Вариант 7

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = arccos(x + y); б) z = .

2. Вычислить приближенно 0,97 ^1,05.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=arcsin(2x³y).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=x^y, гдеx=e^t,y=lntприt= 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y), заданной неявно:cos² x+cos²y+cos²z= 1,5 в данной точкеM₀() с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=sin²(x-ay) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-5yz+3y = 46, M₀(1,2,-3);

б) S: 3x²+y² = 9, M₀(,2 2,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=xe^yв т.M₀(2,2) в направлении линииxy= 4 в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 3x³+3y³-9xy+10.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 2x³-xy²+y² в области

D: y= 0,y= 6,x= 0,x= 1.

Вариант 8

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z=;б)z=arcsin(3-x²-y²).

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=ln(3x²y-y²).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=e^y-2x, гдеx=sint,y=t³приt= 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y),заданной неявно:e^z-1=cosxcosy+ 1, в данной точкеM₀(0,π/2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-xz-yz = 0, M₀(0,2,2);

б) S: x²+y²-4z² = 4, M₀(-2,2,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=arcsin() в т.M₀(5,5) в направлении линииy²= 5xв сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z=x²+xy+y²+x-y+1.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 3x+6y-xy-x²-y²в областиD:y= 0,y= 1,x= 0,x= 1.

Вариант 9

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln(x²+y²-3); б) .

2. Вычислить приближенно ln((2,02)²+).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=e^-(x3+y3)y.

4. Вычислить значение производной сложной функции u=x²e^-y, гдеx=sint,y=sin²tприt=, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²+y²+z²-6x= 0, в данной точкеM₀(1,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-z²+2yz+y-2z = 2, M₀(1,1,1);

б) S:x²-y²= 16,M₀(5,3,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=ln(x²+y²) в т.M₀(1,1) в направлении линииx²+y²= 2 в сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 4(x-y)-x²-y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²-2y²+4xy-6x-1 в областиD:x+y= 3,y= 0,x= 0.