Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Функции нескольких переменных

Индивидуальные задания

Пособие разработано доц. Гониной Е. Е. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007 Вариант 1

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) б)

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln(y²-e^-x).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = e^x-2y, где , y = t³ при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x³+y³+z³-3xyz = 4, в данной точке M₀ (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z-4x+8 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: 4x²-9y²-9z²-36 = 0, M₀(3,0,0).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = ln(x+y) в т. M₀(1,3) в направлении линии y² = 9x в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию .

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области

D: y = x,y = 4, x = 0.

Вариант 2

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin(x-y), б) z = ln(2-x-y) + .

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x²+y²)

4. Вычислить значение производной сложной функции u = ln(e^x+e^-y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x²+y²+z²-xy = 2, в данной точке M₀ (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-4y² = -2xy, M₀(-2,1,2);

б) S: x²+y²-z = 6, M₀(1,-1,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x²-3x-y-1 в т. M₀(2,1) в направлении, идущем от т. М₀ к т. N(5,5).

9. Исследовать на экстремум функцию z = x³+8y³-6xy+5.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-x-2y в области

D: y = x,y = 0 , x = 3.

Вариант 3

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = ln(1-x²-y²)+ .

2. Вычислить приближенно (1,03)^3,98 .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin .

4. Вычислить значение производной сложной функции u = y^x, где x = ln(t-1), при t = 2, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: , в данной точке M₀ (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x²+(y+1)²) указанному уравнению .

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности s в точке m0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+3z-xy = 7, M₀(1,2,1);

б) S: 4x²-9y² = 36, M₀(-3,0,0).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,-8) в направлении линии y = x² в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x²-xy-2y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+8y+2xy-4x в области

D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.