Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

то есть MM =

.pdf

Скачиваний:

110

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

5. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

1. Векторы, базисы, координаты

№	Задание	Ответ
В треугольнике ABC разложите биссектрису CC по
	CB и b CA .
базису векторов a	CB и b CA .
РЕШЕНИЕ:

Пусть a CB , b CA ,
C лежит на стороне AB .

CC a b a ,

где a

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника

и тем, что BA BC C A. Отсюда

C A

следует, что

C A

CC 1 a

Докажите, что точка пе-

ресечения медиан тре-

угольника делит каждую

медиану в отношении

2 :1, считая от вершины.

РЕШЕНИЕ:


Пусть A – середина стороны BC , B									– середина
стороны AC . Отложим на медиане BB расстояние
	2	BB '		от вершины и поставим точку O . Тогда
	2
3
3					2		2
					2		2
			AO AB			BB AB		BA AB
			AO AB		3	BB AB	3	BA AB

1 AB 1 AC .

3 3

Отложим от вершины A по медиане AA																				расстояние
	2	AA'	и поставим точку M . Найдем координаты
	2
3
3
вектора AM в базисе векторов AB и AC .
				2				2				1					2		1
		AM				AA				AB								AB		BA AC

														BC
				3								2					3		3
				3				3				2					3		3
					1		1				1				1
						AB			AC
						AB			AC				,			.
				3			3
				3			3				3				3

Но это координаты вектора AO . Таким образом, точка O и точка M совпадают, это точка пересечения медиан, и она делит медианы AA и BB в отношении 2 :1, считая от вершины.

	В треугольнике ABC через O обозначена точка пе-
	ресечения медиан. Найдите сумму векторов
	OA OB OC .
	РЕШЕНИЕ:
	Обозначим
3	AB c , BC a , AC b,																0
3	b a c .																0
	Из рисунка по свойству медиан
	получаем, что					2		A1 A B1B C1C
	OA OB OC					2
	OA OB OC					3
						3
		b					c				a	c	1
		b	c c		a		c	a	b		a	c	1	a c b 0.
			c c					a				2	2	a c b 0.
	2			2		2		2		2		2	2
	Точки E и F – середины сторон AD и BC четырех-
															1
	угольника ABCD . Докажите, что EF														1	AB DC	.
	угольника ABCD . Докажите, что EF														2	AB DC	.

4Выведите теорему о средней линии трапеции. РЕШЕНИЕ:

EF EA AB BF , EF ED DC CF ,

								1
		BF CF , EA ED , EF						1	AB DC	.
		BF CF , EA ED , EF						2	AB DC	.
Если ABCD - трапеция, сторо-								2
Если ABCD - трапеция, сторо-
ны AB и CD параллельны, то-
гда
		1			1
	EF			AB DC			AB
	EF		2	AB DC		2	AB
			2			2

- свойство средней линии трапеции.

На стороне AB и диагонали AC параллелограмма

ABCD			взяты соответственно точки E и F так, что
	1			1
AE			AB и AF		AC .
		n		n 1

Докажите, что точки E , F и D лежат на одной прямой и определите отношение отрезков EF и FD .

5 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть AB a , AD

b .Тогда a b AC .

EF AF AE

(a b)

b .

n 1

n(n 1)

n 1

FD AD AF b

( a b )

b .

n 1

EF || FD , то есть точки E ,

Отсюда | EF |:| FD |

F , D лежат на одной прямой.

Задан тетраэдр OABC . В базисе из ребер OA , OB и

OC найдите координаты векто-

ра OF , где F – точка пересече-

ния медиан основания ABC .

РЕШЕНИЕ:

6 Воспользуемся правилом треугольни-

ка:OF OA AF OA

AK .

K – середина ребра CB ; точка F находится на рас-

стоянии

длины медианы от вершины A.

AK AB

													1
				AO					OB				1	BO				OC .
				AO					OB					BO				OC .
												2
Подставим AK в OF :
							2
			OF OA				2		AO OB								1		BO OC
			OF OA				3		AO OB								3		BO OC
					2					2				1								1
			OA			OA					OB				OB									OC
			OA		3	OA				3	OB			3	OB									OC
					3					3				3							3
	1																	1
	1	OA OB		OC										1				1					1
								,			OF =					,				,					.
	3							,			OF =					,				,					.
	3													3				3					3
	В пространстве заданы треугольники ABC и
	A B C ; M и M								– точки пересечения медиан
	этих треугольников соответственно. Разложите
	вектор MM				по базису векторов AA , BB , CC .

РЕШЕНИЕ:

Пусть N – середина стороны BC , N – середина стороны B C .

MM MA AA A M

	.
	Найдем:
								2
	MA									NA ; NA				NB BA;
	MA							3		NA ; NA				NB BA;
								3													2					1		1		1
								1													2					1		1		1
	NB									CB ; M A				A M								N A ; N A N B B A ;
	NB									CB ; M A				A M								N A ; N A N B B A ;
7								2													3						,		,
								2													3					3		3		3
								1																		3		3		3
								1

	N B							2		C B ;
								2
	C B C C CB BB ; B A B B BA AA .
	После последовательных подстановок																							2
																				2				2
	MM MA AA A M																					NA AA

																									N A
																				3				3
																				3				3
			2
			2		NB BA AA											2		N				B B A
			3		NB BA AA											3		N				B B A
			2														2				1
			2			1											2				1


			3 2								2						3 2
			2				1				2						1
									CB				BA AA								C C CB BB
			3				2		CB			3	BA AA						3		C C CB BB
		2
		2		B B BA									AA		1		AA BB CC						,
		3		B B BA									AA		3		AA BB CC						,

2. Декартов прямоугольный базис. Направляющие косинусы и координаты

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC из-
вестны векторы
AB 2;2;5 ,
AC 3;6; 2 ,
AD 10;8; 14 . Найдите
сумму координат вектора								3
MN , где M и N - середины								3
MN , где M и N - середины
сторон AB и CD .
РЕШЕНИЕ:
BC AC AB , MN	AD BC	AD AC AB		15	, 6,	21	.
	AD BC	AD AC AB		2		2
				2		2
2			2
3.
Даны точки A(8, 7, 4) , B(1, 2, 3) , C( 1, 1, 7) .
Найдите сумму координат точки D(x, y, z) , если
AB 2BC 3AD 0.
РЕШЕНИЕ:
AB 7,5,1 , BC 2,1, 4 ,			AD x 8, y 7, z 4 .

- 6

AB 2BC 3AD 0

7,5,1 4, 2,8 3x 24,3y 21,3z 12 0


7 4 3x 24 0
	5 2 3y 21 0 (x, y, z) (9, 8, 7) .
	5 2 3y 21 0 (x, y, z) (9, 8, 7) .
	1 8 3z 12 0
	1 8 3z 12 0
Сумма координат равна (- 6).
			2 и углы a 45 ,
Дан модуль вектора		a	2 и углы a 45 ,

b 60 и g 120 , которые он составляет с коор-
b 60 и g 120 , которые он составляет с коор-				2,1, 1
динатными осями Ox , Oy и Oz соответственно.				2,1, 1
Вычислите проекции вектора a на координатные
оси.

РЕШЕНИЕ:

ax a cosa 2cos 45 2 ;

ay a cosb 2cos60 1;

az a cosg 2cos120 1.

a = 2,1, 1

Даны векторы a																		1, 1,					. Вы-
Даны векторы a										2, 0, 1 и b								1, 1,			0		. Вы-
																							2b .
числите направляющие косинусы вектора a																							2b .	cosa	0		,

РЕШЕНИЕ:																									5
																									5
																										2
																								cosb		2		,


																									5
a 2b 2, 0, 1 2 1, 1, 0																		0, 2, 1 .							5
a 2b 2, 0, 1 2 1, 1, 0																		0, 2, 1 .							1

					2			2			2
	a 2b		0			2			1			5 .												cos g

																									5
cosa		0	; cosb				2			;	cos g		1			.									5
		0					2						1

5									5				5
Может ли вектор составлять с координатными осями
следующие углы: a 45 , b 60 , g 120 ?
РЕШЕНИЕ:
Для направляющих косинусов выполняется равенство
cos2 a cos2 b cos 2g 1. Проверим его справедли-																								да
вость.																								да
вость.															2
																				2			2
2				2						2				2					1	2		1	2
2				2						2				2					1			1
cos 45 cos					60 cos						120												1,
cos 45 cos					60 cos						120												1,

													2				2					2

равенство выполняется.

Даны точки A 3, 1, 5 , B 4, 2, 5 , C 4, 0, 3 .

Найдите длину медианы AA треугольника ABC .

РЕШЕНИЕ:								7
РЕШЕНИЕ:
Координаты точки A (середины						AA ) A	0,1, 1	,

AA	3,2, 6	,	AA	3 2 22 6 2 7 .

Коллинеарны ли векторы c1					и c2 , построенные на			нет
векторах a и b , если a 9, 5,						3 ,		нет
векторах a и b , если a 9, 5,						3 ,

5b ?

b 7, 1, 2 , c1

, c2

РЕШЕНИЕ 1:

2a b 2

9, 5, 3

7, 1, 2

25, 9, 8

3a 5b

3 9, 5,

3 5

7, 1, 2

8, 20, 1

Пропорциональность компонент

c1y

c2 y

c2 z

c2 x

не выполняется, векторы неколлинеарны.

РЕШЕНИЕ 2

Векторы : a и b неколлинеарны, т.е. образуют базис. Векторы c1 и c2 неколлинеарны, так как их координаты в этом базисе не пропорциональны:

21 .

3. Скалярное произведение векторов

Найдите а)

a1 a2

и б)

3a1 2a2 , a1

2a2 , если

, a ,

РЕШЕНИЕ:

а)

a1 a2

, a1

а) 13 ,

, a1 a1,

a2 a2

a2 ,

б) 61

9 16

2 a1, a2

25 2

3 4cos

13.

б) 3a1

2a2 , a1 2a2

3a1 6 a1

, a2

2 a2 , a1 4a2

2π

3 9 4 a1,

a2 4 16 27 4 3 4 cos

64 61

Найдите

2a1 a2

, если a1 4, 2, 4 ,

a2 6, 3, 2 .

РЕШЕНИЕ:

105

2a1 a2 8, 4, 8 6, 3, 2 2, 1, 10 ,

105.

2a a

Найдите косинус угла между векторами AB и AC ,
	1,						0, 1,					3,
если A	1,			2, 3	, B		0, 1,	2 ,			C	3,		4, 5 .
РЕШЕНИЕ:
AB		0		1	, 1 2,									1, 1, 1 ,
AB		0		1	, 1 2,				2 3					1, 1, 1 ,			- 1
AC			2, 2, 2			,											- 1


							1 2			1		2 1			2


cos AB ,				AC				2					2			2

					12 1				12 2					22 2
1.

Вычислите синус угла, образованного векторами a 2, 2,1 и b 6, 3, 2 .

РЕШЕНИЕ:

Найдем косинус нужного угла:

cosj 2 6		2	3 1 2 12 6 2 4 ,
cosj 2 6		2	3 1 2 12 6 2 4 ,						5 17
	9 49				21	21		sinj	5 17
sin2 j 1 cos2 j 1				16	212 16	52 17	,	sinj	21
				16	212 16	52 17			21
				2	2	2
				21	21	21

sinj 517 . 21

Так как угол между векторами 0 j p,

sinj 517 . 21

Покажите, что

сумма квадратов

медиан треуголь-

ника относится к

сумме квадратов

b A

его сторон, как 3:4.

РЕШЕНИЕ:

b . Нахо-

Пусть CB a , CA b . Тогда

AB a

дим медианы треугольника:

a b

CC CB

BC a

b ,

BB BA AB

CA b

b .

Осталось найти требуемое отношение:

(ab)

2(ab)

Покажите, что четырехугольник ABCD

ромб, если

A(1,2,2) , B(3,5,8) , C( 3,2,6) , D( 5, 1,0).

Найдите угол при вершине А ромба.

РЕШЕНИЕ:

2, 3,

;

7 ;

;

p arccos

BC 6; 3; 2 ;

7 ;

;

7 .

и ABCD – ромб.

6 3

3 6

cos AB,

4 9 36

j p arccos

a, b

Докажите, что вектор

p b

перпендикуля-

рен вектору a .

РЕШЕНИЕ:

a, b

0 .

, a

a, b

Докажите: а) теорему косинусов; б) теорему Пифа-

гора.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

а) Рассмотрим треугольник

ABC , построенный на векто-

рах

AB и b

AC .

Пусть третья сторона

CB c .

Тогда

		2		2					2			2					2
		2		2					2			2					2
	c		c		a	b				a				b				a,				b		b	, a
	2		2								2								2	2						cosg .


a		b		2 a,		b				a						b								a	b
б) При g 90								2							2					b	2		, получаем
								2							2						2
							c						a

теорему Пифагора.

Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

РЕШЕНИЕ:

Пусть a AB и b AD –

стороны ромба.

b и

d1 AC a

d2 BD b

- его диагона-

ли.

a b

, b a

cos d1 , d2

так как для ромба

, и диагонали ромба

взаимно перпендикулярны.

4. Векторное произведение векторов

Найдите а)

a a

и б)

a 3a

3a a

если

2 , a ,

РЕШЕНИЕ:

а)

1 2 sin

3 ;

а) 3 ,

б)

б) 10 3

3 a1

a1 a1

a2 9 a2 a1 3 a2

10 a1 a2 10 3,

a1 a2 a2 a1

так как a1

a2 a2 0,

Найдите

, если

2a1

, 2a1

3, 1, 2

, a

1, 2, 1 .

РЕШЕНИЕ:

b 4 a1,

a2, a2

2 a1, a2

2 a2

4 a1, a2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.2015218.62 Кб20Введение_ИТП+тит+содерж.doc
#
16.11.2019221.7 Кб1Введенская. Деловая риторика.doc
#
22.02.2015166.6 Кб17вводный курс по алгебре для подготовки к ЕГЭ.docx
#
12.08.2019412.54 Кб7ВВС ТОРХОВА.docx
#
31.08.2019125.95 Кб40Ведическая литература.doc
#
23.02.20154.63 Mб110Векторная алгебра и аналитическая геометрия.pdf
#
23.02.2015140.63 Кб31Великая депрессия.rtf
#
12.03.2016363.52 Кб10Великая книга 2.doc
#
16.09.2019568.83 Кб1Великое переселение народов и образование Варва...doc
#
23.09.2019215.73 Кб10вентиляция ПЗ Толя.docx
#
13.03.201620.39 Mб16вера бахаи учение прогрессивного откровения пивоваров.pdf