Дасгупты, Пападимитриу, Вазирани «Алгоритмы»

личен от 0, то ненулевые коэффициенты в преобразовании Фурье имеют равные модули, и последующая выборка даст нам одно из k таких кратных с вероятностью 1=k.

Теперь мы можем выполнить описанную процедуру несколько раз и взять наибольший общий делитель полученных индексов. Несложно сообразить, что с большой вероятностью этот делитель будет равен M=k, и тем самым мы сможем найти период k входной последовательности!

Оценим вероятность получения правильного наибольшего общего делителя описанным способом.

Лемма. Рассмотрим s чисел, независимо выбранных из

(все k значений равновероятны). Тогда с вероятностью как минимум 1 k=2s наибольший общий делитель выбранных чисел равен M=k.

Доказательство. Это может быть не так, лишь если все выбранные числа кратны некоторому j M=k при некотором j от 2 до k. Вероятность этого (для фиксированного j) не превосходит 1=j ¶ 1=2 при одном испытании и тем самым 1=2s при s испытаниях.

Теперь надо сложить вероятности для разных j и получить оценку для искомой вероятности (вероятность того, что произойдёт одно из событий, не больше суммы их вероятностей). В итоге получаем, что вероятность нежелательного исхода не больше k=2s.

Эту вероятность можно сделать сколь угодно малой, если s взять достаточно большим.

10.5. Квантовые схемы

Мы упоминали, что квантовые схемы могут вычислить преобразование Фурье –– но не объяснили, как это делается (и даже что это значит). Что представляют собой квантовые схемы, о которых идёт речь, и как с их помощью быстро вычислить преобразование Фурье?

10.5.1. Элементы квантовых схем

В классическом случае схемы строят из функциональных элементов (AND, NOT и т. п.), имеющих один или два входа. Аналогичным образом мы будем

Если в любом из получившихся состояний произвести измерение, то оно даст 0 или 1 с равными вероятностями. Но мы можем применить элемент Адамара и ко входу в состоянии суперпозиции 0j0i+ 1j1i, и результат определяется по линейности:

По этой формуле легко проверить, что двукратное применение преобразова-

ния Адамара возвращает кубит в исходное состояние.

DRAFTго y своя группа). Именно это и позволяет квантовым алгоритмам работать так быстро (в частности, при вычислении преобразования Фурье).

Другой базовый элемент –– управляемое отрицание (controlled not, или cnot). Он применяется к двум кубитам. Первый (управляющий) кубит говорит, нужно ли обращать второй (но сам не меняется). Если первый равен нулю, то второй остаётся без изменения, если равен единице –– то обращает-

В отличие от элемента Адамара, элемент cnot преобразует базисные состояния в базисные, так что он задаёт некоторую перестановку 4 классиче-

ских состояний системы из двух битов.

Другой квантовый элемент (управляемый сдвиг фазы) мы опишем в даль-

нейшем, когда он нам понадобится.

Мы описали действие элементов на состояния системы из одного или двух кубитов. Но можно применить этот элемент и к одному (или двум) кубитам системы из n кубитов. Квантовая механика позволяет сказать, как при этом изменятся все 2n коэффициентов системы. Пусть, скажем, система находи-

10.5.2. Две основные квантовые схемы

На рисунке, изображающем квантовую схему, начальные состояния входных n кубитов изображаются проводами (слева). Каждый квантовый элемент подвергает преобразованию входящие в него слева кубиты, в результате чего состояние всей системы изменяется, и с правой стороны рисунка провода обозначают результирующее состояние кубитов после всех преобразований.

На верхнем уровне нам понадобятся две конструкции:

Квантовое преобразование Фурье получает n кубитов в некотором состоянии j i и выдаёт состояние j i, коэффициенты которого получаются преобразованием Фурье из коэффициентов j i.

Классические вычисления могут быть преобразованы в квантовые в следующем смысле. Пусть есть (классическая) функция, преобразующая n-битовые слова в m-битовые. Соответствующая (классическая) схема имеет n входов и m выходов. Тогда можно построить квантовую схему, имеющую n + m входов и выходов, с таким свойством. Если подать на вход некоторое битовое слово x и m нулей, то на выходе мы получим x и значение f (x) (соответственно на первой и второй группе выходов).

классическая схема квантовая схема

Заметим, что пока речь шла о преобразовании базисных состояний. Линейность гарантирует, что если подать на вход такой схемы суперпозицию базисных состояний jx, 0ki с какими-то коэффициентами, то получится сумма состояний jx, f (x)i с теми же коэффициентами.

В принципе можно принять на веру возможность построения таких схем и исходя из этого понять работу алгоритма разложения на множители. Однако для более дотошных читателей мы опишем подробнее устройство квантового преобразования Фурье в следующем разделе. О построении квантовых аналогов классических схем см. упражнение 10.7.

10.5.3. Схема квантового преобразования Фурье

Вспомним, как мы в разделе 2.6.4 сводили вычисление преобразования Фурье вектора длины M к двум преобразованиям векторов половинного размера.

304 Глава 10. Квантовые алгоритмы

Посмотрим, во что это превращается в квантовом случае. Вход теперь представляет собой вектор из M = 2m амплитуд системы из m кубитов. Разделение его компонент на чётные и нечётные происходит по значению одного из кубитов (младшего из m разрядов). Таким образом, мы должны рекурсивно применить преобразование Фурье меньшего размера отдельно к коэффициентам при тех состояниях, где младший кубит равен нулю, и отдельно –– при тех, где младший кубит равен единице.

Ключевое обстоятельство: для этого достаточно применить схему преобразования Фурье меньшего размера к остальным m 1 кубитам. При этом необходимые действия будут автоматически выполнены параллельно для одной и другой группы. Тем самым вместо двух задач меньшего размера (как в классическом случае) мы получаем только одну –– и за счёт этого квантовый алгоритм экспоненциально быстрее классического.

Но это ещё не совсем всё: результаты выполнения преобразования для каждой половины нужно смешать с подходящими коэффициентами. Если вспомнить соответствующую формулу, то видно, что коэффициенты с индексами j и M=2 + j надо сложить (для получения j-го коэффициента выходного вектора) и вычесть (для (M=2 + j)-го). Точнее, коэффициент с индексом M=2 + j надо предварительно «сдвинуть по фазе», умножив на подходящую степень !.

Если бы этого сдвига не было, то нужное преобразование –– одновременно для всех коэффициентов –– можно было бы выполнить, применив элемент Адамара к старшему кубиту. Мы уже говорили, что такое преобразование параллельно комбинирует коэффициенты с индексами 0x и 1x, что как раз (если перейти от двоичных слов к числам) соответствует индексам x и M=2 + x. Так что и в этой части –– как это ни удивительно на первый взгляд –– достаточно всего одного квантового элемента.

Мы пока не объяснили, как обеспечить в промежутке между этими двумя действиями необходимый сдвиг фазы. Если посмотреть на формулы, то видно, что это нужно сделать только для половины коэффициентов (там, где старший бит 1) и что коэффициент с номером M=2 + j надо умножить на !j . Умножение на 1, !, !2, ‌, !M=2 1 можно реализовать в несколько шагов: сначала умножить на ! те коэффициенты, где требуется нечётная степень j (равен единице младший бит индекса), затем умножить на !2 те коэффициенты, где второй справа бит индекса равен единице, и так далее. Если разо-

образования диагональна, и на диагонали стоят три единицы и одно число, равное единице по модулю. (Напомним, что нам нужно умножать лишь коэффициенты, у которых старший бит и ещё один бит равны единице.) Всё это (кого и на что надо умножать и как складывать) удобно проследить на рис. 10.4; заметим ещё, что перестановка квантовых битов не представляет сложности, так как мы разрешаем выполнять операции с любыми парами кубитов.

Итак, схема квантового преобразования Фурье описана. Каждый из m уровней рекурсии в ней требует операций, всего получается

DRAFTO(m) = O(log M)

O(m2), то есть O(log2 M) квантовых операций.

10.6. Периодичность и разложение на множители

Мы видели, как можно использовать преобразование Фурье для отыскания периода. Покажем теперь, как (за несколько простых шагов) можно свести разложение на множители к отысканию периода.

Пусть дано некоторое целое положительное N. Нетривиальным квадратным корнем из N мы будем называть число x, для которого x2 1 (mod N), но x 6 1 (mod N). (Ср. с упражнениями 1.36 и 1.40.) Зная нетривиальный квадратный корень, легко разложить N на два множителя, не равных единице (и эти множители можно разлагать дальше, пока не дойдём до простых). Вот как это делается.

Лемма. Пусть x –– нетривиальный квадратный корень из N. Тогда число НОД(x + 1, N) является делителем N, отличным от 1 и N.

Доказательство. Поскольку x2 1 (mod N), то x2 1 = (x 1)(x + 1) делится на N. Но ни один из сомножителей (x 1) и (x + 1) по условию на N не делится, поэтому некоторые простые множители N должны войти в один сомножитель, а другие –– в другой. В такой ситуации НОД(x + 1, N) (а также НОД(x 1, N)) будет содержать только некоторые сомножители N.

Пример. Пусть N = 15. Тогда число 4 является нетривиальным квадратным корнем из N, поскольку 42 = 16 1 (mod 15), но 4 6 1 (mod 15). Как и предсказывает лемма, НОД(4 1, 15)=3 и НОД(4 +1, 15)=5 оказываются нетривиальными делителями 15.

Нам понадобится ещё одно понятие, чтобы установить обещанную связь с периодичностью. Порядком числа x по модулю N называется наименьшее положительное целое число r, при котором x r 1 (mod N). Например, порядок числа 2 по модулю 15 равен 4.

Задача отыскания порядка случайного остатка по модулю N, как мы увидим, связана с отысканием нетривиального квадратного корня из N (и тем самым с разложением на множители). Это видно из следующей леммы.

Лемма. Пусть N –– нечётное составное число, имеющее как минимум два разных простых множителя. Выберем случайное число x от 0 до N 1, взаимно простое с N, считая все такие числа равновероятными. Тогда с вероятно-

стью 1=2 или больше порядок r числа x по модулю N окажется чётным, а число x r=2 будет нетривиальным квадратным корнем из N.

Доказательство этой леммы мы оставляем читателю в качестве упражнения. Она показывает, что можно разлагать число N на множители, умея вычислять порядок. Достаточно взять случайный остаток x по модулю N. Если он не взаимно прост с N, что можно проверить по НОД(x, N), то мы сразу получаем разложение на два множителя, один из которых НОД(x, N). Если же x взаимно прост с N, то вычисляем порядок –– с вероятностью 1=2 или более DRAFTон окажется чётным и даст нетривиальный квадратный корень. Тем самым мы сможем разложить N на два множителя.

Пример. При x = 2 и N = 15 порядок оказывается чётным (он равен 4, и 24 = 16 1 (mod 15)). Возводя x в половинную степень, получаем x2 = 4, и это будет нетривиальный корень из 15, по которому можно найти делитель N, например, НОД(x + 1, N) = 5.

Таким образом, мы свели задачу разложения на множители (factoring) к задаче отыскания порядка остатка по данному модулю (order finding). Преимущество второй задачи в том, что она связана с естественной периодической функцией. При данных N и x мы можем рассмотреть функцию a 7!f (a) = xa mod N. Если r –– порядок x по модулю N, то r будет периодом последовательности значений функции f :

f (0) = f (r) = f (2r) = ‌ = 1, f (1) = f (r + 1) = f (2r + 1) = ‌ = x

и так далее. Заметим, что функцию f можно быстро вычислять с помощью повторного возведения в квадрат (алгоритм раздела 1.2.2). Таким образом, осталось понять (для разложения N на множители), как можно с помощью функции f организовать суперпозицию, коэффициенты которой будут иметь период r; после этого мы можем с помощью повторной выборки из квантового преобразования Фурье с большой вероятностью найти это r и затем использовать его для отыскания нетривиального корня из N и тем самым нетривиального множителя. Как это делается, объяснено ниже (см. врезку).

О превращении классической схемы в квантовую подробнее см. в упражнении 10.7.

10.7. Квантовый алгоритм разложения на множители

Теперь мы можем собрать вместе описанные выше компоненты квантового алгоритма разложения на множители (см. рисунок 10.6). Поскольку за полиномиальное время можно проверить, является ли вход простым числом или степенью простого числа, будем считать, что это уже сделано. Достаточно рассмотреть случай, когда данное нам число N является нечётным составным числом, имеющим как минимум два различных простых множителя.

Вход: составное нечётное число N (имеющее как минимум два простых множителя).

Выход: один из множителей числа N.

Рис. 10.6. Квантовый алгоритм разложения на множители.

1.Выбираем случайное (равномерно распределённое) число x между 1 и N 1. (Если НОД(x, N) 6= 1, то множитель уже найден, так что считаем x взаимно простым с N.)

2.В качестве M выберем степень двойки, близкую к N. (Точнее говоря, лучше всего выбрать M N2, но объяснение этого выходит за рамки нашего рассказа.)

3.Повторяем s = 2 log N раз такие действия:

a.Слова из нулевых битов помещаем в два квантовых регистра, первый из которых вмещает в себя остаток по модулю M, а второй –– по модулю N.

b.Используем периодическую функцию f (a) = xa mod N для создания периодической суперпозиции длины M (см. соответствующую врезку):

(i)Применяем квантовое преобразование Фурье к первому регистру и по-

c. Производим квантовую выборку из преобразования Фурье первого регистра, получая в результате некоторый индекс между 0 и M 1. (То, что у нас есть ещё и второй регистр, не помеха –– просто ко всем состояниям добавляется постоянное значение во втором регистре.)

Пусть g –– наибольший общий делитель полученных индексов j1, ‌, js.

4. Если M=g чётно, то вычисляем НОД(N, x + 1). Если мы получили нетривиальный делитель N, выдаём его в качестве результата, если нет –– повторяем выполнение алгоритма, начиная с шага 1.

Суперпозиция с периодическими коэффициентами

Покажем, как использовать периодичность функции f (a) = xa mod N для получения суперпозиции с периодическими коэффициентами.

ffВозьмём два квантовых регистра (набора кубитов), в которых изначально все кубиты находятся в нулевом состоянии.

ffПрименим квантовое преобразование Фурье к первому регистру (состоящему из m = log M кубитов). В результате в нём появится суперпозиция всех значений от 0 до M 1 с коэффициентами 1=pM при каждом из них. (В самом деле, вначале коэффициент при j00‌0i был равен единице, а остальные –– нулю, остаётся вспомнить формулу, задающую преобразование Фурье.)

ffПрименяем квантовую схему, соответствующую классическому вычислению функции f (a) = xa mod N. При этом в качестве входа используем первый регистр (где хранятся все строки длины M с равными амплитудами), а результат помещаем во второй регистр (изначально он содержал

все нули с амплитудой 1). В результате получаем состояние двух реги-

M 1

стров, равное P p1 ja, f (a)i.

a=0 M

ffПроизводим измерение второго регистра. В результате его значение будет фиксировано (тем или иным способом), а в первом регистре окажется суперпозиция состояний с периодическими амплитудами.

Всамом деле, раз функция f имеет период r, то значением второго регистра после измерения будет одно из чисел f (k) при k от 0 до M 1. А в первом регистре (как мы говорили выше) останутся с равными коэффициентами те значения a, которые совместимы с измеренным состоянием второго регистра. Поскольку в последовательности f (0), f (1), f (2), ‌ повторения случаются только через r шагов, то в первом регистре останется периодическая последовательность (одинаковые коэффициенты, разделённые нулями), и квантовая выборка из преобразования Фурье позволит найти период r, что нам и требовалось.DRAFT

Как мы видели (см. леммы выше), этот метод работает по крайней мере для половины возможных значений x, так что всю процедуру с большой вероятностью достаточно выполнить всего несколько раз.

Правда, в наших объяснениях есть существенная неувязка. Число M должно быть степенью двойки, чтобы мы смогли применить квантовое преобразование Фурье. С другой стороны, способ определения периода предполагает, что период является делителем M (то есть, выходит, степенью двойки –– на что нет никаких оснований надеяться).

Оказывается, что эта трудность преодолима: квантовое преобразование Фурье позволяет найти период вектора коэффициентов даже в том случае, если он не делит M. Однако объяснить это так просто уже не получается, и мы не будем этого делать.

Квантовая физика и вычисления

Когда компьютеры только появились, не было очевидным, что построение схем из элементарных логических элементов является наиболее эффективным способом организации вычислений. Но к 1970-м годам сомнения в этом исчезли. Архитектура фон Неймана и кремниевые микросхемы явно победили, и все считали, что любой другой способ построения может дать максимум полиномиальный выигрыш. (Это означает, что T шагов вы-

числения на любом другом компьютере можно моделировать за полино- DRAFTмиально зависящее от T число шагов на имеющемся.) Этот тезис называ-

ют расширенным тезисом Чёрча––Тьюринга. Идея квантового компьютера противоречит этому тезису и потому ставит под сомнения наши базовые представления о возможностях компьютеров.

Реализуемы ли на самом деле квантовые компьютеры? На этот вопрос пытаются ответить и физики, и информатики во всём мире. Главная трудность состоит в том, что суперпозиции очень хрупки и требуют изоляции от непредвиденных взаимодействий (в частности, измерений) с окружением. Кое-какой прогресс тут происходит, но очень медленный. До сих пор наибольшим достижением было квантовое разложение на множители числа 15 (именно так!) с помощью ядерного магнитного резонанса (nuclear magnetic resonance, NMR). Да и то по этому поводу были вопросы –– на-

сколько тут квантовая механика была по существу.

Может быть, квантовые компьютеры так и не удастся построить? Может быть, это было бы даже более интересным результатом, если при этом удалось бы обнаружить дефекты самой квантовой механики –– после столет-

ней истории её развития.

Перспектива лучше понять законы природы на квантовом уровне ничуть не менее заманчива, чем надежда построить новые супербыстрые компью-

теры...

Пусть входное число N содержит n = log N битов. Алгоритм требует

2 log N = O(n) итераций (шага 3), и каждая из них (возведение в степень по модулю, раздел 2.6.4, отыскание наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида, раздел 1.2.3, квантовое преобразование Фурье) требует полиномиального (от n) числа шагов. Поэтому и в целом квантовый алгоритм разложения на множители требует полиномиального числа классических и квантовых операций.

Упражнения

1 1

10.1. Состояние j i = p j00i + p j11i (одно из знаменитых «состояний Бел-

2 2

ла») обладает странными свойствами (кубиты в нём «сцеплены», или «спутаны»). Вот некоторые из этих свойств:

(a) Предположим, что это состояние можно разложить в (тензорное) произведение двух кубитов (см. врезку на с. 300) 0j0i+ 1j1i и 0j0i+ 1j1i. На-

пишите возникающие условия на коэффициенты 0, 1, 0, 1 (четыре уравнения) и покажите, что они несовместны (и тем самым разложение в тензорное произведение невозможно).

(b)Что произойдёт при измерении первого кубита в этом состоянии?

(c)Что произойдёт, если после этого измерить и второй кубит?

(d)Почему ответ на предыдущий вопрос выглядит удивительно, если два кубита находятся на большом расстоянии друг от друга?

DRAFT10.7. Элемент «управляемого обмена» (controlled swap, c-swap) применяется к трём кубитам и переставляет второй и третий, если значение первого равно 1 (он переводит базисные состояния в базисные, а на суперпозиции продолжается по линейности).

10.2. Покажите, что следующая квантовая схема позволяет приготовить два

Что будет, если применить эту же схему к состояниям 10, 01 и 11? (Получатся состояния, которые тоже называют состояниями Белла.)

10.3. Что получится в результате применения преобразования Фурье к супер-

10.4. Найдите преобразование Фурье (по модулю M) вектора jji.

10.5. Свёртка и умножение. Сдвинем коэффициенты в суперпозиции j i =

10.6. Покажите, что если элемент Адамара применить к обоим входам элемента cnot, то получится снова элемент cnot, только управляющий и изменяемый кубиты будут переставлены.

(a) Покажите, что каждый из элементов not, cnot и c-swap является обратным к самому себе.