Векторная алгебра и аналитическая геометрия
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра высшей математики
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА № 2
Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Студент
Группа
Преподаватель
Вариант
Дата
Екатеринбург
2010
122
Вариант 1
1.Задан тетраэдр OABC . В базисе из ребер OA , OB и OC найдите
координаты вектора DE , где D и E – середины ребер OA и BC .
2.Векторы a1, a2 , a3 образуют правую тройку, взаимно
|
перпендикулярны, и |
a1 |
|
4, |
a2 |
2, |
a3 |
3. Вычислите a1, |
|
,a3 |
|
. |
|
|
a2 |
|
|||||||||
3. |
Даны точки M 3,5,0 |
и K 4,2, 2 . Найдите проекцию |
вектора MK |
|||||||||
|
на вектор a 6,3,2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны три его вершины A 0,0 , B 10, 5 , C 6, 3 .
5.Постройте кривую y 3 
21 4x x2 .
6. |
Приведите кривую |
5 |
x2 |
3 |
xy |
7 |
y2 0 к каноническому виду. |
|
|
|
4 2 4
7.Найдите точку, симметричную точке M (0, 3, 2) относительно
прямой L: x 1 y 1,5 z .
1 |
1 |
1 |
8.Точка M 2, 1, 1 служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составьте уравнение этой плоскости.
x t 1,
9. Вычислите расстояние от точки P(2,3, 1) до прямой L : y t 2,
z 4t 13.
5x 3y 2z 5 0, |
|
10. Докажите, что прямая L : |
лежит в плоскости |
|
2x y z 1 0 |
4x 3y 7z 7 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C 1,2,0 и радиус R 2 .
12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности
x2 y2 z2 1 с координатными плоскостями.
16 9 4
123
Вариант 2
1.Задан тетраэдр OABC . В базисе из ребер OA, OB и OC найдите
координаты вектора OF , где F – точка пересечения медиан основания
АВС.
2.Вычислите направляющие косинусы вектора a 12, 15, 16 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
3a , 3a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3. |
Вычислите |
, если |
a |
1, |
a |
2, |
|
a , a |
|
|
. |
|||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
2 1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4.Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны уравнения трех его сторон
AC : x 2 y 1 0, |
AB : x 2y 3 0 č |
BC : 2x y 18 0. |
5.Постройте кривую y 7 2 16 6x x2 .
|
|
5 |
6. |
Приведите кривую 5 x2 |
3 xy 7 y2 1 0 к каноническому виду. |
4 2 4
7.Найдите точку, симметричную точке M (2, 1,1) относительно прямой
L : x 4,5 y 3 z 2 . 1 0,5 1
8.Укажите значение l , при котором плоскости P1 : 3x 5y lz 3 0 и P2 : x 3y 2z 5 0 будут перпендикулярны.
9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости P : 3x y 7z 9 0 с плоскостью, проходящей через ось абсцисс и
точку A(3, 2, 5) .
2x y z 3 0, |
|
10. Найдите точки пересечения прямой L : |
с |
|
x y z 1 0 |
координатными плоскостями.
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C 3, 2,1 и точки M 2, 1, 3 на сфере.
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
||
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
25 |
||||
9 |
|
|
|
|||
с координатными плоскостями.
124
3 
Вариант 4
1.Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Принимая за начало координат
вершину A, а векторы AB , AD и AA1 за базисные, найдите координаты:
а) вершин C, B1 ,C1 ;
б) точек K и L – середин ребер A1B1 и CC1 соответственно.
2.Определите, при каком значении векторы a1 a2 и a1 a2 будут
перпендикулярны, если |
a1 |
3, |
a2 |
5. |
3.Установите, образуют ли векторы a1, a2 , a3 базис в множестве всех
векторов, если a1 2;3; 1 , |
a2 1; 1;3 , |
a3 1;9; 11 . |
4.Найдите координаты вершин треугольника, если даны уравнения двух его сторон AC : x 2y 3 0 , AB : x 2y 1 0 и двух его высот:
6x 12y 18 0, 2x y 12 0.
5.Постройте кривую x 4 3
y 5 .
6. |
Приведите кривую |
1 |
x2 |
3 |
3 |
xy |
5 |
y2 1 0 к каноническому виду. |
|
|
|
|
4 2 4
7.Найдите точку, симметричную точке M (1,2,3)относительно прямой
L : x 0,5 y 1,5 z 1,5. 0 1 1
8.Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
M1 (2, 1,1) |
перпендикулярно к двум плоскостям: 2x z 1 0, |
y 0. |
9.Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
|
x 1 |
|
y 2 |
|
z 2 |
перпендикулярно к плоскости |
3x 2y z 5 0. |
|||||||
2 |
3 |
|
||||||||||||
|
2 |
|
x 2 |
|
y 1 |
|
z |
|
||||||
10. Докажите параллельность прямых L : |
|
|
и |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
3 |
|
2 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x y z 0,
2:
x y 5z 8 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра C 5,3,2 и то, что плоскость 2x 2y z 4 0 касается сферы.
12.Найдите уравнения линий пересечения поверхности 2z x2 y2 сL
2
координатными плоскостями.
126
Вариант 5
1.Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Принимая за начало координат
вершину A, а за базисные векторы AB , AD , AA1 , найдите координаты:
а) точек M и N пересечения диагоналей граней A1B1C1D1 и ABB1 A1 ; б) точки О пересечения диагоналей параллелепипеда.
2.Найдите направляющие косинусы вектора a 2b , если
a 2i 3 j 4k , b i j k .
3. |
Найдите |
|
площадь |
параллелограмма, |
построенного на |
векторах |
|||||
|
a 2e e |
и |
b e |
3e |
, если |
e |
и |
e |
- единичные |
векторы и |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
(e1 ,e2 ) 1 .
2
4.Найдите уравнения и длины сторон и медиан треугольника, если даны две его вершины А(-1, -1), В(9, -6) и точка пересечения его медиан М(13/3; -5/3).
5.Постройте кривую x 5 
40 6y y2 .
6. Приведите кривую 1 x2 3 3 xy 5 y2 0 к каноническому виду. 4 2 4
7.Найдите точку, симметричную точке M (1,0, 1) относительно прямой
L : x 3,5 y 1,5 z . 2 2 0
8.Определите двугранный угол, образованный пересечением пары
|
плоскостей x y 2 z 1 0, |
x y |
2 z 3 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
Вычислите кратчайшее расстояние между прямыми: |
x 7 |
|
y 4 |
|
|
z 3 |
|
|||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
x - 21 |
|
y 5 |
|
z - 2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
||||
|
и |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
|
|
1 |
|
5x 4y 2z 5 0, |
|
|
|
||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Составьте уравнения проекции прямой |
|
|
|
на |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2z 2 0, |
|
|
|
||||
плоскость 2x y z 1 0.
11.Составьте уравнение сферы, если известно, что точки M1 0,0,0 ,
M2 2,0,0 , M3 1,1,0 , M4 1,0, 1 лежат на сфере.
|
x2 |
|
y2 |
|
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
6z с |
|
4 |
|||
5 |
|
|
||
координатными плоскостями.
127
Вариант 7
1.В тетраэдре ABCD DM – медиана грани BCD и Q – центр масс этой грани. Найдите координаты векторов DM и AQ в базисе AB , AC , AD .
2.Определите координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы, а его модуль равен 3.
3.Даны точки A(1, 2, 0), B(0, 1, 4) и С(-1, 1, 1). На плоскости XOZ
найдите такую точку D, чтобы вектор AB был коллинеарен вектору
CD .
4.Найдите вершины и уравнения медиан треугольника, если даны
|
уравнения трех его сторон |
АС: х-2у-3=0; АВ: х+2у+1=0; ВС: |
||||
|
2х+у+14=0. |
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
5. |
Постройте кривую x 5 |
|
y2 4y 12. |
|||
|
||||||
|
4 |
|
|
|
||
6.Приведите кривую 6x2 4
3 xy 2y2 x 8 0 к каноническому виду
7.Найдите точку, симметричную точке M ( 2, 3,0) относительно
прямой L : x 0,5 y 1,5 z 0,5. 1 0 1
8.Укажите значение λ, при котором плоскости P1 : 3x – λy + 3 = 0 и P2 : x – 2y + 5z – 10 = 0 будут перпендикулярны.
9.Составьте уравнения прямой, образованной пересечением плоскости Р: -5x + 2y – z + 1 = 0 с плоскостью, проходящей через ось аппликат и точку A(1,1,1).
x y z 2 0, |
с |
10. Найдите точки пересечения прямой L : |
|
x y 3z 2 0 |
|
координатными плоскостями. |
|
11.Составьте уравнение сферы, если известны координаты ее центра
C (-3;2;-1) и точки M(-2;1;-3) на ней.
|
x2 |
|
y2 |
|
|
z2 |
|
12. Найдите уравнения линий пересечения поверхности |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
16 |
|||||
25 |
9 |
|
|
||||
с координатными плоскостями.
129