Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение некомпланарных векторов a b c

.pdf

Скачиваний:

110

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

4.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.

Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в данном базисе и в каждом базисе определяются однозначно:


d a b	c = , , .
При сложении двух векторов d1	и d2 их координаты (относительно любо-

го базиса) складываются. При умножении вектора d1 на любое число все его координаты умножаются на это число.

	Системой координат в пространстве называют совокупность базиса
		и некоторой точки О, называемой началом координат.
a, b,	c

Вектор OM , идущий из начала координат в точку M , называется радиусвектором точки M .

Координатами точки M , , называются координаты вектора OM .

Таким образом, координаты радиус-вектора OM и координаты точки M совпадают.

Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат

Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.

Обозначения: i, j,k , i = j = k 1.

Такой базис называется ортонормированным (ОНБ).

Векторы i , j, k называются базисными ортами. Зафиксируем точку О – начало координат и отложим от нее векто-

ры i , j, k . Полученная система координат называется

прямоугольной декартовой.

Координаты любого вектора в этом базисе называются декартовыми координатами вектора:

	y, z x i	y j z k .
a x,

z		M
k	j	Y
0		Y
0		y
x i		y

Прямые линии, проведенные через начало координат по направлениям

базисных векторов, называются координатными осями: i – порождает OX ;

j – порождает OY ;

k – порождает OZ . Координаты точки М (вектора OM ) в

декартовой системе координат по осям OX , OY ,

OZ называются соответст-

венно абсциссой, ординатой и аппликатой.

вектора a равны проекци-

Декартовы прямоугольные координаты x, y, z

ям этого вектора на оси Ox , Oy , Oz соответственно; другими словами,

x ďđOX a

cos , y ďđOY a

cos , z ďđOZ a

cos .

150

Здесь , , – углы, которые составляет вектор a с положительными направлениями координатных осей Ox , Oy , Oz соответственно, при этом

cos , cos , cos

Вектор a0

называются направляющими косинусами вектора a .

cos , cos , cos представляет собой вектор единичной a

длины данного направления, или орт данного направления. Для направляющих косинусов справедливо соотношение:

				cos2 cos2	cos2 1.
Проекция вектора a на ось l A B						равна

		cos			- орт оси l.
прl a	a		a	cos(a , l0 ) , где l0

Если a x1,	y1, z1	и b x2 ,	y2 , z2 коллинеарны, то	x1	y1	z1	.
				x2	y2
						z2

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

					b
a	b a,b a b			a		cos(a , b) .
Если a x1,		y1, z1 ,	b x2 ,				y1 y2 z1z2 .
					y2 , z2 , то a b x1x2

Алгебраические и геометрические свойства скалярного произведения:

1°. a b b a .

2°. a b a b a b

3°. a b c

b c ,

b c a b

0 , и a a

4°. a a 0 , если a

, если a 0 .

5°. a a

cos0

;

a a .

cos a, a

a b

x1 x2

y1 y2 z1 z2

6°. cos a , b

x12 y12 z12

x22 y22 z22

151

( a,b )

ax bx ay by az bz

a b

7°. прb a =

прb a

, прa b

bx2 by2 bz2

8°. a b :

a b

0 - условие перпендикулярности

для ненулевых a и b .

9°. a x, y, z ,

- длина вектора.

a a

10°. A x , y ,

z ,

B x ,

z ,

y ,

(AB)

(x x )2

(y y )2

(z z )2

–

расстояние между двумя точками.

11°. Направляющие косинусы вектора: cos cos(a,i)

x2 y2 z2

cos cos(a, j)

, cos cos(a,k )

;

x2 y2 z2

cos2 α + cos2 β + cos2

= 1.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a1 , a2 , a3 , приведенных к одному началу, называется правой, если из конца третьего вектора a3

кратчайший поворот первого вектора a1	ко второму a2 виден совершаемым
против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой.
a3	a3
a2	a2
	a2
a1	a1
правая	левая

При перестановке местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется.

Если тройки { a ,b , c }, {b , c ,a }, { c , a ,b } - правые, то { a , c ,b }, { c ,b ,a }, {b , a ,c } - левые.

При круговой (циклической) перестановке векторов ориентация тройки не меняется.

				Векторное произведение векторов
	Векторным		произведением вектора a на вектор b называется вектор
			b
c	a, b	a	b	a b , удовлетворяющий следующим трем требованиям:

152

1). Длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус уг-

						sin a,b .
ла между ними, т.е.	c		b	a	b
		a

2). Вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b , т.е. c перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы a и b . 3). Вектор c направлен так, что тройка a b c является правой.

Алгебраические и геометрические свойства векторного произведения:

1°.		b		.
1°.	a	b	b a	.

2.a b a b .

3.a b c a c b c .

4.a a 0 для любого вектора a .

5.Площадь параллелограмма, построенного

на векторах a и b как на сторонах,

S			=				.

		пар		a b

6.					0	a коллинеарен b или хотя бы один из них является

	[a b]

нулевым вектором.

Выражение векторного произведения через декартовы координаты сомножителей

Если a x1,

y1,

z1 , b x2 ,

y2 , z2 , то

y z

z y

, z x

x z

, x y

y x

1 2

i i		j j		k k		0,

i k k i j,

					k,
i j			j i		k,

j k k j i .

153

по абсолютной величине равно объему параллелепипеда, построенного на этих

векторах, приведенных к одному началу, a b c положительно, если тройка a , b ,

c правая и отрицательно, если она левая.

Если же векторы a , b , c компланарны, то a b c

0 .

равно нулю: a b c

a c a b ,

b c

a a

b c


b a c	a c b c b a			a b c .

Смешанное произведение зависит от порядка сомножителей, но не зависит от того, какие сомножители связаны первичным знаком векторного произведения.

		j z k , b x2i						j z k , то
Если a x i y		j z k , b x2i		y2 j z2k , c x i y				j z k , то
1	1	1			3		3	3
			x1	y1	z1
			x1	y1	z1
			x2	y2	z2	.
		a b c	x2	y2	z2	.
			x3	y3	z3

154

II. Аналитическая геометрия в пространстве

Плоскость в пространстве

1.Ax By Cz D 0 - общее уравнение плоскости в декартовой системе

A2 B2 C 2 0

координат;

2. A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0 - уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (x0 , y0 , z0 ) и перпендикулярной вектору n {A, B,C};

3. x y z 1, abc 0 - уравнение плоскости, отсекающей на осях ко- a b c

ординат Ox , Oy , Oz отрезки a, b и c соответственно;

4. x cos y cos z cos p 0 - нормальное уравнение плоскости, где

р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты {cos ,cos ,cos };

5.	Ax By Cz D 0		- нормальный вид общего уравнения плоскости
		A2 B2 C 2

(знак нормирующего множителя противоположен знаку D);

Ax0

By0

Cz0

- расстояние от точки (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, за-

A2 B2

C 2

данной общим уравнением;

x x1

y y1

z z1

- уравнение плоскости, проходящей через три

x2 x1

y2 y1

z2 z1

x3 x1

y3 y1

z3 z1

не лежащие на одной прямой;

точки (xi , yi , zi )

(i=1,2,3),

cos

A1 A2 B1B2

C1C2

- угол между плоскостями

A2 B2

C 2

B2 C 2

Ai x Bi y Ci z Di

0 ( i 1,2) ;

- необходимое и достаточное условие параллельности плос-

A2 B2

B y C z D 0

(i 1,2 );

костей

A x

155

10.A1 A2 B1B2 C1C2 0 - необходимое и достаточное условие перпен-

дикулярности плоскостей Ai x Bi y Ci z 0 (i 1,2) ;

11.

D1 D2

- расстояние между двумя параллельными плос-

A2 B2 C 2

костями Ax By Cz D1 0

и Ax By Cz D2 0 .

Прямая в пространстве

12.

A x B y C z D 0

- общее уравнение прямой как линии пере-

A2 x B2 y C2 z D2 0

сечения

двух параллельных плоскостей;

13.

x x0

y y0

z z0

- канонические уравнения прямой, проходя-

щей

и имеющей направляющий вектор с компонен-

через точку (x0 , y0 , z0 )

тами {l, m, n} ;

14.

mx ly mx

ly ,

- уравнения прямой в виде проекций на коорди-

nx lz nx0 lz0.

натные плоскости;

x x0

15.

параметрические уравнения прямой, проходящей

y y0

z z0

через точку (x0 , y0 , z0 ) и имеющей направляющий вектор с компонентами

{l, m, n} ;

l B1C2 B2C1

16.

C2 A1

- соотношения между компонентами направ-

m C1 A2

n A B

A B

2 1

ляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой;

17.

x x1

y y1

z z1

- канонические уравнения прямой, про-

x2 x1

y2 y1

z2 z1

ходящей через точки с координатами (xi , yi , zi ) (i 1,2);

156

18.

cos

l1l2 m1m2 n1n2

- косинус угла между пря-

2 m2

l 2 m2

мыми

x x0

y y0

z z0

(i 1,2), проходящими через точку (x0 , y0 , z0 ) ;

19.

условие

параллельности

двух

прямых

x xi

y yi

z z

(i 1,2);

20.

условие перпендикулярности двух прямых

x xi

l1l2 m1m2

n1n2

y yi

z z i

(i 1,2);

21.

Прямые:

L :

x x1

y y1

z z1

и L

x x2

y y2

z z2

лежат в одной плоскости, если

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0M1 a

22.

– расстояние от точки M1

до прямой, проходящей

через

точку M 0

с направляющим вектором a ;

a a

23.

– расстояние между скрещивающимися прямыми:

L1 ,

проходящей через

точку M1

с направляющим вектором a1 , и L2 с на-

правляющим вектором a2 , проходящей через точку M 2 ;

Прямая и плоскость в пространстве

24.

A1 x B1 y C1 z D1 (A2 x B2 y C2 z D2 ) 0

уравнение пучка

плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением

A1 x B1 y C1z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0.

157

	x x0 lt1 ,
						Ax0 By0	Cz0	D
25.	y y0		mt1 ,	где	t1				- координаты точки пере-
25.	y y0		mt1 ,	где	t1	Al Bm Cn			- координаты точки пере-
	z z	0	nt ,			Al Bm Cn
	z z		nt ,
			1

сечения прямой

x x0

y y0

z z0

и плоскости Ax By Cz D 0 ;

26.

sin

Al Bm Cn

- синус угла между прямой

A2 B2

C 2

l 2 m2 n2

x x0

y y0

z z0

и плоскостью Ax By Cz D 0 ;

27.

Al Bm Cn 0

условие

параллельности

прямой

x x0

y y0

z z0

и плоскости Ax By Cz D 0 ;

28.

условие

перпендикулярности

прямой

x x0

l m

z z 0

y y0

плоскости Ax By Cz D 0 .

III. Аналитическая геометрия на плоскости

Прямая на плоскости

1. d (x	2	x )2	( y	2	y )2
	2	1		2	1

		x x
	x	1	2		,
	x	1			,
		1
2.		y y		2
		1		2
	y	1				,
		1
	1

x x1 x2 ; 2

3. y y1 y2

-расстояние между точками

A(x1,y1) и B (x2,y2);

-координаты точки С (x,y), которая делит отрезок, соединяющий точки A(x1,y1) и

B(x2,y2), в отношении AC ;

- координаты середины отрезка АВ;

158

		x1			y1			1
		x1			y1			1
4.		x2			y2			1	0
		x3			y3			1


				1			x1		y1		1
	S			1		x			y		1
	S					x			y	2	1
				2			2			2
5.				2			x3		y3		1
5.							x3		y3		1
			1		x2 x1						y2 y1


			2		x3 x1						y3 y1
			2		x3 x1						y3 y1

6.A x+B y+C = 0

7.A (x - x0)+B (y - y0) = 0

8. x x0 y y0

x x0 lt,

9.y y0 mt, t ( , )

10.y y1 x x1

y2 y1

x2 x1

y kx b,

11.

ktg

12.a b 1,

a0, b 0

13.x cos y sin p 0

-условие принадлежности трёх точек

(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3) одной прямой;

-площадь треугольника с вершинами

(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3).

-общее уравнение прямой;

-уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) перпендикулярно нормальному вектору {A,B};

-каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0,y0) параллельно вектору {l,m};

-параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0,y0)

параллельно вектору l,m ;

-уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1,y1) и (x2,y2);

-уравнение прямой с угловым


коэффициентом k, где 0,			,	-
	2	2

угол наклона прямой к оси ox;

-уравнение прямой в отрезках, где (а,0) и (0,b) - координаты точек пересечения прямой

сосями Ox и Oy;

-нормальное уравнение прямой,

где р - расстояние от начала координат до прямой, - угол между осью Ox и перпендикуляром к прямой, проходящим

159

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1816 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.02.2015218.62 Кб20Введение_ИТП+тит+содерж.doc
#
16.11.2019221.7 Кб1Введенская. Деловая риторика.doc
#
22.02.2015166.6 Кб17вводный курс по алгебре для подготовки к ЕГЭ.docx
#
12.08.2019412.54 Кб7ВВС ТОРХОВА.docx
#
31.08.2019125.95 Кб40Ведическая литература.doc
#
23.02.20154.63 Mб110Векторная алгебра и аналитическая геометрия.pdf
#
23.02.2015140.63 Кб31Великая депрессия.rtf
#
12.03.2016363.52 Кб10Великая книга 2.doc
#
16.09.2019568.83 Кб1Великое переселение народов и образование Варва...doc
#
23.09.2019215.73 Кб10вентиляция ПЗ Толя.docx
#
13.03.201620.39 Mб16вера бахаи учение прогрессивного откровения пивоваров.pdf