϕv) тензора вязких напряжений. С помощью общего выражения для этой компоненты тензора напряжений находим
σrϕ |r=R =η( |
1 ∂v |
r |
+ |
∂vϕ |
− |
vϕ |
) |r=R = −2η |
(Ω −Ω |
)R |
2 |
. |
||
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|||||||
|
∂r |
r |
2 |
|
2 |
|
|||||||
1 |
r ∂ϕ |
|
|
1 |
R2 |
− R1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Момент этой силы получается умножением на радиус цилиндра R1 , а полный
момент силы, действующий на единицу длины цилиндра – умножением на 2πR1 , в результате чего получаем
M |
|
= −2πη |
(Ω |
−Ω |
)R |
2 R |
2 |
. |
(4.12) |
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
||||
|
R 2 |
− R 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
Видно, что индексы цилиндров 1 и 2 входят в (4.12) симметрично с точностью до знака всего выражения, поэтому действующий на внешний цилиндр момент сил M 2 = −M1 . При Ω2 = 0 и малом зазоре δ , что отвечает
параметрам реальных вискозиметров, выражение (4.12) приобретает вид
M 2 =ηRSu /δ , |
(4.13) |
где S = 2πR - площадь поверхности единицы длины цилиндра и |
u = Ω1R ее |
линейная скорость. Обратно пропорциональная зависимость момента сил от δ
иего увеличение с ростом u позволяют производить весьма точные измерения вязкости биологических жидкостей, жидких лекарственных препаратов и т.д. При этом движение жидкости является ламинарным, если вращается внешний цилиндр, а внутренний покоится.
Отметим, что особенностью решения (4.10) для распределения скорости движения жидкости является то, что оно не содержит зависимости от вязкости
иудовлетворяют также уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости. Коэффициент вязкости появляется только в таких формулах, которые связывают скорость или расход жидкости с градиентом давления в жидкости, например, в выражении (4.6). Причина в том, что сам градиент давления появляется из-за вязкости жидкости – идеальная (невязкая) жидкость может протекать, например, по трубе и в отсутствие градиента давления.
4.5 Измерение артериального давления крови
Несмотря на свою видимую простоту, клинический метод измерения артериального давления крови связан с целым рядом нетривиальных физических явлений, описывающих движение вязкой жидкости и, в частности, с турбулентностью. Для описания условий появления турбулентных потоков важное значение имеет так называемое число Рейнольдса, которое можно ввести исходя из простых соображений, связанных с размерностью различных физических величин. Из параметров, характеризующих саму несжимаемую вязкую жидкость, в гидродинамические уравнения Навье-Стокса входит только кинематическая вязкость ν =η
ρ . Решением стационарных уравнений
движения жидкости является скорость v и отношение P
ρ давления к
постоянной плотности. Если речь идет, например, об обтекании твердого тела жидкостью, то течение жидкости зависит посредством граничных условий от формы и размеров тела. При заданной форме тела его геометрические свойства определяются только одним каким-либо из линейных размеров тела, который обозначим через l . Скорость натекающего потока будем считать равной u .
Легко убедиться, что из трех параметров задачи v , u и l можно составить
только одну безразмерную комбинацию, которую называют числом Рейнольдса
Re = ρul η = ul ν . |
(4.14) |
Поэтому всякий другой безразмерный параметр можно записать в виде функции от Re и безразмерного отношения r
l . В частности, получающееся в
результате решения гидродинамических уравнений распределение скоростей определяется функциями вида
v u = f (r l , Re) . |
(4.15) |
Из выражения (4.15) видно, что в двух различных течениях одного и того же типа скорости v
u являются одинаковыми функциями отношения r
l , если
только числа Рейнольдса для этих течений одинаковы. Течения, которые могут быть получены друг из измерения координат и скоростей друга простым изменением масштаба измерения координат и скоростей, называются подобными, а соотношения типа (4.15) – законом подобия. Аналогичное выражение для давления имеет вид
P ρu2 = f (r l , Re) . |
(4.16) |
При малых числах Рейнольдса стационарное обтекание устойчиво. Это означает, что малые возмущения скорости, например, будут затухать со временем. При увеличении Re достигается в конце концов такое его критическое значение Reкр , начиная с которого движение становится
неустойчивым. В этом случае возмущения, раз возникнув, приведут к тому, что движение станет турбулентным на всем протяжении трубы. Для разных типов движения существует свое критическое значение Reкр . Для пуазейлевских
течений число Рейнольдса описывается выражением
Re = ρV0 R η =V D 4ν , |
(4.17) |
а критическое значение этой величины, определяющее границу устойчивости по отношению к возмущениям конечной интенсивности, составляет величину порядка 1200-1800. Эта величина позволяет легко определить, например, систолический расход крови в аорте, при котором движение еще устойчиво.
Клинический метод определения артериального давления крови основывается на регистрации давления в момент времени, когда артериальное давление сравнивается с давлением воздуха в манжете, пережимающей плечевую артерию. В этот момент времени поток крови с большой скоростью
V впрыскивается в плечевую артерию дистальнее места пережатия, в результате чего достигается очень большое значение числа Рейнольдса, а поток крови является турбулентным.
Давление в манжете регистрируется точно в момент появления турбулентного потока благодаря тому, что турбулентные потоки являются источниками звука и их появление легко фиксируется на слух с помощью фонендоскопа. Дело в том, что турбулентное движение жидкости при больших Re характеризуется чрезвычайно нерегулярным беспорядочным изменением скорости со временем в каждой точке потока (развитая турбулентность). Скорость все время пульсирует около некоторого среднего значения. Такое же нерегулярное изменение скорости имеет место от точки к точке потока,
рассматриваемого в заданный момент времени. Можно ввести понятие о средней скорости движения u , получающейся в результате усреднения по большим промежуткам времени истинной скорости в каждой точке пространства. Разность v′ = v −u между истинной и средней скоростями, обнаруживающую характерное для турбулентности нерегулярное изменение, называют пульсационной частью скорости.
Нерегулярное пульсационное движение можно качественно рассматривать как результат наложения движений (турбулентных пульсаций) различных масштабов. Под масштабом движения здесь подразумевается порядок величины тех расстояний, на протяжении которых существенно меняется скорость движения. По мере возрастания числа Рейнольдса появляются сначала крупномасштабные флуктуации. Чем меньше масштаб движения, тем позже такие пульсации появляются. При очень больших числах Рейнольдса в турбулентном потоке присутствуют пульсации с масштабами от самых больших до малых. Основную же роль играют крупномасштабные пульсации, масштаб которых – порядка характерных длин, определяющих размеры области, в которой происходит турбулентное движение. Будем обозначать порядок величины этого основного (или внешнего) масштаба турбулентного движения посредством l . Эти крупномасштабные движения обладают наибольшими амплитудами. Их скорость по порядку величины сравнима с изменениями ∆u средней скорости на протяжении расстояний l . Здесь следует говорить именно об изменении скорости, поскольку величина самой скорости зависит от системы отсчета.
Что касается характерных частот этих крупномасштабных пульсаций, то они – порядка отношения u
l средней скорости к масштабу движения.
Действительно, частота определяет характерный период повторяемости картины движения, наблюдаемой из некоторой неподвижной системы отсчета. Но относительно такой системы вся картина движется вместе со всей жидкостью со скоростью порядка u . Поскольку основная часть энергии турбулентного движения заключена в частотах порядка u
l , отвечающих
основному масштабу энергии, то и основные частоты в спектре излучаемых волн будут такими же.
Мелкомасштабные пульсации, соответствующие большим частотам, участвуют в потоке со значительно меньшими амплитудами. Их можно рассматривать как мелкую детальную структуру, накладывающуюся на основные крупномасштабные турбулентные движения. В мелкомасштабных флуктуациях заключена относительно малая часть всей кинетической энергии жидкости. Напротив, диссипация энергии происходит именно в этих несущественных с точки зрения общей картины движения пульсациях. Масштаб λ0 или внутренний масштаб турбулентности определяется числом
Рейнольдса движения в целом, и внешним масштабом l : λ0 = l
Re3
4 .