Вариант 13

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z=;б)z=ln(4+4x-y²).

2. Вычислить приближенно ( sin1,56)(cos1,58).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z= 2-ln.

4. Вычислить значение производной сложной функции u=arccos(2x/y), гдеx=sint,y=costприt=π, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:xcosy+ycosz+zcosx=, в данной точкеM₀(0,, π) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=ln(x²+y²+2x+1) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x²-y²-2xy-x-2y, M₀(-1,1,1);

б) S:x²-5y+z²= 0,M₀(1,2,-3).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=arctgв т.M₀(1,1) в направлении линииx²+y²= 2xв сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= (x-5)²+y²+1

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 3x²+3y²-2x-2y+2 в областиD:y+x-1 = 0,y= 0,x= 0.

Вариант 14

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z=; б)z=arcsin3xy.

2. Вычислить приближенно 3,1+4,2-.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=cos(x-).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=, гдеx= 1-2t,

y=arctgtприt= 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно: 3x² y²+2xyz²-2x³z+4y³z= 4, в данной точкеM₀(2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-2y²+z²+xz-4y = 13, M₀(3,1,2);

б) S: x²-7y+z² = 4, M₀(3,2,3).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=xe^yв т.M₀(1,1) в направлении линииxy= 1 в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z=x³+y³-3xy.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 2x² + 3y²-1 в области

D: y=,y= 0.

Вариант 15

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arccos(x+2y); б) .

2. Вычислить приближенно 3,03⁴+1,98⁵+15.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции .

4. Вычислить значение производной сложной функции u=, гдеx=e^t,y= 2-e^2tприt= 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²-2y²+z²-4x+2z+2 = 0, в данной точкеM₀(1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=e^–(x+3y)sin(x+3y) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 4y²-z²+3z+4xy-xz = 9, M₀(1,-2,1);

б) S:x²-4y²+z²-4 = 0,M₀(-2,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z= 5x²-3x-y-1 в т.M₀(1,-1) в направлении, идущем от т.N(2,2)к т.M₀.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 2xy-2x²-4y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²-2xy-y² + 4x+ 1 в областиD:y= 0,x+y+1 = 0,x= -3.