Дасгупты, Пападимитриу, Вазирани «Алгоритмы»

целыми числами). При заданных параметрах B, r1, ‌, rn и c1, ‌, cn найдите вариант с максимальной вероятностью корректной работы.

6.24. Время и память в динамическом программировании. Рассмотренный нами алгоритм вычисления расстояния редактирования строк длины m и n заполняет таблицу размера O(mn). При больших m и n такому алгоритму просто не хватит памяти. Как можно обойтись меньшим объёмом памяти?

(a) Допустим, что нас интересует только расстояние редактирования, но не соответствующее оптимальное выравнивание. Покажите, что тогда в каждый момент не нужно хранить всю таблицу и можно обойтись объёмом памяти O(n).

(b) Теперь допустим, что мы хотим найти и оптимальное выравнивание. Как мы видели, это эквивалентно поиску кратчайшего пути из вершины (0, 0) в вершину (n, m) в соответствующем графе. Любой такой путь должен проходить через вершину (k, m=2) для некоторого k. Модифицируйте алгоритм поиска расстояния редактирования, чтобы он заодно выдавал и k. (Считайте, что m есть степень двойки.)

(c) Рассмотрим теперь следующий рекурсивный алгоритм.

функция FindPath((0, 0) ! (n, m))

вычислить k (см. выше)

FindPath((0, 0) ! (k, m=2))

FindPath((k, m=2) ! (n, m))

вернуть объединение найденных двух путей

Покажите, что по данной схеме алгоритм можно реализовать так, чтобы время его работы было O(nm), а память –– O(n).

6.25. Рассмотрим следующую задачу о разбиении на три части (3-partition). Необходимо разбить набор целых чисел a1, ‌, an на три части так, чтобы суммы чисел в каждой из частей были одинаковы. Другими словами, мы хотим

Например, набор (1, 2, 3, 4, 4, 5, 8) разбить можно: (1, 8), (4, 5), (2, 3, 4), а набор (2, 2, 3, 5) нельзя.

Постройте алгоритм, основанный на методе динамического программирования, со временем работы, зависящим полиномиально от n и P ai .

i

6.26. Выравнивание последовательностей. Чтобы понять, за что отвечает новый найденный ген, в базе данных ищут похожие гены. Критерием похожести является то, насколько хорошо они могут быть выровнены. Будем считать

Символ « » обозначает пропуск (gap). Порядок сохраняется, и каждый столбец должен содержать либо два символа, либо символ и пропуск. Качество выравнивания определяется таблицей стоимостей замен размера (j j + 1) (j j + 1) (дополнительные строка и столбец соответствуют пропуску). Например, качество рассмотренного выше выравнивания равно

( , T) + (A, A) + (T, ) + ( , C) + (G, G) + (C, C) + (C, A).

Постройте алгоритм, использующий динамическое программирование, который по входным словам ‌ и ‌ и таблице стоимостей на-

DRAFTx[1 n] y[1 m]

ходит за время O(mn) наилучшее выравнивание.

6.27. Выравнивания со штрафом за пропуски. Биологический смысл пропусков при поиске оптимального выравнивания (упражнение 6.26) –– ошибки, возникающие при копировании ДНК. При таком копировании могут пропускаться скорее целые куски, чем отдельные буквы, так что штраф за пропуск длины 10 должен быть значительно меньше, чем десятикратный штраф за один пропуск. Положим штраф за пропуск длины k равным c0 + c1k, где c0 и c1 –– константы (и c0 > c1). Как тогда искать наилучшее выравнивание?

6.28. Локальное выравнивание последовательностей. Часто две последовательности ДНК сильно различаются, но при этом содержат куски, которые очень похожи. Постройте алгоритм, который получает на вход две строки x[1‌n] и y[1‌m] и матрицу стоимостей замен (см. упражнение 6.26) и находит подстроки x0 и y0 строк x и y, максимально похожие друг на друга в описанном смысле. Время работы алгоритма должно быть O(mn).

6.29. Куски генома. При поиске участков генома, похожих на данный ген, может быть полезна следующая задача. Пусть дан набор «частичных совпадений» в геноме длины n, то есть троек (li , ri , wi ), где 1 ¶ li ¶ ri ¶ n задают отрезок совпадения [li , ri ], а wi –– вес совпадения. Необходимо выбрать из него семейство частичных совпадений с непересекающимися отрезками и максимальным суммарным весом.

6.30. Восстановление деревьев эволюции. Если в геноме для нескольких видов встречаются разные варианты одного и того же гена, можно пытаться реконструировать дерево эволюции, исходя из того, что гены менялись постепенно вдоль этого дерева. Будем считать, что для каждого вида имеется вариант гена, представляющий собой строку длины k в алфавите = fA, C, G, Tg.

ATTC AGTC CGCG AGGA ATCA

Историю эволюции будем представлять деревом, в листьях которого стоят виды, а внутренние вершины соответствуют их общим эволюционным предкам. Например, на рисунке представлен возможный ход эволюции, когда общий вид-предок разделился на два, каждый из них тоже разделился на два, а из полученных четырёх видов один (самый левый на рисунке) также разделился.

Принцип максимальной простоты предлагает искать дерево и строки в его вершинах, при которых общее количество изменений вдоль всех рёбер

минимально. Такое дерево искать довольно сложно, и мы рассмотрим более простой вариант задачи: пусть структура дерева уже известна, а надо найти строки s(u) для всех внутренних вершин u (варианты гена для эволюционных предков). Это тоже строки длины k. При этом надо минимизировать величину

DRAFT(a) В приведённом выше примере есть несколько оптимальных вариантов; укажите один из них.

(b) Постройте эффективный (в смысле оценки времени как функции n и k) алгоритм для данной задачи. (Подсказка: буквы в разных позициях можно обрабатывать независимо.)

В этом многоугольнике мы ищем точку, в которой целевая функция (выручка) максимальна. Точки с выручкой в c рублей лежат на прямой x1 + 6x2 = c, которая имеет угловой коэффициент 1=6 (см. рис. 7.1). При увеличении c эта «прямая выручки» сдвигается вверх параллельно самой себе. Мы хотим максимизировать c, поэтому должны сдвинуть прямую (сохраняя пересечение с многоугольником) как можно дальше. На рисунке видно искомое положение прямой: она пересекает многоугольник в вершине (и если ещё подвинуть, пересечение пропадёт). Если бы коэффициенты в целевой функции были бы другими, вместо оптимальной точки могло бы получиться целое оптимальное ребро: это означало бы, что есть целый отрезок вариантов, где достигается оптимум (и крайними из них были бы вершины).

Если максимум достигается, то (как мы увидим), он достигается в некоторой вершине. Но максимума может не быть, и даже по двум причинам:

1)ограничения настолько сильные, что все их выполнить невозможно, например,

x ¶ 1, x ¾ 2;

вэтом случае говорят, что линейная программа несовместна или невыполнима (infeasible);

2)ограничения настолько слабые, что возможны произвольно большие значения целевой функции; например, так будет для программы

x1 + x2 ! max x1, x2 ¾ 0

Вэтом случае говорят о неограниченной (unbounded) линейной программе.

Решение задач линейного программирования

Говоря о решении задач линейного программирования, мы имеем в виду поиск точки оптимума. Это можно делать с помощью симплекс-метода (simplex method), изобретённого Джорджем Данцигом в 1947 году. Мы изложим его в разделе 7.6, в общих чертах его можно описать так: алгоритм начинает работу в вершине –– в нашем случае это может быть (0, 0) –– и на каждом шаге пытается перейти по ребру в соседнюю вершину с лучшим целевым значением. Вот возможная траектория в нашем примере:

выручка 1900 тугриков

Симплекс-метод завершает работу и объявляет текущую вершину оптимальной, если лучшего соседа нет. Почему эта локальная проверка гарантирует глобальную (не только среди соседей) оптимальность? Представьте себе прямую выручки, проходящую через данную вершину. Если все соседи вершины лежат ниже этой прямой, то и остальная часть (выпуклого) многоугольника допустимых решений тоже будет ниже.

Дополнительные товары

Не останавливаясь на достигнутом, кондитерская начинает производство третьего сорта шоколада (В) «премиум-класса», по 13 тугриков за плитку. Тогда ежедневный выпуск описывается тройкой чисел x1, x2, x3 (для трёх сортов). Прежние ограничения на x1 и x2 сохраняются, но в ограничение на общий выпуск теперь включается и x3: сумма всех трёх переменных не может превышать 400. Кроме того, оказывается, что упаковка для В втрое более трудоёмкая, чем для Б, и это налагает ещё одно ограничение x2 + 3x3 ¶ 600. Каковы оптимальные объёмы производства теперь?

Возникает задача:

В ней пространство решений трёхмерное. Линейное уравнение задаёт плоскость в трёхмерном пространстве, а неравенство –– полупространство по одну сторону от плоскости. Множество допустимых решений –– пересечение семи полупространств –– является многогранником (рис. 7.2; для наглядности масштаб по оси x3 на рисунке увеличен). Можете ли вы определить по рисунку, какое неравенство к какой грани относится?

Выручка c соответствует плоскости x1 + 6x2 + 13x3 = c. При увеличении c плоскость выручки сдвигается параллельно самой себе (в сторону увеличения переменных), пока не перестанет задевать множество допустимых решений. Последней точкой пересечения будет вершина (0, 300, 100) с оптимальной выручкой 3100 тугриков.

Как тут работает симплекс-метод? Как и раньше, он переходит от вершины к вершине по рёбрам многогранника, каждый раз увеличивая выручку. Возможная траектория показана стрелками на рисунке 7.2 и соответствует следующей последовательности вершин (в квадратных скобках указан доход

Дойдя до вершины, где нет лучшего соседа, алгоритм останавливается и сообщает, что достиг максимума. Из геометрических соображений ясно, что

188 Глава 7. Линейное программирование

Рис. 7.2. Многогранник допустимых решений для задачи линейного программирования с тремя переменными.

x2

300

оптимум

DRAFTx100 x1

3

если все соседи вершины лежат по одну сторону от плоскости выручки, там же должен лежать и весь многогранник.

Немного магии

Убедиться, что точка (0, 300, 100) с общей выручкой 3100 оптимальна, можно так: сложите второе неравенство с третьим и прибавьте к ним четвёртое, умноженное на 4. Получится неравенство x1 + 6x2 + 13x3 ¶ 3100, показывающее, что выручка не может превысить 3100, так что наше решение оптимально.

Но откуда же мы взяли загадочные коэффициенты (0, 1, 1, 4), с которыми надо складывать четыре неравенства?

В разделе 7.4 мы увидим, что их можно получить, решив другую задачу линейного программирования, называемую двойственной к исходной.

Что будет, если добавить четвёртый сорт шоколада (или ещё сотни сортов)? Картинку тут уже не нарисуешь, но симплекс-метод по-прежнему работает (см. раздел 7.6). Есть программные продукты, реализующие симплексметод (и заботящиеся о всяких подробностях, типа ошибок округления), так что на практике бывает достаточно представить задачу в виде задачи линейного программирования.

7.1.2. Пример: планирование производства

Рассмотрим более запутанный пример и убедимся, что и здесь задача сводится к линейному программированию. Пусть наша компания производит ковры ручной работы. Спрос на них в разные месяцы разный. Мы планируем работу на следующий год и исходим из оценки спроса для всех месяцев: это двенадцать чисел d1, d2, ‌, d12 в диапазоне от 440 до 920.

В начале года в компании 30 работников, каждый из которых делает по 20 ковров в месяц и получает месячную зарплату 2000 рублей; начальных DRAFTзапасов ковров у нас нет.

Как мы можем реагировать на колебания спроса? Имеются три способа:

1. Сверхурочная работа требует оплаты на 80% больше обычной. Кроме того, сверхурочная работа должна составлять не более 30% основной.

2. Набор и увольнение работников обходятся в 320 рублей и 400 рублей соответственно на каждого работника.

3. Хранение продукции требует 8 рублей на каждый ковёр ежемесячно. В начале и конце года склад должен быть пуст.

Для простоты мы считаем, что работники принимаются и увольняются в начале месяца, что покупатели приходят за коврами к концу месяца и что хранение оплачивается по складским остаткам на конец каждого месяца.

Эта достаточно сложная задача может быть сформулирована в виде линейной программы, надо только правильно выбирать переменные. Положим:

wi = количество работников в i-й месяц (i = 1, ‌, 12); w0 = 30; xi = количество ковров, сделанных за i-й месяц;

oi = количество ковров, сделанных сверхурочно за i-й месяц;

hi , fi = количество рабочих, нанятых и уволенных в начале i-го месяца; si = количество ковров на складе в конце i-го месяца; s0 = 0.

Всего получается 74 переменных (считая w0 и s0). Теперь запишем ограничения. Все переменные должны быть неотрицательными:

wi , xi , oi , hi , fi , si ¾ 0, i = 1, ‌, 12.

Общее число ковров, сделанных за месяц (в основное и сверхурочное время):

xi = 20wi + oi .

Сверхурочное производство ограничено:

oi ¶ 6wi .

Число рабочих может меняться в начале каждого месяца: wi = wi 1 + hi fi .

Количество ковров на складе в конце месяца –– это их количество в начале, плюс произведённое, минус спрос за месяц:

si = si 1 + xi di .

Все эти ограничения должны выполняться при i = 1, ‌, 12. В конце года склад должен быть пуст:

После того как всё это записано, мы можем найти оптимальную стратегию производства за доли секунды с помощью симплекс-метода.

Тут есть, однако, важная деталь. Оптимальное решение может оказаться дробным («И вышло у меня в ответе: // два землекопа и две трети»). Если программа велит нанять 10,6 работников, то 10,6 придётся округлить или до 10, или до 11, и решение уже будет не совсем оптимальным (или даже нарушатся ограничения). В нашем примере большинство чисел двузначные, так что округление их не сильно меняет (а небольшие отклонения в жизни всё равно неизбежны), но так бывает не всегда.

Эта проблема (нужны целые решения, а легко найти вещественные) принципиальна: как мы увидим в главе 8, поиск целочисленного оптимума в задаче линейного программирования –– важная, но очень сложная задача.

7.1.3. Пример: распределение пропускной способности

У нас есть сеть передачи данных; пропускные способности участков показаны на рисунке 7.3. Нужно установить три соединения: между A и B, между B и C, и между A и C. Каждое из них требует по крайней мере двух единиц пропускной способности, но готово взять (и оплатить) и больше (сколько дадут). Соединение A–B платит 3 рубля за единицу пропускной способности выделенного ему канала, а соединения B–C и A–C платят соответственно 2 рубля и 4 рубля.

Для каждого соединения есть два возможных пути –– короткий и длинный (через третью вершину внутреннего кольца); их можно использовать одновременно в любой комбинации (скажем, пустить две единицы по короткому пути, а одну –– по длинному). Как получить максимальный доход?

Составим линейную программу: для каждого заказчика (например, AB) мы обозначим через xAB ширину канала по короткому пути, а через xAB0 –– по длинному. При этом мы не должны превышать общей пропускной способности рёбер, а также должны гарантировать по две единицы для каждого соеди-

1В этом примере доход от продажи ковров не предусмотрен, и лишь необходимость произвести запланированное количество мешает закрыть производство и уволить всех сотрудников немедленно.