Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Установите тип поверхности, заданной уравнением

x2 y2 z2 4 0.

РЕШЕНИЕ:

1

Перенесем константу в правую часть уравнения и раз-

Двуполостный

делим обе части уравнения на число 4. Получим

гиперболоид

x2

z2

y2

1.

4

4

4

Это уравнение задает двуполостный гиперболоид

вращения с осью OY.

Установите тип поверхности, заданной уравнением

x2 y2 z 2.

РЕШЕНИЕ:

2

Преобразуем уравнение к виду

Параболоид

x2

y2

(z 2),

являющемуся канонической формой уравнения пара-

болоида вращения с осью OZ, вершина которого нахо-

дится в точке (0;0;2), а выпуклость обращена вверх.

Установите тип указанной поверхности и постройте

ее:

1) параболоид

1) x2 y2

z 2 0 ;

2)

x2 y2

0 ;

вращения;

3)

x2 y2

0 ;

2) ось oz;

3) две пересе-

кающиеся

плоскости

3

4)

x2 1;

x y ;

4) две плоско-

сти x 1, па-

раллельные

плоскости zoy;

5) x2 z2

1.

5) круговой ци-

линдр с обра-

зующей, парал-

лельной оси oy.

Составьте уравнения проекций на координатные плос-

кости

сечения

эллиптического

параболоида

x2 4xy 5 y2 x 0

4

x y2

z2 плоскостью x 2y z 0.

x2 2xz 5z2 4x 0

РЕШЕНИЕ:

y2 z2 2y z 0

Сечение параболоида плоскостью задается системой

уравнений

Аналогично находятся остальные проекции:

на плоскость OXY: x2 4xy 5y2 x 0 ;

на плоскость OXZ:

x2 2xz 5z2 4x 0 ;

на плоскость OYZ: y2 z2 2y z 0.

Составьте уравнение поверхности, образованной вра-

x

2

,

z

вокруг оси OX.

щением кривой

y 0

РЕШЕНИЕ:

поверхности плоскостью x x0 ,

5

Сечение искомой

y2 z2

x4 .

перпендикулярной оси вращения, есть окружность с

центром в точке C(x0 ,0,0) радиусом R z(x0 ). Урав-

нение этой окружности y2 z2 x 4.Для произволь-

0

и прямой

x 5

y

z 25

.

3

РЕШЕНИЕ:

2

2

Выделим полные квадраты переменных в уравнении поверхно-

сти и увидим, что она представляет собой сферу

x 2 2 y 3 2 z 1 2 92 .

Нет

6

x 5 3t,

y 2t,

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

x2

y2

Найдите общие точки поверхности

2z и

6

3

плоскости 3x y 6z 14 0 .

РЕШЕНИЕ:

Общие точки поверхностей удовлетворяют системе

2

y

2

x

2z,

3

6

Эллипс

3x y 6z 14 0.

x

3

67

cost

Приравнивая значения 2z , выраженные из этих урав-

2

2

x2

y2

y

14

нений, получим, что

x

. Выделение

y 1

67

sin t

3

2

7

3

6

3

полных квадратов переменных приводит к уравнению

z

13

67

cos t

эллипса 4(x 1,5)

2

2(y 1)

2

1, который является

4

4

1

67

67

67

sin t

проекцией линии пересечения эллиптического парабо-

6

2

лоида и плоскости на координатную плоскость XOY .

Параметрические уравнения эллипса

x

3

67

cost ,

y 1

67

sint . Подставляя эти

2

2

2

z

13

67

cost

1

67

sint . Линия – эллипс.

4

2

4

6

Составьте уравнение цилиндра, образующие которого

параллельны вектору l

{2; 3;4}, а направляющая зада-

на уравнениями:

x2 y2 9,

РЕШЕНИЕ:

z 1.

16x2 16y2

Множество точек искомой поверхности образо-

13z2 16xz

вано точками, лежащими на прямых, проходящих че-

8 рез некоторую точку направляющей параллельно век-

24yz 16x

тору l . Составим канонические уравнения этих пря-

24y 26z

мых:

x X

y Y

z 1

. Здесь M(x;y;z) - произвольная

131

2

3

4

точка прямой, а N(X;Y;1) – фиксированная точка на-

правляющей, через которую проходит прямая, назы-

ваемая образующей. Отсюда

X

1

(1 2x z),Y

1

( 3 4y 3z).Подставим эти выра-

2

4

жения в уравнение X 2 Y 2 9 , которому удовлетворя-

2

x

y2

1,

4

РЕШЕНИЕ:

z 0.

Множество точек искомой поверхности образо-

вано точками, лежащими на прямых, проходящих че-

рез некоторую точку направляющей и точку S. Соста-

вим канонические уравнения этих прямых

9

x

y

z 5

. Здесь M(x;y;z) - произвольная точка пря-

X 2

Y 2

(z 5)2

4

X

Y

5

25

мой, а N(X;Y;0) – фиксированная точка направляющей,

через которую проходит прямая, называемая обра-

зующей. Отсюда X

5x

,Y

5y

. Подставим эти

z 5

z 5

выражения в уравнение

X 2

Y 2 1 , которому удовле-

4

творяют координаты точек направляющей, и получим

искомое уравнение конической поверхности:

X

2

Y

2

(z 5)2

.

4

25

Составьте уравнение сферы с центром в точке

(3,-5,-2), если плоскость 2x y 3z 11 0 касается

сферы.

x 3 2

РЕШЕНИЕ:

10

Расстояние от центра сферы до касательной плоскости

y 5 2

равно радиусу сферы:

R

3 2 5 3 2

11

28

z 2 2

56

2 14.

22 1 2 3 2

14

Уравнение сферы: x 3 2 y 5 2

z 2 2 56 .

Составьте уравнение сферы, проходящей через точки

M1 3,1, 3 ,

M2 2,4,1 , M3 5,0,0 , центр которой

x 1 2

лежит на плоскости 2x y z 3 0.

11

РЕШЕНИЕ:

y 2 2

Запишем уравнение сферы в виде

z 3 2

x x0 2 y y0 2 z z0 2

R2 и подставим в него

49

координаты точек; кроме того, учтем, что центр сферы

лежит на плоскости:

2

2

2

2

x0

y0

z0

6x0 2y0 6z0 19 R

,

x

2 y

2 z

2

4x

8y

2z

0

21 R2

,

0

0

0

0

0

x

2 y

2 z

2

10x

25 R2 ,

0

0

0

0

Oz и радиусом R

h2 4 . Это позволяет заключить,

что поверхность является поверхностью вращения с

Однополостный

осью Oz , и точки поверхности существуют при любых

12 значениях z . Рассмотрим осевое сечение плоскостью

гиперболоид

Oxz (или y 0 ): x

2

z

2

4 .

вращения

Приводя к каноническому виду, имеем

№

№ по

Задание

Ответ

п/п

Еф.

CD

q p ,

ABCDEF - правильный шестиугольник,

DE p ,

EF p ,

1

1.11

причем AB p

, BC q . Выразить через p

FA

и q векторы CD , DE , EF , FA , AC ,

AD и

p

q ,

AC

AE .

p

q ,

AD 2q ,

AE 2q

p .

На стороне AD параллелограмма ABCD

1

отложен вектор AK длиной

AK

AD

, а