Векторная алгебра и аналитическая геометрия
.pdf
Вариант 8
1.ABCDEF – правильный шестиугольник, причем AB = p , BC = q .
Выразите через p и q векторы CD , DE , EF , FA , AС , AD , AЕ .
2. |
Найдите угол, образованный единичными векторами e1 и e2 , если |
|
|
известно, что векторы a e1 2e2 |
и b 5e1 4e2 перпендикулярны. |
3.Найдите тупой угол (в радианах) между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a 2, 3,1 |
и b 6, 1,1 . |
4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если заданы две его вершины А(-1, -1), В(-11, 4) и точка пересечения его высот К(-7, -4).
5.Постройте кривую y 3 4
x 1.
6.Приведите кривую 18x2 12
3 xy 6y2 y 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M ( 1,0, 1) относительно
прямой L : x y 1,5 z 2 .
1 0 1
8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям 2x 3y z 3 0,
x3y 2z 3 0.
9. |
x 3y 2z 1 0, |
пересекает ось |
Докажите, что прямая L : |
||
|
3x 4y 7z 3 0 |
|
абсцисс.
10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 8x y 2z 16 0 с координатными плоскостями.
11. |
Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 (3;-3;2) и |
||||||
|
M 2 (5;3;-6) являются концами диаметра сферы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
||
12. |
Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
|
|
0 |
|
16 |
4 |
|||||
|
4 |
|
|
|
|||
с координатными плоскостями.
130
Вариант 9
1.В пространстве заданы треугольники ABC и A' B 'C '. M и M ' – точки пересечения их медиан. Выразите MM 'через векторы AA', CC 'и
BB ' .
2. |
Докажите, что вектор p b a,c c a,b перпендикулярен вектору a . |
3.Найдите вектор x , коллинеарный вектору a 1,1,1 , если его проекция на вектор b 1,2,2 равна 5.
4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x 2y 1 0 , AB : x 2y 3 0 и двух его высот:
2x 4y 2 0, 2x y 19 0.
5.Постройте кривую y 2 
10x x2 .
6. |
Приведите кривую |
1 |
x2 |
3 |
xy |
3 |
y2 x 1 0 к каноническому виду. |
|
|
|
4 2 4
7.Найдите точку, симметричную точке M (0,2,1) относительно прямой
L : |
x 1,5 |
|
y |
|
|
z 2 |
. |
|
1 |
|
|||||
2 |
|
1 |
|
||||
8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку M1 (4, 2,3) перпендикулярно к двум плоскостям:
x y 2z 9 0, x 0.
9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
|
x 1 |
|
|
y 3 |
|
z 1 |
|
перпендикулярно к плоскости x 2y z 5 0. |
||||||||
2 |
4 |
|
||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
x 5 |
|
y 3 |
|
|
z 1 |
|
|||||
10. Проверьте параллельность прямых L : |
|
|
|
и |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
2 |
5 |
|
|||
|
|
x y z 0, |
|
|
|
|||||||||||
|
или найдите угол между ними. |
|
|
|
||||||||||||
|
L2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x y 5z 8 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
11. Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра С (1;-4;-1) и то, что плоскость 2x – y + 2z + 2 = 0 касается сферы.
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности 4z x2 4y2 с координатными плоскостями.
131
Вариант 10
1.Точки E и F – середины сторон AD и BC четырехугольника ABCD.
Докажите, что EF = 1 ( AB + DC ).
|
2 |
|
|
2. |
Для векторов a 2; 0; 3 , |
b 3; 5; 4 , |
c 3; 4; 1 вычислите |
|
проекцию вектора [a, b] на вектор (a, b)c . |
|
|
3.Упростите выражение (a b) (a b c) (a 2b c).
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две его вершины А (-1, 1), В(19, -9) и точка М (29/3; -1/3) пересечения медиан.
5.Постройте кривую x 2
5 6y y2 .
6.Приведите кривую 3x2 6
3 xy 9y2 y 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M (3, 3, 1) относительно прямой
L : |
x 6 |
|
y 3,5 |
|
z 0,5 |
. |
|
|
|
||||
5 |
4 |
0 |
|
|||
8.Определите двугранный угол, образованный пересечением плоскостей
y 3z 5 0, y 2z 3 0.
9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми:
x - 2 |
|
y - 3 |
|
z 1 |
, |
x 1 |
|
y - 3 |
|
z 1 |
. |
1 |
|
|
2 |
4 |
|
||||||
1 |
|
4 |
|
5 |
|
||||||
y 3z 5 0, |
на плоскость |
10. Составьте уравнения проекции прямой |
|
y 2z 3 0, |
|
6x 2y 3z 1 0 .
11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки
M1(1,2, 3), M2 (3,2, 1), M3 (1,4, 1), M4 (1,2,1) лежат на сфере.
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности x2 y2 z
3 9
с координатными плоскостями.
132
Вариант 11
1.Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник A1B1C1 , стороны которого соответственно равны и параллельны медианам исходного треугольника ABC.
2.Для векторов a 2;1; 1 , b 1; 2;1 , c 2; 1; 3 , d 3; 1; 2
вычислите проекцию вектора a c на вектор [b d,c].
3.Проверьте, компланарны ли векторы
a2i j k, b i 2 j 3k, c 14i 13 j 7k .
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если
заданы три его вершины А(1, -1), В(21, -11) и С(13, 5).
5.Постройте кривую y 1 2 x2 4x 5 .
3
6.Приведите кривую 4x2 xy 4y2 4 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M (3,3,3) относительно прямой
L : x 1 y 1,5 z 3.1 0 1
8.Точка M 1, 3,5 служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.
9.Найдите координаты проекции точки М(0;2;1) на плоскость
P : 2x 4y 3 0.
10. Докажите, что прямая L : |
x 4 |
|
y 2 |
|
z |
лежит в плоскости |
|
|
|
||||
9 |
|
2 |
12 |
|||
P: 2x 3y 2z 2 0. |
|
|
|
|
|
|
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (0;-5;3) и радиус R = 5.
|
z2 |
|
x2 |
y2 |
||
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
|
|
1 |
|
9 |
16 |
||||
25 |
|
|
|
|||
с координатными плоскостями.
133
Вариант 13
1.AD, BE и CF – медианы треугольника ABC. Докажите равенство
AD BE CF 0 .
2.Даны векторы a 2; 0;1 , b 1;1; 0 , c 0;1; 3 . Вычислите
направляющие косинусы вектора a 2b .
3.При каком значении векторы a, b, c будут компланарны, если
a; 3;1 , b 5; 1; 2 , c 1; 5; 4 .
4.Найдите уравнения и длины сторон треугольника, если даны две его вершины А(-1, 1), В(-21, 11) и точка пересечения высот К(-13, -5).
5.Постройте кривую y 3 
21 4x x2 .
6.Привести кривую 4x2 xy 4y2 4 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M (2, 2, 3) относительно прямой L : x 1 y 0,5 z 1,5.
1 |
0 |
0 |
8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям x y z 4 0 ,
xy 2z 0.
9. |
x 2y 2z 4 0 |
пересекает ось |
Докажите, что прямая L : |
||
|
2x 2y 2z 8 0 |
|
абсцисс.
10.Составьте уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 2x 4y z 0 с координатными плоскостями.
11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 3; 1;4 и
M2 1;1;2 являются концами его диаметра.
12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности
x2 y2 z2 1 с координатными плоскостями.
81 36 4
135
Вариант 14
1.Векторы p AK и q BM являются медианами треугольника ABC.
Выразите векторы AB, BC, CA через p и q .
2.Проверьте, что точки А(2; 4; 1), В(3; 7; 5), С(4; 10; 9) лежат на одной прямой.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 a,b |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Вычислите |
4 |
a b |
, где |
a |
|
b |
1, |
a b / 6. |
||||
a, b |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найдите координаты вершин треугольника, если заданы уравнения двух его сторон AC : x 2y 3 0 , AB : x 2y 1 0 и двух его высот: x 2y 3 0 , 2x y 15 0.
|
|
12 |
|
|
|
|
5. |
Постройте кривую x 3 |
|
29 y2 4y . |
|||
|
||||||
|
5 |
|
|
|
||
6.Приведите кривую 2x2 xy 2y2 6 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M ( 1,0,1) относительно прямой
L : x 0,5 y 1 z 4 . 0 0 2
8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
M1 1,2,3 перпендикулярно к двум плоскостям: x y 2z 9 0, z 0.
9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
|
x 1 |
|
y 5 |
|
z 1 |
перпендикулярно к плоскости x 3y z 8 0. |
|||||||
2 |
4 |
|
|||||||||||
|
2 |
|
x 1 |
|
y |
|
z |
|
|||||
10. Докажите параллельность прямых L : |
|
|
и |
||||||||||
0.5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
7 |
3 |
|
||||
4x y 3z 4 0,
L2 :
2x y 2z 2 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C (-1;1;3) и то, что плоскость 4x – 3y + 6 = 0 касается сферы.
12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности x y2 z2
4 2
с координатными плоскостями.
136
Вариант 15
1.В параллелограмме ABCD известны векторы AB a, AD b . Выразите через них векторы MA, MB, MC и MD , если М - точка пересечения диагоналей параллелограмма.
2.Для заданных векторов a, b и c вычислите прc (2a 3b) , если
а) a i 2 j k, |
b 3i j k , c 4i 3 j |
б) a i 2 j 3k, |
b 3i 2 j k, c 6i 2 j 3k |
3. Даны векторы a 2,1 и b 4, 3 . В базисе из этих векторов
найдите координаты вектора c 16;12 .
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны
|
две вершины треугольника А (-1, -1), В (-21, 9) и точка пересечения |
|||||
|
его медиан М (35/3; 1/3). |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
5. |
Постройте кривую x 5 |
8 2y y2 . |
||||
|
||||||
|
3 |
|
|
|
||
6.Приведите кривую x2 2 xy y2 2x 6 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M (0, 3, 2) относительно
прямой L : x 0,5 y 1,5 z 1,5. 0 1 1
8.Определите двугранный угол, образованный пересечением плоскостей
x y z |
2 5 0, |
x y z |
2 7 0. |
9.Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми
|
x -1 |
|
y 5 |
|
z -1 |
, |
x -1 |
|
y |
|
z 3 |
. |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||
4 |
2 |
|
0 |
2 |
3x 2y 4z 1 0, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на |
|
10. Составьте уравнения проекции прямой |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9z 3y 6x 4 0 |
|
плоскость x y 2z 5 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки
M1 ( 1; 2;3), M2 ( 1; 2; 3), M3 (2; 2;0), M4 ( 1;1;0) лежат на сфере.
|
x2 |
y2 |
|||
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
z с |
|
4 |
4 |
||||
|
|
|
|||
координатными плоскостями.
137
Вариант 16
1.В равнобедренной трапеции ОВСА угол ВОА = 60 ,
OB BC CA 2, M и N – середины сторон ВС и АС. Выразите
векторы AC, OM , ON и MN через m0 č n0 |
- единичные векторы |
||||||||
направлений OA и OB . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если a 2e1 e2 , где |
|
e1 |
|
|
e2 |
|
|
2. Вычислите |
a |
|
1, |
|
2, |
e1 e2 150 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найдите координаты четвертой вершины тетраэдра АВСD, если известно, что она лежит на оси ординат, объём тетраэдра равен 2,
А (0;1;1), В (4;3;-3), С (2;-1;1).
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины А (1, 2), В (11, -3), С (7, 5).
5.Постройте кривую y 5 
3x 21.
6.Приведите кривую 7x2 2
3 xy 5y2 1 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M (1,0,1) относительно плоскости P : 4x 6 y 4z 25 0.
8.Точка M 2, 3,1 служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.
9.Найдите проекцию точки М(-1;0-1) на плоскость P: 2x + 6y - 2z +11 = 0.
10. Докажите, что прямая L : x 4 y z лежит в плоскости
0 1 1
x 2y 2z 4 0 .
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (5;-3;7) и радиус R = 1.
12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности
x2 y2 z2 1 с координатными плоскостями.
16 4 9
138
Вариант 17
1.В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Найдите координаты вектора AD в базисе, образованном векторами AB и AC .
2.Даны три вектора : a 1; 2 , b 5;1 , c 4; 2 . Вычислите:
bb, a 3c .
3.Вектор c перпендикулярен векторам a и b , угол между a и b2
равен 30 . Зная, что |
a |
6, |
b |
3, |
c |
3, вычислите abc . |
|
|
|
|
|
|
|
4.Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон AC : x 2y 5 0; AB : x 2y 3 0;
BC : 2x y 15 0 .
5.Постройте кривую x 5 
40 6y y2 .
6.Приведите кривую 7x2 2
3 xy 5y2 1 0 к каноническому виду.
7.Найдите точку, симметричную точке M ( 1,0, 1) относительно плоскости, если P : 2x 6 y 2z 11 0.
8.Укажите значение λ, при котором плоскости P1 : 5x y 3z 0 и
P2 : 4x y z 2 0 будут перпендикулярны.
9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости
xy 5z 4 0 с плоскостью, проходящей через ось ординат и
точку A( 1, 3, 2).
2x 3y 2z 2 0, 10. Найдите точки пересечения прямой L : с
2x 3y z 14 0
координатными плоскостями.
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (-1;5;2) и точки M (2;2;2) на ней.
12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности x2 y2 z2 0 с
25 16 16
координатными плоскостями.
139