Векторная алгебра и аналитическая геометрия

РЕШЕНИЕ 2:

Нормальный вектор искомой плоскости перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей. Из условия перпендикулярности можно найти координаты вектора n {A, B,C} из системы:

2.3. Прямая линия в пространстве

Общие уравнения прямой

Прямая линия в общем виде определяется как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений:

A1x B1 y C1z D1 0,A2 x B2 y C2 z D2 0.

Канонические уравнения прямой

Любой ненулевой вектор раллельный ей, называется направляющим вектором прямой. Пусть - текущая точка прямой, а

Вектор M 0 M {x x0 , y y0 , z z0 } коллинеарен вектору a , следовательно, их координаты пропорциональны.

Канонические уравнения прямой, проходящей через

Параметрические уравнения прямой

Обозначим отношения, входящие в канонические уравнения прямой, через t:

Отсюда получаем параметрические уравнения прямой в виде:

Уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости

20

ПРИМЕР: Прямая задана общими уравнениями: 3x 2y 4z 11 0, (*)

2x y 3z 1 0.

Составьте канонические и параметрические уравнения прямой. Напишите ее уравнение в виде проекций на координатные плоскости.

Найдем координаты точки, лежащей на прямой. Положим x0 1, а две другие координаты найдем из системы (*):

В качестве направляющего вектора прямой выберем вектор, являющийся векторным произведением нормальных векторов плоскостей, линией пересечения которых будет искомая прямая.

Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки M1 (x1, y1, z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 ) . В качестве направ-

ляющего вектора прямой выберем вектор M1M2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1}, и уравнения прямой, проходящей через две данные точки, примут вид:

ПРИМЕР: Составьте уравнения прямой, проходящей через две точки

21

ПРИМЕР: Определите угол между двумя прямыми:

Находим направляющие векторы данных прямых. Нормальные векторы плоскостей, задающих первую прямую, n1 {3, 4, 2}, n2 {2,1, 2}, и вторую прямую, Направляющие векторы первой и второй прямых:

arccos 98 .

195

22

Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая L1 с направляющим вектором a1 {l1, m1, n1} проходит че-

рез точку M1(x1, y1, z1). Найдем расстояние от точки M2 (x2 , y2 , z2 ) до прямой, для чего построим вектор

M1M2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1}.

Длина перпендикуляра M2 N , опущенного из точки

M2 на прямую L1 (она же – искомое расстояние):

Расстояние между двумя прямыми

Пусть прямая L1 с направляющим вектором a1 {l1, m1, n1} проходит через

точку M1(x1, y1, z1), а прямая L2 с направляющим вектором a2 {l2 , m2 , n2} – через точку M2 (x2 , y2 , z2 ) .

Построим вектор M1M2 {x2 x1, y2 y1, z2 z1} и спроектируем его на направление n нормали к векторам

a1 и a2 . Длина проекции N1N2 и будет искомым расстоя-

нием. Нормаль может быть задана как n a1 a2 , а мо-

дуль проекции N1N2 может рассматриваться как высота параллелепипеда, построенного на векторах M1M2 , a1 ,

Если прямые параллельны, то ищем расстояние от точки M2 до прямой

L1 (как в предыдущем параграфе).

2.4. Прямая и плоскость

Точка пересечения прямой и плоскости

Пусть известны уравнения прямой и плоскости:

Координаты точки пересечения прямой и плоскости должны одновременно удовлетворять этим уравнениям.

23

1). Выражая две переменные через третью из уравнений прямой и подставляя их в уравнение плоскости, получим уравнение для одной переменной и найдем точку пересечения прямой и плоскости.

2). Можно перейти к параметрическим уравнениям прямой:

прямой и плоскости.

3). Если прямая задана общими уравнениями, точка пересечения может быть найдена как решение системы из трех уравнений плоскостей.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую

Пусть прямая задана линией пересечения двух плоскостей:

A1 x B1 y C1 z D1 0,A2 x B2 y C2 z D2 0.

Возьмем любые отличные от нуля числа и и составим равенство

( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B 2 y C 2 z D 2 ) 0 .

Это равенство определяет произвольную плоскость, проходящую через ту же прямую.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, назы-

вается пучком плоскостей. Если положить 0 и , то уравнение

A1 x B1 y C1 z D1 (A2 x B2 y C2 z D2 ) 0

определяет все плоскости пучка, кроме второй из плоскостей, задающих прямую.

24

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между пря-

мой и ее проекцией на плоскость. Пусть – угол между вектором нормали n к

Прямая L перпендикулярна плоскости P, если направляющий вектор прямой коллинеарен нормальному вектору плоскости, то есть

A B C . l m n

Прямая L параллельна плоскости P, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости, (a n) 0, то есть

Al Bm Cn 0.

25

3.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

3.1.Простейшие задачи на плоскости

Расстояние между двумя точками

3.2. Прямая линия на плоскости

Уравнения прямой

Общее уравнение прямой на плоскости XOY можно получить из общего уравнения плоскости в пространстве при z= 0:

Ax+By+C = 0.

Если А= 0 (В= 0), то прямая параллельна оси OX (оси OY). Если С= 0, то прямая проходит через начало координат.

26

Если прямая проходит через точку (x0,y0) перпендикулярно вектору n A, B , ее уравнение принимает вид: A(x x0 ) B(y y0 ) 0 .

Каноническое уравнение прямой

Если прямая проходит через точку (x0,y0) параллельно направляющему вектору a l,m , то получаем каноническое и параметрические уравнения

прямой на плоскости в виде:

где t - параметр, t ( , ) .

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть на плоскости заданы две точки M1(x1,y1), M2(x2,y2). Уравнение прямой, проходящей через эти точки, можно записать как условие коллинеарности векторов

M1M2 č MM1 , где M(x,y) – произвольная точка прямой. Искомое уравнение получаем в виде

Уравнение прямой, проходящей через данную точку

в заданном направлении

Пусть прямая составляет угол с осью ох. Угловым коэффициентом прямой k называется число

k tg .

Прямая может быть задана точкой М1(x1,y1) и угловым коэффициентом k или двумя точками М1(x1,y1) и М2(x2,y2).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k

может быть получено из общего уравнения прямой

Ax+By+C=0, если B 0 :

y k x b , где k А и b C . B B

Прямая пересекает ось oy в точке P(0,b).

Из уравнения прямой, проходящей через две точки, имеем

y y1 k(x x1).

27

Уравнение прямой в отрезках

Общее уравнение прямой Ax+By+C=0 при C 0 может быть

преобразовано к виду уравнения прямой “в отрезках”: x y 1 . a b

Прямая в отрезках пересекает ось Оx в точке А(а,0) и ось Оy в точке

В(0,b).

Нормальное уравнение прямой

Пусть известно расстояние от прямой до начала координат OP p и угол между перпендикуляром

к прямой и положительным направлением оси OX. Из нормального уравнения плоскости в

пространстве, полагая z= 0 и учитывая, что

получаем нормальное уравнение прямой на плоскости в виде

xcos ysin p 0 .

Нормальное уравнение прямой можно получить из общего уравнения

1

прямой Ax+By+C= 0, умножив его на нормирующий множитель .

A2 B2

Знак числа должен быть противоположен знаку числа С.

Косинусы углов, образуемых прямой с осями координат, называются

направляющими косинусами прямой.

Если угол между прямой и осью OX равен и угол между прямой и осью OY равен , то cos2 cos2 1.

Расстояние от точки до прямой

Расстояние d от точки M0(x0,y0) до прямой, задаваемой нормальным уравнением, равно модулю отклонения точки от прямой , d = | |:

A2 B2

По этой формуле положительно, если точка М0 и начало координат лежат по разные стороны от прямой, в противном случае отрицательно.

Координаты точки пересечения двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то координаты точки их пересечения (x0, y0) получаются как решение системы уравнений

A1x B1 y C1 0,

A2 x B2 y C2 0

28

Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями: y1 k1x b1,

y2 k2 x b2.

Острый угол пересечения этих прямых (отсчитываемый по часовой стрелке) находится из следующих соотношений:

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если прямые заданы уравнениями A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, то они

3.3. Кривые второго порядка

Кривые второго порядка на плоскости определяются алгебраическими уравнениями второго порядка.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек M(x,y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1(+с,0) и F2(-с,0) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2а.

29