Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Дискретные случайные величины

Индивидуальные задания

Пособие разработано доцентом Цыловой Е. Г., ассистентом Морозовой Е. А.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007 Решение типовых задач

Прежде чем привести решение конкретных задач, обращаем ваше внимание на то, что решение всех заданий вариантов основано на одних и тех же фактах и свойствах дискретных случайных величин. Приведем несколько примеров их использования при решении конкретных задач, посвященных изучению данной темы.¹

Задача 1. Найти у

Х	0	1	2	3
Р	0,2	0,3	0,4	у

Решение. , следовательно у находим из уравнения:

0,2+0,3+0,4+у=1 у=0,1.

Задача 2. D(X) = 0,4. Используя свойства дисперсии, найдите D(-2X+3).

Решение. .

Задача 3. В урне 2 белых и 3 черных шара. Шары наудачу достают из урны без возвращения до тех пор, пока не появится белый шар. Как только это произойдет, процесс прекращается. Составить таблицу распределения случайной величины X – числа произведенных опытов, найти .

Решение: Обозначим через А – появление белого шара. Опыт может быть проведен только один раз, если белый шар появится сразу: . Если же в первый раз белый шар не появился, а появился при втором извлечении, то X=2. Вероятность такого события равна . Аналогично: , , . Запишем данные в таблицу:

X	1	2	3	4
P	0,4	0,3	0,2	0,1

Найдем :

Найдем .

.

.

Вариант №1

1. Найти у

Х	1	2	3	4
Р	0,1	у	0,2	0,4

2. D(X) = 1.5. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+5).

3. Вероятность появления события в одном испытании равна 0,6. Производится 5 испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события. Найти , , , .

4. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого равна 0,6, второго 0,8. Составить закон распределения числа попаданий Х. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, третий центральный момент и функцию распределения. Построить график .

5. В ящике 3 белых шара и 4 черных. Шары достают до тех пор, пока не появится белый шар. Составить закон распределения случайной величины Х – числа испытаний. Найти , , .

6. По таблице распределения Х:

Х	-2	0	2	4	6
Р	0,2	0,1	0,3	0,2	0,2

Найти , , . Найти .

Вариант №2

1. Найти у

   Х	1	2	5	6
   Р	0,2	0,1	0,6	у

2. X и Y – независимы. D(X) =7, D(Y) =4. Используя свойства дисперсии, найдите D(2X+3Y).

3. Производится три независимых опыта, в каждом из которых может произойти событие А с вероятностью 0,4. Вычислить таблицу для случайной величины Х – числа появлений события А. Найти , , , и .

4. Игральный кубик брошен один раз. Найти закон распределения случайной величины Х – числа выпавших очков. Найти , , , функцию распределения. Построить график .

5. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует патроны). Найти математическое ожидание и дисперсию числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,25.

6. Найти , , функцию распределения дискретной случайной величины, заданной таблицей:

Х	10	15	20	25	30
Р	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1