Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

110

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

i j k

4					3		1							2
					1				2				1
								1						2											3						2						3		1


																			j															k
			4 i																j															k
									2				1												1					1							1		2
									2				1												1					1							1		2

				12,
				12,					20, 28


									12					2	20							2					28				2	1328 4 83 .
		b							12						20												28					1328 4 83 .

Найдите вектор
																		AB AC,
																		AB AC,											BC,				AB			, если
										,											,		C
	A		2, 2, 3							,	B		1, 0, 4								,		C		2, 3, 5 .
РЕШЕНИЕ:
											2,								,	AC																,
	AB 1,										2,					1			,	AC									0; 1; 2							,
	BC								3,																										1,
	BC					1,			3,			1		AB AC 1,																					1,		3 .
																							k

												i							j
												1					3						1
BC,					AB							1					3						1
												1				2							1																		5, 16,	7
												1				2							1																		5, 16,	7
						3				1							1							1									1				3	5, 2, 1 .


i												j														k
					2					1								1						1								1				2
					2					1								1						1								1				2
																																				k

																												i						j
																											1						1			3		5, 16,			7 .

AB AC,											BC,					AB
																												5				2				1
																												5				2				1
Упростите выражение:
Упростите выражение:
i , j k									j ,i						k									k ,i				j k								, где i , j ,k				- ба-

зисные векторы прямоугольной декартовой систе-
мы координат.
РЕШЕНИЕ:
Для i , j ,k справедливо:																																									2(k i )
i , j						k , j ,k										i ,					k ,i							j ,					i ,k j						, так как

i ,k , j						- левая тройка,																								k , так как									j ,i ,k		-
i ,k , j						- левая тройка,																	j ,i							k , так как									j ,i ,k		-
левая тройка.
Тогда						i , j k											i , j						i ,k										k ( j) ,

j ,i k	j ,i		j ,k		k i ,

k ,i j k		k ,i		k , j		j k , и искомая

сумма равна

k j k i j i 2k 2i 2(k i ) .

Векторы a , b ,

c , d связаны соотношением

a,c

. Докажите, что векто-

a,b

c,d ,

b ,d

ры ( a d ) и ( b

c ) коллинеарны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Найдем

a,c

a d ,b c

a,b

d ,b

d ,c

b,d

b ,d

c ,d

значит, эти векторы коллинеарны.

Вычислите площадь параллелограмма, построен-

ного на векторах a и b , если a p 3q ,

b 3p q ,

5 , p,q

РЕШЕНИЕ:

ďŕ đ

a b

p 3q 3p q

75 3

p p

q 9 q p

3 q

0 ,

p q q p ,

Так как p p

q q

Sďŕđ

10 p q

10 3 5

75 3 .

В треугольнике с верши-

нами A 1, 1, 2 ,

B 5, 6, 2 , C 1, 3, 1

найдите высоту

РЕШЕНИЕ:

Площадь S

AB, AC

AB,

Найдем AB 4,				5,	0 ,	AC 0, 4, 3 .
			i	j	k		15, 12, 16
			i	j	k
			4	5	0
	AB,	AC	4	5	0			.
			0	4	3			.
			0	4	3

225 144 256 625 25,

AC 02 42 32 5 h 5 .

Найдите расстояние от точки B с координатами

(5, 6, 2) до прямой, проходящей через точки

A(1, 1, 2)

и C(1, 3, 1) .

РЕШЕНИЕ:

Построим треугольник

ABC и опустим высоту

h | BD |

из вершины B

на основание AC (или

его продолжение).

Тогда искомое расстояние равно h | BD |, и задача

свелась к предыдущей.

Докажите, что в треугольнике ABC с биссектри-

сой CC

выполняется со-

отношение

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

sin

CB C

C A

SCAC

sin

SC B C

BŃ

CAC

C A

BŃ

C A

5. Смешанное произведение векторов

Докажите, что при любых a,b,c векторы a b ,

c a компланарны.

b c

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Вычислим смешанное произведение векторов a b ,

b c и c a :

a b b c c

ab bb ac bc c

abc

bbc acc

bcc

aba

bba

aca bca

abc

bca abc abc 0, это означает, что векторы

компланарны.

Докажите тождество a c b a b abc .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

a c b a b a c , b,a

b,a

b,a abc

Даны векторы a1 1, 1,3 ,

2, 2,1 ,

a3 3, 2,5 .

а) вычислите объем параллелепипеда, построенного

на этих векторах;

б) вычислите объем тетраэдра, построенного на этих

векторах;

в) определите, будут ли векторы a1 , a2 , a3 компла-

нарны;

г) определите, образует ли тройка a1 , a2 , a3

базис

в трехмерном пространстве;

д) определите, будет ли тройка a1 a2 a3

правой.

РЕШЕНИЕ:

нет,

да,

левая

а) Vďŕđ

7 ,

a1a2a3

б) V

тетр

пар

некомпланарны, так как V 0 ,

в) векторы a1 , a2 , a3

г) тройка a1 , a2 , a3

образует базис в трехмерном про-

странстве,

д) тройка a1 , a2 , a3 – левая, так как a1a2 a3

7 0 .

В тетраэдре с вершинами в точках A 1,1,1 , B 2,0, 2 ,

C 2, 2, 2 , D 3, 4, 3 вычис-

лите высоту DE h .

РЕШЕНИЕ:

AB 1, 1,1 , AC 1,1,1 ,

AD 2,3, 4 .
AD 2,3, 4 .												3 2
	1				1		1
	1				1		1
V		S		h					AB, AC			h ;
V		S		h					AB, AC			h ;
	3		осн		3		2
	3				3		2
	1			1

V	6Vпар			6			AB, AC			, AD		;


								AD

h		AB, AC					,			12
		AB, AC					,			12			3 2



			AB,			AC				2	2

Найдите расстояние от плоскости, проходящей через точки A(1,1,1) , B(2,0,2) , C(2,2,2) , до точки

D(3,4, 3).

3 2

РЕШЕНИЕ:

Построим тетраэдр ABCD и найдем его высоту

| DE | 32 , как в предыдущей задаче.

Длины базисных векторов e1 ,e2 ,e3 в пространстве равны соответственно 1, 2, 2 , а углы между ними:

. Вычис-

,e2 120

, e1

,e3

, e2

,e3

135

лите объем параллелепипеда, построенного на век-

торах, имеющих в этом базисе координаты

a 1,0,2 , b 1,1,3 , c 2, 1,1 .

РЕШЕНИЕ:

V | abc |

e1 2e3

,e1 e2

3e3 ,2e1

10 2

e1 ,e2

3 e1 ,e3 2 e3 ,e1

2 e3

,e2

2e1 e2 e3

e1e2e3 3e1e3e2 2e3e1e2 4e3e2e1

e1e2e3( 1 3 2 4 ) 10 e1e2e3 .

Осталось найти | e1e2e3 |. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ох была направлена по e1 , e2 лежал в плоскости oxy , тогда

e1 1,0,0 ,

o o

e2 2 cos120 , 2sin120 ,0 1, 3,0 .

Найдем e3 . Предположим, что он имеет декартовые координаты e3 ( x,y,z ). Воспользуемся известными углами между векторами e1 , e2 , e3 и их

длинами:

( e1 , e3 ) 1

2 cos 45

(e1 ,e3 ) e1xe3x e1y e3 y e1ze3z 1 x 0 y 0 z x

2 .

x 1; (e2 ,e3 ) 2

2 cos135

С другой стороны,

(e2

,e3 ) 1 x 3y 0 z x 3y

2 1x

y ,

x 1 1

Так как | e3 |

. Тогда

2 ,

V 10 2 .

| e1e2e3 |

Дайте алгебраическое доказательство того, что сме-

шанное произведение трех компланарных векторов

равно нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Даны три компланарных вектора a ,

b , c . Докажем,

что

0 .

a,b ,c

,c 0.

Если a коллинеарен b a,b

0 a,b

Если a неколлинеарен b , то они образуют базис на

плоскости, поэтому в силу компланарности a ,

b , c

имеем c

a b . Найдем

, a b

a,b

a,a

b,b

,a 0

Докажите, что четыре точки A 1,2, 1 ,

B 0,1,5 ,

C 1,2,1 , D 2,1,3

лежат в одной плоскости.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

	Точки A,B,C,D лежат в одной плоскости тогда и
	только тогда, когда векторы AB, AC,AD компла-
	нарны, то есть AB AC AD 0. Вычислим
						1	1	6
						1	1	6
						2	0	2		2 12 8 2 0 ,
	AB AC AD					2	0	2		2 12 8 2 0 ,
						1	1	4
	что и требовалось доказать.
	Дан параллелограмм ABCD . Докажите, что его
	площадь в два раза меньше площади параллело-
	грамма A1B1C1D1 , противоположные стороны кото-
	рого соответственно параллельны и равны диаго-
	налям AC и BD исходного параллелограмма.
41	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
41

	Если AB a,AD b , то.
	Если AB a,AD b , то.								SABCD \| a,b		\|. Диагонали
	параллелограмма ABCD
	параллелограмма ABCD								равны d1 a b и
	d2 b
	d2 b				a .
	SA B C D
	SA B C D				\|[a b,b a] \| 2 \|[a,b] \| 2SABCD .
	1	1	1	1

					ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2

	АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

						1. Плоскость

№		Задание						Ответ
	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через
	точку M 0 (3, 2, 7) параллельно плоскости
	P1 : 2x 3z 5 0 .
	РЕШЕНИЕ:
	В качестве нормального вектора
	искомой плоскости Р можно вы-
1	брать нормальный вектор плоско-							2x 3z 27 0
1	сти P1		n1 {2,0, 3} и уравнение
	сти P1		n1 {2,0, 3} и уравнение
	плоскости Р может быть записано в
	виде уравнения плоскости, проходящей через точку
	M 0 (3, 2, 7) с нормальным вектором n1						{2,0, 3}:
	2(x 3) 3(z 7) 0 . После приведения к виду общего
	уравнения плоскости это уравнение принимает вид:
	P : 2x 3z 27 0 .
	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через
	точку M 0 (1,1,1)				перпендикулярно прямой
	L:	x 1		y 2	z 1
	L:	5			1
		5	2		1
	РЕШЕНИЕ:
	В качестве нормального вектора
2	искомой плоскости выбираем на-							5x 2y z 6 0
2	правляющий вектор прямой L,
	правляющий вектор прямой L,
	имеющий компоненты a {5,2, 1}
	из канонических уравнений дан-
	ной прямой L. Уравнение плоскости, проходящей че-
	рез точку M 0 (1,1,1) с нормальным вектором n {5,2, 1} ,
	имеет вид:
	5(x 1) 2( y 1) (z 1) 0 5x 2y z 6 0 .
	Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через
	точку M 0 (1,1, 1) перпендикулярно двум плоскостям
	P1 : 2x y 5z 3 0 и P2 : x 3y z 7 0 .
3	РЕШЕНИЕ:							2x y z 2 0
3	По условию n1 {2, 1,5}, n2 {1,3, 1} .							2x y z 2 0
	По условию n1 {2, 1,5}, n2 {1,3, 1} .
	Нормальный вектор искомой плоскости должен быть
	перпендикулярен нормальным векторам плоскостей
	P1	и P2 .

В качестве такого вектора можно выбрать их векторное произведение:

		i	j	k
		2	1	5
n n1	n2	2	1	5	14i 7 j 7k.
		1	3	1

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

14(x 1) 7( y 1) 7(z 1) 0 2x y z 2 0 .

Составьте уравнение плоскости Р , проходящей через

три точки M1 (3, 1,2), M 2 (4, 1, 1), M 3 (2,0,2).

РЕШЕНИЕ:

Если M(x,y,z) - текущая координата плоскости, то

уравнение плоскости получается как следствие ком-

3x 3y z 8 0

планарности векторов MM1, M1M 2 , M1M 3 , то есть ра-

венства нулю их смешанного произведения:

MM1 M1M 2 M1M 3

x 3

y 1

z 2

0 3x 3y z 8 0.

Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью

3x 4y 24z 12 0

на координатных осях.

РЕШЕНИЕ:

Приведем уравнение плоскости к виду уравнения

плоскости "в отрезках":

-4; 3; 0,5

4 y

24z

4 3 1/ 2

где

a 4, b 3, c

отрезки, отсекаемые

плоскостью на осях ox, oy, oz

соответственно.

Составьте уравнение плоскости Р, параллельной век-

тору p {2,1, 1} и отсекающей на координатных осях

отрезки a 3

b 2 .

РЕШЕНИЕ:

Уравнение искомой плоскости "в отрезках" имеет вид:

1. Приведение его к общему виду

2x 3y z 6

2cx 3cy 6z 6c 0 дает плоскость с нормальным

вектором n { 2c,3c, 6}. Из условия перпендикулярно-

сти векторов n

p : (n p) 4c 3c 6 0

c 6,

n {2, 3,1} , и уравнение плоскости принимает

вид:

1 2x 3y z 6 .

Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (1,7, 5) и отсекающей от осей координат по-

ложительные и равные отрезки.

РЕШЕНИЕ:

Уравнение плоскости, отсекающей от осей координат

2x 3y z 6

положительные и равные отрезки a , имеет вид:

x y z

1. Так как плоскость проходит через точ-

ку M 0 (1,7, 5) ,

a 1 7 5 3 и уравнение

плоскости принимает вид: x y z 3 x y z 3 0 .

Найдите угол между плоскостями P1 : x y

z 6 0

и P2 : y 0 .

РЕШЕНИЕ:

Один из двух смежных углов (острый) между плоско-

стями равен углу между их нормальными векторами

и находится из их ска-

n1 {1, 1, 2}

и n2 {0,1,0}

лярного произведения:

1 0 1 1

2 0

cos

(n1

n2 )

12 12 (

2)2

02 12 02

60 .

Найдите уравнение плоскости, проходящей через точ-

ки M (2, 1,4) и N(3,2, 1) перпендикулярно к плоскости

x y z 3 0.

РЕШЕНИЕ 1:

Составим систему уравнений. Первое уравнение

представляет уравнение плоскости, проходящей через

точку М с нормальным вектором n {A, B,C} . Второе –

условие прохождения этой плоскости через точку N.

Третье – условие перпендикулярности этой плоскости

и заданной плоскости с нормальным вектором

n1 {1,1,1} . Получили однородную систему уравнений

4x 3y z 7

для определения А, В, С:

A( x 2 ) B( y 1) C( z 4 ) 0,

	A 3B 5C 0,

	A B C 0.

Условие существования решения системы

x 2	y 1	z 4
1	3	5	0 приводит к уравнению иско-
1	1	1

мой плоскости: 4x 3y z 7 0. РЕШЕНИЕ 2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.2015218.62 Кб20Введение_ИТП+тит+содерж.doc
#
16.11.2019221.7 Кб1Введенская. Деловая риторика.doc
#
22.02.2015166.6 Кб17вводный курс по алгебре для подготовки к ЕГЭ.docx
#
12.08.2019412.54 Кб7ВВС ТОРХОВА.docx
#
31.08.2019125.95 Кб40Ведическая литература.doc
#
23.02.20154.63 Mб110Векторная алгебра и аналитическая геометрия.pdf
#
23.02.2015140.63 Кб31Великая депрессия.rtf
#
12.03.2016363.52 Кб10Великая книга 2.doc
#
16.09.2019568.83 Кб1Великое переселение народов и образование Варва...doc
#
23.09.2019215.73 Кб10вентиляция ПЗ Толя.docx
#
13.03.201620.39 Mб16вера бахаи учение прогрессивного откровения пивоваров.pdf