Векторная алгебра и аналитическая геометрия

точке М.

160

b2

фокусом;

e a2 b2 - эксцентриситет эллипса, если координатные оси совпадают с a

осями эллипса.

Окружность

Окружность - геометрическое место точек, равноудаленных от точки О (центр).

x2 y2 R2 - уравнение окружности радиуса R с центром в

начале координат;

центром в точке (x0,y0);

R - уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат в полярных координатах;

R с центром в точке ( 0, 0) в полярных координатах;

2R cos - уравнение окружности радиуса R в полярных координатах. Центр окружности лежит на полярной оси, окружность касается начала координат.

Гипербола

Гипербола - геометрическое место точек M x, y , для которых абсо-

лютная величина разности расстоя-

фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a .

162

Гипербола – центральная линия второго порядка. Она состоит из двух бесконечных ветвей, симметрична относительно осей. Элементами гиперболы являются: точка О - центр гиперболы; точки А и В - вершины гиперболы;

эксцентриситет гиперболы.

Эксцентриситет определяется отношением осей гиперболы и характеризует еe форму: чем больше e, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоугольник гиперболы.

Асимптоты гиперболы - это прямые, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении в бесконечность.

Угол между асимптотами зависит от значения эксцентриситета гиперболы

называется равнобочной, ее асимптоты взаимно перпендикулярны, уравнение гиперболы имеет вид: x2 y2 a2 . Если принять асимптоты за оси координат,

то уравнение гиперболы примет вид: xy a2 , то есть равнобочная гипербола

2

является графиком обратной пропорциональности. Прямые d1 и d2 , перпендикулярные

действительной оси гиперболы и отстоящие от

ее центра на расстояниях d a , называются e

директрисами гиперболы, соответствующими фокусам F1 и F2. Отношение расстояния любой точки гиперболы до фокуса к расстоянию ее до

соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету r1 r2 e . d1 d2

163

Сопряженные гиперболы – две гиперболы, которые в одной и той же системе прямоугольных координат при одних и тех же значениях a и b определяются уравнениями

Сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты. Действительная ось каждой из них есть мнимая ось другой и наоборот.

x a ch t,

y bsh t, - параметрические уравнения правой ветви гиперболы; t ( , )

b2

a

Парабола

Парабола - геометрическое место точек M x, y ,

равноудалённых от заданной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).

y2 2 px - каноническое уравнение параболы с

вершиной в начале координат,

точка О - вершина; OX - ось параболы;

точка F(р/2,0) - фокус; x p - уравнение директрисы;

2

e 1- эксцентриситет; p - фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX).

точке (x0,y0);

164

фокусом;

x t,

- параметрические уравнения параболы.

y 2 pt

Уравнения вырожденных кривых второго порядка (прямые)

Для приведения кривой Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 к каноническому виду следует подвергнуть уравнение преобразованиям:

центром в точке O '(x0 , y0 ) и радиусом R;

симметрии в точке O'(x0, y0 );

y y0 b (x x0 ) - уравнения асимптот гиперболы; a

(y y0 )2 2 p(x x0 ) - уравнение параболы с вершиной в точке O'(x0, y0 ).

165

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение Ax2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0 линии второго порядка другим уравнением

A1x2 2B1xy C1 y2 2D1x 2E1 y F1 0 .

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1). Эллиптический тип, если I2 AC B2 0.

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке

2). Гиперболический тип, если I2 AC B2 0.

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных

x2 y2

пересекающихся прямых a2 b2 0.

3). Параболический тип, если I2 AC B2 0.

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

Линии в полярной системе координат

Полярные координаты

OM , 0 , 0 2 .

Связь полярных координат с декартовыми

Для M(x,y) и M( , ):

x

166

Розы

Двухлепестковые розы:

Четырехлепестковые розы a > 0

Трёхлепестковые розы:

a sin 3 ;0 2 , 0 a, a>0 ; a cos 3 ; 0 2 , 0 a, a>0 .

Лемниската Бернулли

2 2a2 cos2

Вершины кривой находятся в точках A(a2,0); C( a2,0).

Площадь каждой петли S = a2.

168