Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы

Индивидуальные задания

Пособие разработано доц. Плаксиной В. П., доц. Макагоновой М. А., ст. преп. Пепеляевой Н.В., ст. преп. Тонкоевой И. В., ст. преп. Скумбиной Т. Н.. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Указания к выполнению заданий:

Выполните задания 1-4 с помощью двойного интеграла, задания 5-7 с помощью тройного интеграла, задания 8-11 с помощью криволинейных интегралов, задания 12-13 с помощью поверхностных интегралов.

В каждом задании выполните схематический чертеж.

Вариант 1

1. Изменить порядок интегрирования .

2. Вычислить двойной интеграл по области D, определяемой условиями .

3. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь области D, ограниченной кривой .

4. Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной поверхностями .

6. Вычислить интеграл , если область V определяется неравенствами .

7. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью и имеющего плотность .

8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , если L – дуга окружности .

9. Найти центр тяжести одной арки циклоиды , считая плотность равной единице.

10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где L – арка циклоиды .

11. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл по окружности L с центром в начале координат радиуса R, при положительном направлении обхода.

12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

13. Вычислить по формуле Стокса криволинейный интеграл , где L – окружность, по которой плоскость пересекает сферу, заданную уравнением .

Вариант 2

1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

3. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь области D, определяемой уравнениями .

4. Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями . Плотность тела V считать равной единице.

5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

6. Вычислить интеграл , если область V ограничена поверхностями .

7. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями: .

8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L .

9. Определить центр тяжести дуги астроиды , лежащей в первой четверти . Плотность считать равной единице.

10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , если L – контур эллипса , взятый при положительном направлении обхода.

11. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл по замкнутой кривой L , пробегаемой так, что внутренность ограниченной эллипсом области остается слева.

12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

13. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где S - внешняя сторона сферы .

Вариант 3

1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

2. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями .

3. Вычислить массу плоской пластины D, определяемой условиями с распределенной на ней плотностью .

4. Вычислить объем тела V, ограниченного плоскостями . Плотность тела V считать равной единице.

5. Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, определяемой уравнениями .

6. Вычислить интеграл , если область V ограничена поверхностями .

7. Найти момент инерции куба относительно его ребра.

8. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по кривой L: .

9. Вычислить статический момент относительно координатных осей прямолинейного отрезка АВ, соединяющего точки А(0,0) и B(1,1). Плотность в каждой точке отрезка равна произведению координат этой точки

10. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , L-контур квадрата АВСD с вершинами А(1,0), В(0,1), С(-1,0), D(0,-1), взятый при положительном направлении обхода.

11. Найти функцию по ее полному дифференциалу .

12. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по пространственной области , определяемой условиями .

13. Вычислить поверхностный интеграл II рода , где S - нижняя сторона части конической поверхности , при .