Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Вариант 18

1.Даны три точки O, A, B, не лежащие на одной прямой. Принимая за

базисные векторы OA и OB , найдите координаты вектора OM , если точка М лежит на отрезке АВ и AM : BM m : n .

2.Вычислите работу силы F i 2 j k при перемещении материальной точки из положения А (-1; 2; 0) в положение В(2; 1; 3).

3.Найдите проекцию вектора a 5; 0; 3 на вектор, составляющий с

осью абсцисс угол в 60 , с осью ординат – 45 , а с осью аппликат - острый угол.

4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А (1, -2), В (11, -7) и точка К (7, 1) пересечения его высот.

6.Приведите кривую 5x2 23 xy 7 y2 1 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M (0,2,1) относительно плоскости P : 2x 4 y 3 0.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям x 5y 2z 5 0,

xy z 1 0.

аппликат.

10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 2x 4y 3z 7 0 с координатными плоскостями.

11. Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 4;8;11 и

M2 2; 4;3 - концы диаметра сферы.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности

140

Вариант 19

1.Даны три точки О, А и В, не лежащие на одной прямой. Принимая за базисные векторы OA и OB , найдите координаты вектора ON , если точка N лежит на прямой АВ вне отрезка АВ и AN : BN m : n .

2.Пусть отличные от нуля векторы a č b ортогональны. При каком значении параметра вектор a b ортогонален вектору a b ?

3.Вычислите высоту параллелепипеда, построенного на трех векторах

a 3p 2q 5r, b p q 4r и c p 3q r , если за основание взят

параллелограмм, построенный на векторах a и b . Кроме того,

известно, что p, q č r - взаимно перпендикулярные орты.

4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x 2y 3 0 , AB : x 2y 5 0 и двух его высот:

2x 4y 6 0, 2x y 9 0.

5.Постройте кривую y 3 4 x2 4x 5 .

3

6.Приведите кривую 5x2 23 xy 7 y2 1 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M 2,1,0 относительно плоскости P : y z 2 0.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку

M0 1,2, 1 перпендикулярно к двум плоскостям:

2x 4y 3z 7 0 , z 0.

9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

2x 2y 2z 1 0,

L2 :

3x 2y 3z 4 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (1;0;1) и то, что плоскость 3x 2y 5z 8 0 касается сферы.

12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности z x2 y 2 1 с координатными плоскостями.

141

Вариант 20

1.Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной ОА = 3.

Обозначим OA m, AB n и BC p . Установите зависимость между ними. Выразите через m и n векторы OB, BC, ED, OD, DA.

2.Докажите, что если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3.Найдите длину вектора a 3c d , если c 2, d 6, а угол между векторами c и d равен 60 .

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника если даны две его вершины А (-1, 2), В (-11, 7) и точка М (19/3;8/3) пересечения его медиан.

5.Постройте кривую y 5 3 2x .

6.Приведите кривую 10x2 43 xy 6 y2 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M 1;2;0 относительно плоскости P : 4x 5y z 7 0.

8.Найдите угол между плоскостями 6x 2y 4z 17 0 ,

9x 3y 6z 4 0 .

9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:

5x 4y 3z 3 0,

10. Составьте уравнения проекции прямой на

4x y z 2 0,

плоскость 5x 3y 2z 5 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки

M1 2;3;3 ,M2 2;1;1 ,M3 0;3;1 ,M4 2;3; 1 лежат на сфере.

с координатными плоскостями.

142

Вариант 21

1.Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов OA, OB, OC найти координаты вектора OK , если К –

середина стороны AD.

2.Найти направляющие косинусы вектора a 1; 2; 2 .

3.Составляют ли векторы a 1; 1; 1 , b 2; 1; 3 , c a, b

ортогональный базис трехмерного пространства?

4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины А (1; -2), В (-9; 3), С (-5; -5).

5.Постройте кривую x 2 15 y2 2 y.

6.Приведите кривую 6x2 43 xy 10y2 1 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M 2; 1;1 относительно плоскости P : x y 2z 2 0.

8.Точка M 2;1; 3 служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.

9.Найдите проекцию точки М (2;1;0) на плоскость P: y + z + 2 = 0.

10. Докажите, что прямая L : x y 2 z лежит в плоскости

1 2 1

x y 3z 2 0.

11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра

C (1;-2;0) и радиус R = 3.

с координатными плоскостями.

143

Вариант 23

1.Даны 3 точки A x1; y1; z2 , B x2 ; y2 ; z2 , C x3; y3; z3 , не лежащие на одной прямой. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

2.Найдите направляющие косинусы вектора a 2b , если

a 2i 3 j 4k, b i j k .

3.Вычислите: 1) a b, 2a 2b 3a 3b, 4a 4b ;

4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А(1; 2), В(21; -8) и точка К(13; 8) пересечения его высот.

6.Приведите кривую 11x2 23 xy 9y2 1 0 к каноническому виду.

7.Найдите точку, симметричную точке M 1;2;3 относительно плоскости P : 2x 10y 10z 1 0.

8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x 2y 2z 1 0,

3x 2y 3z 4 0.

x 5y 2z 5 0,

9.Докажите, что прямая пересекает ось ординат.

x y z 1 0

10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 3x 5y z 4 0 с координатными плоскостями.

11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 1; 2;5 и

M2 3; 2; 1 - концы ее диаметра.

12.Найти уравнения линий пересечения поверхности x2 y2 z2 1L :

25 16 9

с координатными плоскостями.

145

8. ПРИМЕР ВАРИАНТОВ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Векторная алгебра

Найдите третье ребро c.

Аналитическая геометрия

1.Найдите расстояние от точки М 0 до плоскости, проходящей через точки

М1,М2,М3 , если М1 (-3,4,-7), М2 (1,5,-4), М3 (-5,-2,0), М0 (-12,7,-1).

2.Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку A(1,0,-2) перпендикулярно вектору BŃ , если известны координаты точек B(2,-1,3),

C(0,-3,2).

3.Найдите угол между плоскостями x – 3y + 5 = 0 и 2x – y + 5z – 16 = 0.

4.Найдите координаты точки A(0,0,z), равноудаленной от точек B(5,1,0) и

C(0,2,3).

5.Напишите каноническое уравнение прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + y + z – 2 = 0 и 2x – y – 3z + 6 = 0.

x 2 y 3 z 1

6.Найдите точку пересечения прямой 1 1 4 и плоскости x+2y+3z-14 = 0.

7.Установите, какую кривую второго порядка определяет уравнение 4 x2 +3 y2 – 8x + 12y – 32 = 0. Найдите для эллипса и гиперболы

координаты центра, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис, для параболы – координаты вершины и величину параметра p .

148