Вариант 19

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z=-8; б).

2. Вычислить приближенно (2,03)²/.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=y²-4xy+sin(2xy²).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=, где,приt= 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y), заданной неявно:x³+2y³+z³—3xyz-2y-15 = 0, в данной точкеM₀(1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=ln(x²-y²) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-z²+xz+4y = 4, M₀(1,1,2);

б) S: x²+5y²+z² = 10, M₀(1,-1,2).

8. Найти направление наибольшего возрастания функции u=x²y²zв любой точке и в т. М₀(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.

9. Исследовать на экстремум функцию z=xy-x²-y²+9.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy-3x-2yв области

D:y= 0, y= 4,x= 0,x= 4.

Вариант 20

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б).

2. Вычислить приближенно 2,03/((2,03)⁴+(2,97)²).

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=ln(y-x²-3).

4. Вычислить значение производной сложной функции, гдеx=sint,y=costприt=, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²-3y²+z²-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в данной точкеM₀(1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция e^{– cos(x+3y)}указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-z²+xz-4x = -5, M₀(-2,1,0);

б) S: x²-y²+z² = 30, M₀(3,2,5).

8. В направлении какой линии : y²= 4xилиx²+y²= 5 в т.М₀(1,2) функцияz=x³+y³изменяется быстрее в сторону убывания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 2xy-3x²-2y²+10.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x² +xy-2 в области

D:y= 4x²-4,y= 0.

Вариант 21

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z=ln(3x-y); б)z=.

2. Вычислить приближенно 3,09e^0,09.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=arcsin(2x-y³)+x.

4. Вычислить значение производной сложной функции u=, гдеx=lnt,y=t²приt= 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²+y²+z²=y-z+3, в данной точкеM₀(1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=e^x(xcosy-ysiny) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-xz+yz-3x = 11, M₀(1,4,-1);

б) S:x²+y²-4x+2y+4 = 0,M₀(2,-2,0).

8. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т.M₀(-1,1,-1) ,чтобы функциявозрастала с наибольшей скоростью?

9. Исследовать на экстремум функцию z=x³ + 8y³-6xy+1.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x² y(4-x-y) в области

D: y= 6-x, y= 0,x= 0.